Um triângulo é uma figura geométrica que possui três lados, três ângulos e três vértices. Os triângulos possuem diversas propriedades, uma delas diz respeito aos seus ângulos internos: independentemente das dimensões do triângulo, do seu formato, do comprimento de seus lados ou da medida de seus ângulos internos, a soma desses ângulos internos sempre será igual a 180°.
Em outras palavras, se ABC é um triângulo, e a, b e c são seus ângulos internos, como podemos exemplificar com a imagem a seguir:
Então, podemos escrever corretamente a soma:
a + b + c = 180°
Geralmente, essa igualdade não é usada para descobrir que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, mas sim para determinar a medida de um dos ângulos internos de um triângulo, quando as medidas dos outros dois são conhecidas.
Exemplo: Qual a medida do terceiro ângulo interno de um triângulo que possui dois ângulos internos iguais a 30° e a 90°?
Solução:
30° + 90° + x = 180°
x = 180° – 30° – 90°
x = 60°
O terceiro ângulo mede 60°.
Demonstração
Considere o triângulo ABC, com ângulos a, b e c, como o da figura a seguir:
Construa sobre o ponto C uma reta paralela ao lado AB desse triângulo.
Reta paralela ao lado AB no triângulo ABC
Observe que os lados AC e BC podem ser encarados como retas transversais, que cortam as duas retas paralelas. Os ângulos x e y formados nessa construção são, respectivamente, alternos internos com os ângulos a e b. Assim, x = a e y = b.
Agora, note que a soma x + c + y = 180°, pois os três ângulos são adjacentes e seus limites são a reta paralela ao lado AB. Assim, substituindo os valores de x e y, teremos:
a + b + c = 180°
Exemplos:
1º Exemplo – Determine a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo a seguir.
Solução:
Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, basta fazer:
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 180°
6
x = 30°
Como os ângulos internos são múltiplos de x, cada um deles mede:
x = 30°,
2x = 60° e
3x = 90°
2º Exemplo – Um triângulo tem um de seus ângulos internos com a medida exatamente igual ao triplo das medidas dos outros dois, que são congruentes. Quanto mede cada um dos ângulos internos desse triângulo?
Solução:
Para resolver esse problema, considere que os dois ângulos congruentes medem x e o outro ângulo mede 3x. Como a soma dos ângulos internos é igual a 180°, teremos:
x + x + 3x = 180°
5x = 180°
x = 180°
5
x = 36°.
Como x é a medida dos dois ângulos congruentes, já sabemos que eles medem 36°. O terceiro ângulo é o triplo disso, portanto, mede:
3x = 3·36 = 108°
Videoaula relacionada:
As medidas em graus dos 3 ângulos internos de um triângulo são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5, respectivamente.
O maior ângulo desse triângulo mede, em graus:
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A 145.
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B 135.
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C 120.
-
D 90.
-
E 75.
Sobre a base AD de um trapézio ABCD está o ponto E, de maneira que os segmentos DC e DE têm a mesma medida. Nesse trapézio, a base BC é lado do quadrado BCFG, conforme mostra a figura.
A medida do ângulo ∠BCE, indicado por β na figura, é
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A 45°.
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B 55,5°.
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C 60°.
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D 67,5°.
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E 70°.
João se encontra de um lado da rua (Ponto A) e Maria do outro (B). Ele avista Maria sob um ângulo de 30°, conforme figura abaixo. Em seguida, ele desloca 2,6m e neste novo posicionamento (ponto C) avista Maria sob um ângulo de 45°.
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A 3,4 m.
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B 6,2 m.
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C 7,4 m.
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D 7,6 m.
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E 8,1 m.
Dados os pontos A(4,11), B(4,4) e C(28,4), julgue o item.
O ângulo ACB é maior que 30°.
Certo
Errado
Um polígono de 1.000 lados é chamado de quiliágono. A respeito do quiliágono regular, julgue o item.
A soma dos ângulos internos é igual a 360°.
Certo
Errado