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Apótema é o segmento de reta que parte do centro de um polígono regular e forma um ângulo de 90º com a sua lateral. Para calcular o valor do apótema de um triângulo, quadrado ou hexágono é preciso circunscrever o polígono a uma circunferência. Veja!Os cálculos que envolvem polígonos regulares estão presentes no Enem, nos vestibulares e no Encceja. Você já deve conhecer os principais elementos das figuras planas, que são os vértices, arestas, ângulos e diagonais. Mas os polígonos regulares também possuem outro elemento chamado apótema. Nesta aula você vai ver o que é inscrição e circunscrição de polígonos, vai conhecer a definição de apótema e aprender a calcular o seu valor. Polígonos regularesPara que você entenda o que é apótema, é preciso saber o que é um polígono regular e também que ele pode ser inscrito ou circunscrito em uma circunferência. Primeiramente, vamos à definição: polígono regular é aquele que tem todos os lados e ângulos congruentes. Ou seja: todos os lados tem o mesmo valor e todos os ângulos internos também possuem o mesmo valor. Observe os exemplos: Polígono regular inscrito e circunscritoJá vimos que o polígono regular tem os lados iguais e os ângulos também iguais. Em seguida vamos entender o que é inscrição e circunscrição de polígonos. Polígono inscritoO polígono inscrito na circunferência é o aquele cujos vértices ficam dentro da circunferência. Também podemos dizer que a circunferência está circunscrito ao polígono. Por fim, é importante lembrar que as arestas da figura são as cordas da circunferência. Polígono circunscritoEnquanto isso, polígono circunscrito à circunferência é aquele cujos lados são tangentes à circunferência. Também podemos dizer que a circunferência está inscrita ao polígono. O cálculo do apótemaApótema é o segmento de reta que parte do centro de um polígono e forma um ângulo de 90º com a sua lateral. Dessa maneira, podemos dizer que o apótema é perpendicular ao lado do polígono. Veja na figura abaixo que o segmento em verde do hexágono é o apótema do mesmo. Ele se origina a partir do centro do hexágono e termina tocando um de seus lados: Outra possibilidade de definição de apótema é o raio da circunferência inscrita em um polígono. Para que você entenda melhor, pense na circunferência e no seu raio. O raio é a medida do centro da circunferência até um ponto qualquer na mesma. Pois bem, com o apótema podemos pensar quase o mesmo, com a diferença de que ele não é a medida de um ponto qualquer do polígono, mas sim a medida de seu centro até um de seus lados. Veja agora com o professor Lucas Borguezan, do canal do Curso Enem Gratuito, como fazer o Cálculo do Apótema em Polígonos: Em seguida, você pode ver a figura de um quadrado, de um hexágono e de um triângulo com circunferências inscritas. Observe em seguida que a linha vermelha é tanto o raio da circunferência quanto o apótema dos polígonos. Generalidades dos Polígonos na Geometria Plana:
Resumo sobre os PoligonosVeja um resumo simples e rápido com o professor Sérgio Sarkis do canal Curso Enem Gratuito e em seguida confira o conteúdo sobre apótema: Para que serve o apótemaO apótema é muito útil na geometria plana e na geometria espacial. Com ele você pode calcular o raio de uma circunferência inscrita num polígono regular e calcular a distância de um dos lados do polígono até seu centro. Além disso, você pode descobrir a distância entre um ponto médio de uma corda até o centro de sua circunferência. Como calcular o apótema do TriânguloEm seguida você pode conferir um resumo com os principais polígonos regulares e suas respectivas fórmulas para calcular o apótema, a área, o perímetro e o raio.
Apótema do quadrado
Apótema do hexágono
Exercícios sobre apótema1 – (UECE/2016)A razão entre as áreas de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência e a área de um hexágono regular cuja medida do apótema é 10 m circunscrito à mesma circunferência é a) 3/8. b) 5/8. c) 3/7. d) 5/7. 2 – (UECE/2019)Em um plano, considere um círculo cuja medida do raio é igual a 0,5 m, um quadrado Q circunscrito ao círculo e um quadrado q inscrito no mesmo círculo. Podemos afirmar corretamente que a medida, em m2, da área da região do plano interior a Q e exterior a q é a) 0,15π. b) 0,25π. c) 0,50. d) 0,35. 3 – (UNIRG TO/2012)Em uma determinada construção o engenheiro responsável dá um problema de cálculo de área de uma estrutura para ser resolvido por seu estagiário. A estrutura é representada na figura a seguir. O problema consiste em determinar o lado do quadrado. Este quadrado está circunscrito por uma circunferência cuja medida da área é 7.500 m2. Sabendo-se que os lados do quadrado tangenciam a circunferência, e que o estagiário resolveu corretamente o problema. Então, o valor do lado do quadrado é: (considere π = 3) a) 25 m b) 50 m c) 75 m d) 100 m 4- (FRANCO) O lado do quadrado inscrito numa circunferência mede 4 cm. O lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência mede: a) 2√3 b) 2√6 c) 3√2 d) 6√2 5- (FRANCO) O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência cujo apótema mede 3(1/2) cm é: a) 24 cm b) 26 cm c) 28 cm d) 30 cm GABARITO:
Como calcular a área de um hexágono regular inscrito?Área do hexágono
Já sobre o segundo método, ele só poderá ser aplicado caso o hexágono seja regular, pois, dessa forma podemos considerar que o hexágono é composto 6 triângulos equiláteros. Como a área de um triângulo equilátero é de A = l²√3/4, logo a área de um hexágono regular é de A = 6l²√3/4.
Qual é a área de um hexágono regular inscrito em uma circunferência com raio medindo 4 cm?Resposta verificada por especialistas. A área do hexágono inscrito na circunferência de raio 4 cm é 16√3 cm².
Qual a área de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio 2 cm?Resposta verificada por especialistas. A área desse polígono é aproximadamente: 10,38 cm² - letra b).
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