Teoria
A força gravitacional é uma força atrativa que existe entre todos os corpos com massa!
Ela é o motivo da gente não sair flutuando por ai, das coisas caírem no chão e até da gente conseguir respirar! Afinal o centro da terra atraí até a atmosfera! 🙃
Pra você aprender tudo o que você precisa saber sobre força gravitacional e arrasar na prova, se liga nesse vídeozinho que o Responde Aí preparou especialmente pra você 👇 🧡
Ou continua comigo no textinho! 👇
A lei da gravitação universal diz que entre dois corpos de massa e vai existir uma força gravitacional, cujo módulo pode ser calculado através da fórmula:
Onde, é a distância entre os corpos de massa e e é a constante gravitacional, cujo valor é ;
-Beleza! Mas se existe atração entre dois corpos quaisquer, então como a gente não sente isso no dia a dia?!
Excelente pergunta! E na verdade a gente sim, é a força gravitacional que segura a gente no chão. Mas eu entendi a sua dúvida, seria“porque a gente não sente a força gravitacional com objetos da terra”, é isso?
Bem, antes de qualquer coisa, é importante notar que a força gravitacional é:
- Inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os objetos; ou seja, quanto mais afastados os objetos estão menor será essa força;
- Diretamente proporcional ao produto das massas dos dois objetos; ou seja, quanto maior o produto das massas maior vai ser essa força;
A força gravitacional atua em qualquer corpo, não necessariamente apenas em corpos celeste, o que acontece é que a constante gravitacional possui um valor muito pequeno, de forma que para pequenas massas, a força gravitacional resultante é muito baixa. De forma que ela passa a atuar de maneira mais efetiva em corpos de massa muito elevado!
Sacou?!
Mas se você ainda não tiver convencido, se liga nesse exemplo! 👇
Exemplo: Qual será o valor da força gravitacional entre duas vaquinhas?!
Sejam duas vaquinhas de massa distanciadas de , como na figura abaixo:
Para sabermos o valor da força gravitacional que a vaquinha exerce sobre a vaquinha , usamos a fórmula da lei da gravitação:
Substituindo os dados:
Calculando:
Ou seja, uma força muito fraquinha, que não consegue atrair nem um mosquito! 🦟
Por isso trabalhamos usualmente com forças gravitacionais de corpos bem mais pesados!
Campo gravitacional
Outro conceito que é muito citado em exercícios é o de campo gravitacional ou aceleração gravitacional!
Sempre que a gente tiver uma força gravitacional atuando em um sistema, teremos um campo gravitacional associado. Bora ver isso melhor, se liga só:
Imagina que uma massa exerce uma força
gravitacional em uma massa distante dela. A fórmula que relaciona essas variáveis é:
Usando a segunda lei de
Newton, temos que:
Igualando as equações, temos:
Essa aceleração , quando analisada na forma de um campo vetorial, é chamada de campo gravitacional e é normalmente expressa pela letra . Ou seja, podemos descobrir qual a aceleração da gravidade de um planeta através da lei da gravitação universal:
Aqui na Terra, temos um campo gravitacional que exerce força sobre a gente, direcionado para o centro:
Conseguimos descobrir o valor da gravidade, sabendo que, a massa da Terra, igual a e o raio da terra, igual a .
Calculando:
Que é exatamente o valor que a gente usa no dia a dia!
Exercício Resolvido
Pra fechar com chave de ouro, se liga nesse exercício resolvido em vídeo, sobre força gravitacional, que a gente preparou pra você 🧡
Agora vamos praticar com mais exercícios?!
Campo gravitacional
Exercício Resolvido
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, p. 28 ex. 4
Duas esferas uniforme, cada uma com massa M e raio R, estão em contato. Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre elas?
Passo 1
Aprendemos a concentrar toda a massa de esferas em seus centros, portanto, o problema se transformaria em duas cargas pontuais de massa M , e com uma distância 2 R uma da outra.
Aplicando a fórmula da força gravitacional, temos:
F = G M 2 2 R 2 → F = G M 2 4 R 2
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ-PF-2015.1-ME7
Duas partículas, cada uma de massa m, separadas por uma distância d interagem com força gravitacional de módulo F. Duas outras partículas, cada uma de massa 2 m, separadas por uma distância 2 d interagem com força gravitacional de módulo
(a) F
(b) F / 4
(c) F / 2
(d) 2 F
(e) 4 F
Passo 1
A fórmula geral da força gravitacional entre 2 partículas de massa M e m que são separadas por uma distância R é:
F g r a v = G M m R 2 ,
onde G é a constante gravitacional.
Passo 2
Então, já que as duas primeiras partículas têm massa m e são separadas por uma distância d , o módulo da força gravitacional F entre elas é:
F = G m 2 d 2
Passo 3
Sendo F ' o módulo da força gravitacional entre as partículas de massa 2 m separadas por uma distância 2 d , temos: F ' = G 2 m 2 2 d 2 = 4 G m 2 4 d 2 = G m 2 d 2 = F
É o mesmo que pras outras partículas!
Resposta
Exercício Resolvido #3
Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 1, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 393 – Pare e Pense 13.3
Um planeta tem massa quatro vezes maior do que a da Terra, mas a aceleração da gravidade em sua superfície é a mesma que na superfície da Terra. O raio do planeta é:
- 4 R T
- 2 R T
- R T
- 1 2 R T
- 1 4 R T
Passo 1
Podemos assumir direto a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, mas se ainda não está decorado, vamos deduzi-la de acordo com a fórmula da gravidade (esta é a mais importante!).
F T = m g
F g = G M m R 2
F T = F g
m g = G M m R 2
g = G M R 2
Passo 2
Tendo, agora, a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, basta aplicarmos os valores dados no enunciado.
Para a Terra:
g = G M T R T 2
Para o planeta:
g = G 4 M T R 2
Igualando as fórmulas, visto que a gravidade é a mesma, temos:
G M T R T 2 = G 4 M T R 2
R 2 = 4 R T 2
R = 2 R T
Resposta
Exercício Resolvido #4
Lista 11, questão 2 – Gravitação, Universidade Federal Fluminense, 2014
Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 9,8 m / s 2 , desprezando o efeito da latitude, qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 9,00 m / s 2 ?
Passo 1
Normalmente o enunciado diz o valor da massa e do raio da Terra, e o valor da constante gravitacional. Pois bem, assumiremos os valores:
G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2
M = 5,98 ∙ 10 24 k g
R = 6,37 ∙ 10 6 m
g = G M R 2 = 9,8 m / s 2
Quando estamos a uma distância h da superfície da terra a aceleração da gravidade será g ' = 9,00 m / s 2 .
Com isto, para achar a distância acima da superfície da Terra basta assumirmos um crescimento do raio:
g ' = G M ( R + h ) 2
Passo 2
Agora, vamos fazer as contas!
Botando o R em evidencia no denominador, temos:
g ' = G M R 1 + h R 2 ⇒
g ' = G M R 2 1 + h R 2
Mas sabemos que G M / R 2 = g, é a gravidade no superfície da Terra, então
g ' = g 1 + h R 2
Agora temos que isolar h. Pra isso vamos primeiro multiplicar cruzado
g ' 1 + h R 2 = g
1 + h R 2 = g g '
Aí vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados
1 + h R = g g ' → h R = g g ' - 1
h = R g g ' - 1
Substituindo os valores, vamos ter o seguinte
h = 6,37 ∙ 10 6 9,8 9,00 - 1 = 6,37 ∙ 10 6 1,0435 - 1
h = 6,37 ∙ 10 6 ∙ 0,04 35
h = 277 084 m
h ≈ 277 K m
Show de bolinhas! :D
Resposta
Exercício Resolvido #5
TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex. 7
Na superfície da Lua, a aceleração da gravidade vale a. A uma distância do centro da Lua igual a quatro vezes o raio da Lua, a aceleração da gravidade vale:
- 16 a
- a / 4
- a / 3
- a / 16
- Nenhuma dessas respostas
Passo 1
Sabemos que a fórmula que temos que usar para encontrar a aceleração da gravidade é:
g = G M R 2
Portanto, pelo enunciado, temos:
a = G M R l 2
E para encontrar o que queremos, temos que usar que:
r = 4 R l
E então:
a ' = G M 4 R l 2
Simplificando:
a ' = a 16
Resposta
Exercício Resolvido #6
Elaboração própria
Você foi contratado por uma agência espacial para estudar sobre um novo planeta recém descoberto, e sua primeira função é calcular a gravidade na superfície do planeta. Já é conhecida sua massa de 8,3 ∙ 10 24 k g e seu raio de 7,28 ∙ 10 6 m. De acordo com seus cálculos, qual é o valor da gravidade em questão?
Dado: G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2
Passo 1
O primeiro passo é ficar muito feliz! Ser contratado para trabalhar numa agência espacial é de um reconhecimento ímpar! E uma conta bancária par, né rs.
Passo 2
Vamos lá, já nos foi dado a massa, o raio e a constante gravitacional. Podemos aplicar diretamente na fórmula da gravidade na superfície de um planeta qualquer, mas vamos deduzí-la mais uma vez para você nunca mais esquecer.
Para dar uma lembrada, primeiro usamos a força convencional de atração de um corpo, a força peso.
F p l a n e t a = m g
Em seguida, usamos a força gravitacional de atração de um corpo.
F g r a v i t a c i o n a l = G M m R 2
E como elas são a mesma força calculada de forma diferente, basta igualá-las.
m g = G M m R 2
g = G M R 2
Passo 3
Pronto, agora podemos substituir os valores dados na questão:
g = 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 8,3 ∙ 10 24 7,28 ∙ 10 6 2
g = 10 m / s 2
Resposta
Exercício Resolvido #7
TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 63
Uma partícula pontual de massa m está sobre o eixo x em x = L e uma partícula idêntica está sobre o eixo y em y = L. (a) Qual é a orientação do campo gravitacional da origem? (b) Qual é a magnitude deste campo?
Passo 1
A gente precisa calcular o campo gravitacional aqui, já que o problema nos pede a orientação e a magnitude dele em relação a origem O, na nossa língua quer dizer que ele quer o valor do campo e pra onde ele aponta. Temos duas partículas idênticas que tem a mesma distância da origem.
Vamos desenhar o problema:
Repara que a gravidade pra cada uma das partículas aponta pra um sentido diferente. O campo gravitacional depende da massa e também da distância L quanto mais distante menor é a influencia do campo e nesse caso todas as componentes são iguais pra cada partícula. Vetorialmente falando a fórmula que descreve o campo gravitacional é essa aqui:
g → = G m L 2 i ^ + G m L 2 j ^ N / k g
Passo 2
Quando ele fala em orientação a gente pode pensar em duas coisas, na orientação vetorial ou no ângulo da resultante desse campo. A gente viu como funciona na fórmula e só vamos precisar ali mudar o sentido, que é negativo.
g → = G m L 2 - i ^ + G m L 2 ( - j ^ ) N / k g
E pra encontrar o ângulo dessa resultante a gente pode desenhar a resultante dos vetores e calcular a tangente do triângulo.
Que vai ser dada por cada módulo aqui, já que os vetores ortogonais possuem só uma direção:
t g θ = G m L 2 G m L 2 = 1
E aí a gente faz a inversa:
θ = a r c t g 1 = 45 °
Passo 3
E o módulo do vetor é só fazer o Pitágoras daquele mesmo triângulo com as compontenes em módulo, se liga:
g → = g 1 2 + g 2 2
Substituindo geral a gente tem:
g → = G m L 2 2 + G m L 2 2 = G m 2 L 2 N / k g
Resposta
- θ = 45 °
- g → = G m 2 L 2 N / k g
Exercício Resolvido #8
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 27
Duas esferas uniformes, cada uma com massa igual a 0,260 k g, estão fixas nos pontos A e B. Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração inicial de uma esfera uniforme com massa 0,010 k g quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B.
Passo 1
A massa da esfera que está no ponto P não vai interferir, porque? Lembra que a aceleração da gravidade é
g = G M R 2
Basta assumirmos R sendo a distância entre as esferas, e M sendo a massa da esfera verde e pronto temos as acelerações do ponto P . Pois bem, assumiremos os valores:
G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2
Como os corpos tem a mesma massa a intensidade da gravidade é igual, vamos calcular?
g = 6,67 . 10 - 11 . 0,260 10 . 10 - 2 2 = 1,7342 . 10 - 9 m / s 2
Passo 2
As acelerações vão ser assim
Repara que os ângulos são iguais porque os triângulos são iguais. Como as acelerações são iguais vamos ter apenas componente vertical, ambas apontando para baixo. Usando a “regra do COlado/SEparado” vamos ter
g y = g . cos θ
Mas quem é cosseno de θ ? Olha no triângulo da figura inicial, o cosseno não é cateto adjacente sobre hipotenusa? Então
cos θ = 6 10 = 3 5
Vamos ter
g y = g . cos θ = 1,7342 . 10 - 9 . 3 5 = 1,04 . 10 - 9 m / s 2
Passo 3
Essa é a COMPONENTE de cada gravidade a aceleração total vai ser
a t o t = 2 g y = 2,08 . 10 - 9 m / s 2
Resposta
a t o t = 2,08 . 10 - 9 m / s 2
Exercício Resolvido #9
TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 64
Cinco corpos, cada um de massa M, estão igualmente espaçados sobre um arco de semicírculo de raio R, como na Figura 11-25. Um corpo de massa m está localizado no centro de curvatura do arco. (a) Se M é 3,0 k g, m é 2,0 k g e R é 10 c m, qual é a força gravitacional sobre a partícula de massa m devida aos cinco corpos? (b) Se o corpo de massa m é removido, qual é o campo gravitacional no centro de curvatura do arco?
Passo 1
a) Sabemos que para encontrarmos o a força gravitacional resultante, basta somarmos vetorialmente todas as forças exercidas na massa m . Se liga na figura:
Percebe-se que todas as componentes horizontais se anulam, portanto:
F → = f + 2 f c o s π 4 j ^
Onde f é a força gravitacional entre uma massa M e a massa m , logo:
F → = G M m R 2 1 + 2 cos π 4 j ^
Substituindo os valores:
F → = 6,67 . 10 - 11 . 3 . 2 0,1 2 1 + 2 j ^
F → = 9,67 . 10 - 8 N j ^
Passo 2
b) Para achar o campo gravitacional, nós aprendemos a fazer o seguinte:
F = G M m R 2 = m g
Portanto, o campo gravitacional g NÃO DEPENDE da massa m .
Então, concluímos que, podemos manter o mesmo vetor encontrado para a força, divindo-o somente pelo valor da massa m :
g → = 4,83 . 10 - 8 m / s ² j ^
Resposta
- F → = 9,67 . 10 - 8 N j ^
- g → = 4,83 . 10 - 8 m / s ² j ^
Exercício Resolvido #10
UNICAMP-P1-2012-Q2
Uma esfera de chumbo de raio R = 10 c m possui uma cavidade esférica cuja superfície passa pelo centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A massa da esfera, antes de a cavidade ser aberta, era M = 4 k g. Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,5 k g que se encontra a uma distância d = 20 c m do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros da esfera e da cavidade?
G = 6,7 . 10 - 11 N m 2 / k g 2 .
Passo 1
Vamos primeiramente calcular a força que a esfera de chumbo faz na esfera menor, sem ter a cavidade.
F 1 = G M m r 2
F 1 = 6,7 . 10 - 11 . 4 . 0,5 0,2 2
F 1 = 3,35 . 10 - 9 N
Passo 2
Agora vamos imaginar a cavidade como sendo uma esfera de raio R / 2 , cujo o centro de massa está a uma distância de d - R / 2 da esfera pequena. Agora vamos calcular a força gravitacional que essa cavidade esférica exerceria na esfera pequena.
F 2 = G M m r 2
Entretanto, não temos a massa dessa cavidade esférica. Mas podemos descobrir utilizando a fórmula da densidade:
ρ = M 1 V 1
Para a esfera sem a cavidade, temos que M 1 = 4 k g e o volume será:
V 1 = 4 π r 3 3
V 1 = 4 π 10 3 3 = 4,19 . 10 3 c m 3
Logo, substituindo:
ρ = 4 4,19 . 10 3 = 9,5 . 10 - 4 k g / c m 3
Agora é só utilizar a densidade para a cavidade:
ρ = M 2 V 2
Entretanto, ainda temos que calcular o volume da cavidade. Mas sabemos que o raio da cavidade é a metade do raio da esfera, ou seja, é 5 c m .
V 2 = 4 π r 3 3
V 2 = 4 π 5 3 3 = 5,23 . 10 2 c m 3
Substituindo na fórmula:
9,5 . 10 - 4 = M 2 5,23 . 10 2
M 2 = 0,5 k g
Agora é só substituir na fórmula
F 2 = 6,7 . 10 - 11 . 0,5 . 0,5 ( 0,2 - 0,05 ) 2 = 7,4 . 10 - 10 N
Passo 3
Agora para calcular a força que a esfera com a cavidade faz, é só diminuir as duas forças:
F = F 1 - F 2
F = 3,35 . 10 - 9 - 7,4 . 10 - 10
F = 33,5 - 7,4 . 10 - 10
F = 2,61 . 10 - 9 N
Resposta
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