Cordas arcos e ângulos ao centro correspondente numa circunferência

Arcos e cordas - Conceitos de desenho geométrico

Maria Ângela de Camargo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

As propriedades geométricas das figuras podem ser determinadas por meio das construções geométricas feitas com régua e compasso. Desde Euclides (300 a.C.), sabe-se que a geometria e o desenho geométrico se completam e se reforçam, exemplificando inúmeras e utilíssimas aplicações.

A geometria descreve e verifica as propriedades de entes que, no desenho, proporcionam a construção e a obtenção de lugares geométricos. Um lugar geométrico é o conjunto de pontos que apresentam uma determinada propriedade: se um certo ponto possui a propriedade X, então ele pertence ao lugar geométrico dos pontos que satisfazem X.

Alguns lugares geométricos são bem conhecidos:

• circunferência : lugar geométrico dos pontos de um plano que são eqüidistantes de um ponto dado chamado centro da circunferência - a distância constante é a medida do raio;
   
• mediatriz: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes dos extremos de um segmento;
  
  
  • 

• r: reta mediatriz do segmento AB¯ - conforme a definição, r deve passar pelo ponto médio de AB¯ de modo perpendicular a ele (fig. 1): essas são as propriedades desse lugar geométrico;
• bissetriz interna de um ângulo: lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes em relação aos lados do ângulo.
  
  Circunferências - arcos e cordas
  Duas cordas com um extremo comum determinam, em uma circunferência, um ângulo inscrito, e sua medida é a metade da medida do arco compreendido pelas cordas:

ABC^=APB^2, teorema do ângulo inscrito.

ABC^ = ângulo inscrito.
APB^ = arco de extremos A e B que passa por P.

Arco capaz
Qualquer par de cordas com um extremo comum, que determine o mesmo arco na circunferência, determinará também o mesmo ângulo inscrito:

ACB^=ADB^=APB^2

Uma característica interessante decorrente dessa situação é que qualquer ponto Q no arco AQB^ proporciona AQB^=APB^2, ou seja, qualquer ponto Q sobre o arco AQB^ "enxerga" o segmento AB¯ segundo um ângulo AQB^=APB^2, então, AQB^é o arco capaz de APB^2 em relação ao segmento AB¯. Esse resultado é muito importante na determinação de ângulos entre retas secantes a circunferências, em problemas de tangência e concordância.

Pode-se definir arco capaz na seguinte situação: dado um segmento de reta AB¯ e um ângulo α, chamamos arco capaz de α em relação a AB¯ ao lugar geométrico dos pontos sob os quais se vê o segmento AB segundo o ângulo α.

Semelhança de triângulos e uma decorrência importante
Voltando-se aos dois pares de cordas na circunferência; vê-se que AB¯eCD¯ têm intersecção P.

Observe-se que, além de ACD^=AB^D=AMB^2 vale também AP^D=BP^D (ângulos opostos pelo vértice). Tem-se, assim, dois triângulos (APC e BPD) com dois pares de ângulos correspondentes congruentes, o que garante que os triângulos são semelhantes. Desse modo, PAPD=PCPB → PA . PB = PC . PD. O que esse resultado indica?
Observe que, fixando-se um ponto I no interior de uma circunferência, o produto PA . PB é constante, qualquer que seja a corda AB¯ passando por P.
O produto PA . PB é denominado potência do ponto P em relação a essa circunferência, e vale para pontos internos ou externos a ela.

Triângulo retângulo

Retomando-se as condições do teorema do ângulo inscrito, o que acontece se as extremidades não comuns das cordas forem extremos de um diâmetro da circunferência?

Observe: C é um ponto qualquer da circunferência; A e B são extremos de um diâmetro.

ACB^=AB^2, mas AB^ = 180o; logo, ABC^ = 90o.
Ou seja, o triângulo ABC é retângulo.

Veja as conclusões decorrentes desse resultado:

• a semicircunferência é o lugar geométrico dos pontos que vêem um diâmetro sob ângulo de 90o (é o arco capaz de 90o em relação ao diâmetro);
   
• um triângulo é inscritível em uma semicircunferência se e somente se é retângulo;
   
• se o triângulo é retângulo, seu circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa (podendo-se provar o item seguinte);
   
• se o triângulo é acutângulo, o circuncentro é um ponto interno ao triângulo, e se é obtusângulo, o circuncentro é externo).
  
  Você pode demonstrar cada uma dessas proposições usando régua e compasso.

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