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propriedade importante é o fato de poder escrever qualquer número fatorial em função do fatorial de um de seus antecessores, por exemplo: 6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 mas, poderíamos escrever 6! como sendo: 6! = 6×5! = 6×5×4! = 6×5×4×3! = ...= 720 ou seja, é possível interromper o desenvolvimento do fatorial a qualquer momento, para isso basta que o último elemento escrito seja colocado na forma fatorial. Essa propriedade é útil para realizar divisões entre números fatoriais, por exemplo: pois o 6! do denominador cancela com o do numerador. De uma forma geral, em divisões entre fatoriais, deve-se desenvolver o maior deles até se chegar no menor, poden- do, então, simplificar a divisão. Observação: , não se pode simplificar os números fatoriais, é necessário desenvolvê-los primeiro, assim: que é completamente diferente de 2! = 2. Exemplos: Determine o valor das expressões abaixo: a) b) c) (lembrar que: 0! = 1) d) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: NÚMEROS FATORIAIS Efetue os fatoriais abaixo: 1) 7! 2) 1! + 2! + 3! 3) 1! – 0! 4) 5) 1! – 2! 6) 7) 8) 9) 10) RESPOSTAS 1) 5.040 2) 9 3) 0 4) 1 5) –1 6) 5.040 7) 4 8) 9) 560 10) 728 PERMUTAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA INTRODUÇÃO Entende-se por permutação simples as permutações onde os elementos a serem permutados são distintos; por exemplo, se fossemos determinar o número de anagramas da palavra COMEDIA (assentos serão ignorados para os anagramas), utilizaremos a permutação simples, pois nenhuma letra se repete. Já no caso da palavra BANANA, não poderíamos utilizar tal técnica, pois as letras A e N aparecem mais de uma vez, para esse tipo de cálculo, deve-se utilizar a permutação composta, que será discutida posteriormente. PERMUTAÇÃO SIMPLES Para discutirmos os conceitos envolvidos na permuta- ção simples, vamos calcular o número de anagramas da palavra GARFO. Primeiramente, deve-se atentar que não há nenhuma letra (elemento) repetido, logo a permutação será simples. A palavra GARFO é formada por 5 letras, assim devemos executar a permutação de 5 elementos. Esquema- ticamente, tem-se: onde cada bloco significa uma letra. No primeiro bloco, pode-se colocar qualquer uma das 5 letras (G, A, R, F, O), porém para o segundo bloco restam apenas 4 possibilidades, pois uma letra já foi utilizada no primeiro bloco; para o terceiro sobram apenas 3 letras (as cinco possíveis menos as duas já utilizadas nos blocos anteriores), similarmente, para o quarto bloco tem-se duas possibilidades e no quinto apenas uma. Esse raciocínio pode ser diagramado como: Utilizando o princípio multiplicativo, o número de anagramas será: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Analisando o resultado obtido para o número de anagramas da palavra GARFO, percebe-se que o número de permutações possíveis é igual a 5!, e cinco é exatamente o número de letras da palavra GARFO, assim pode-se enunciar o método de calcular as permutações simples. O número de permutações de um conjunto de n elemen- tos distintos é dado por n! Matematicamente, tem-se: Então, para determinarmos o número de anagramas da palavra GARFO, bastava: 1) Identificar que GARFO possui 5 letras distintas. 2) Utilizar a permutação simples: P5 = 5! = 120 Vejamos um exemplo: Exemplo: Considere a palavra COMEDIA. a) Quantos anagramas podemos forma? b) Quantos anagramas começam com consoante? c) Quantos anagramas começam e terminam com vogal? d) Em quantos anagramas, as letras C M D estão juntas e nessa ordem? e) Em quantos anagramas, as letras C M D aparecem juntas? Resolução: a) Como não há repetições de letras na palavra COME- DIA, para determinar o número de anagramas basta calcular 7!, pois essa palavra possui sete letras. P7 = 7! = 5.040 A palavra COMEDIA possui 5.040 anagramas. b) Há 3 possibilidades para começar com consoante (C, M e D), assim podemos, esquematicamente, repre- sentar: Para cada consoante escolhida para a primeira casa, as 6 letras restantes permutam-se nas 6 casas que sobram. Assim, o número de anagramas que começam com consoante é 3 × P6 = 3 × 6! = 2.160 c) Há 4 possibilidades para começar com vogal (O, E, I e A) e 3 para terminar, pois deve-se subtrair a vogal utilizada no início do anagrama, então: Para cada vogal escolhida para a primeira e última casa, as 5 letras restantes permutam-se nas 5 casas que sobram. Assim, o número de anagramas que começam e terminam por vogal é: 4 × P5 × 3 = 4 × 5! × 3 = 1.440 d) As consoantes juntas e na ordem C M D funcionam como se fossem um única letra, por exemplo: etc. Assim, o número de anagramas que possuem as letras C M D juntas e nessa ordem é dado pela permu- tação de 5 elementos: P5 = 5! = 120 e) Para cada anagrama em que as letras C M D apare- cem juntas e nessa ordem, pode-se permutar essas 3 consoantes entre elas: etc. O número de permutações de 3 elementos é 3! = 6. Como existem 120 anagramas em que as letras C M D aparecem juntas e nessa ordem, o número de anagramas em que elas somente aparecem juntas será: 120 × 6 = 720. Obs. Situações como essa sempre são resolvidas multiplicando a permutação dos blocos (nesse caso, são 5) pela permutação interna do bloco em que o conjunto das letras está, assim: P5 × P3 = 5! × 3! = 120 × 6 = 720 onde: P5 representa a permutação dos blocos; e P3 a permutação interna do bloco que possui as três letras (C M D) EXERCÍCIOS PROPOSTOS: PERMUTAÇÃO SIMPLES 1) Três cavalos disputam um páreo. Qual o número de resultados possíveis? (não são permitidos empates) 2) Quantos anagramas têm a palavra PALCO? 3) De quantas maneiras 6 pessoas podem sentar em 6 cadeiras alinhadas? Para os exercícios de 4 a 10, utilizar a palavra LOGICAS 4) Quantos anagramas possuem essa palavra? 5) Quantos anagramas começam com uma consoante? 6) Quantos anagramas terminam com uma vogal? 7) Quantos anagramas começam com uma vogal e terminam com uma consoante? 8) Em quantos anagramas as vogais e as consoantes aparecem juntas? 9) Em quantos anagramas as letras GI estão juntas e nessa ordem? 10) Em quantos anagramas as letras GI estão juntas ? RESPOSTAS 1) 6 2) 120 3) 720 4) 5.040 5) 2.880 6) 2.160 7) 1.440 8) 288 9) 720 10) 1.440 PERMUTAÇÃO COMPOSTA Esse tipo de permutação se aplica quando o sistema estudado possui elementos repetidos; por exemplo, a palavra OVO possui três letras, porém duas delas são iguais (O), o que significa que se trocarmos o primeiro O com o último não alteraremos absolutamente nada; não gerando um anagrama distinto. O número de anagramas dessa palavra não é P3 = 3! = 6, e sim 3 como podemos ver abaixo: {OVO – OOV - VOO} Outro exemplo, é a palavra ASAS que, também, não possui P4 = 4! = 24, e sim 6 anagramas apenas, são eles: {ASAS – AASS – SASA – ASSA – SAAS - SSAA} Esses são exemplos típicos de permutações compos- tas. Para calcular o número de anagramas para situações com elementos repetidos, deve-se, primeiramente, identifi- car quais são os elementos que se repetem, a seguir, determinar quantas vezes eles se repetem e, finalmente, dividir a permutação dos elementos pela permutação das repetições. Para o caso da palavra OVO, a letra que se repete é O e ela faz isso duas vezes, assim o número de anagramas é: o 2! do denominador é devido a repetição da letra O. Para a palavra ASAS, tem-se duas letras se repetindo e cada uma delas faz isso duas vezes, assim: o primeiro 2! do denominado é relativo a repetição da letra A e o segundo referente a letra S. Matematicamente, a permutação compostas de n elementos é definida como: Onde, a, b, c... é o número de vezes que cada elemento se repete. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1: Quantos anagramas possui a palavra BANANA? Resolução: Essa palavra possui 6 letras, dentre elas duas se repetem. A que se repete 3 vezes e N que se repete 2 vezes, assim o número de anagramas será dado por: Pode-se escrever 60 anagramas com a palavra BANANA. Exemplo 2: Considere a palavra CONCURSOS. a) Quantos anagramas podem ser formados? b) Quantos anagramas começam com a letra C? Resolução: a) Essa palavra possui 9 letras,