Teoria
Introdução:
Faaaaala aí! Vamos dar prosseguimento ao estudo das EDO’s. Você lembra que já vimos como resolver EDO’s de 2ª ordem com coeficientes constantes homogênea? Se não, é só dar uma olhadinha na teoria, que tá tudo bem explicadinho pra você arrasar nessa teoria aqui também! Antes, estávamos tratando de equações desse tipo:
y ' ' x - 5 y ' x + 6 y x = 0
Beleza, agora imagina que tenhamos isso:
y ' ' ' x - 3 y ' ' x + 4 y ' x + 2 y x = 0
A única diferença é que temos derivadas de ordem maior que dois envolvidas.
Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de 2 ª ordem.
Olha mais alguns exemplos do que vamos estudar nessa teoria:
y ( 4 ) + 4 y ' ' ' - 2 y ' ' + 7 y ' + y = 0
y ( 5 ) - y 4 + 3 y ' ' ' - 5 y ' ' + y ' - 3 y = 0
y ' ' ' - 6 y ' ' + 9 y ' + 4 y = 0
Percebeu alguma semelhança em todas elas? Todas estão igualadas a ZERO e os coeficientes que acompanham y e suas derivadas são NÚMEROS. Por isso, é chama de EDO Superior Homogênea com Coeficientes Constantes.
De maneira geral, as EDOs superiores homogêneas têm a seguinte cara:
a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0
Com todos a 0 , a 1 , <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="8.23ex" height="2.009ex" style="vertical-align:-0.671ex" viewbox="0 -576.1 3543.4 865.1" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> a 2 … a n constantes.</p><p>Como que faremos pra resolver isso? Você vai ver que é muito parecido com EDO de <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="2.579ex" height="3.343ex" style="vertical-align:-1.171ex" viewbox="0 -934.9 1110.5 1439.2" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2 ª ordem.</p><h2 id="encontrando-a-equacao-auxiliar-2">Encontrando a equação auxiliar:</h2><p>Pra começar, nada melhor que um exemplo né? Dá uma olhada:</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="20.165ex" height="3.009ex" style="vertical-align:-0.671ex" viewbox="0 -1006.6 8682 1295.7" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> y ' ' ' - 5 y ' ' + 6 y ' = 0
Bom, a ideia aqui é a mesma de EDO de 2 ª ordem, que seria pensar numa função cujas derivadas sejam bem parecidas com a própria função! Então, chutaremos de novo y = e r x
Substituindo na EDO:
e r x ' ' ' - 5 e r x ' ' + 6 e r x ' = 0
r 3 e r x - 5 r 2 e r x + 6 r e r x = 0
e r x r 3 - 5 r 2 + 6 r = 0
Maneiro! Temos um produto de duas parcelas sendo zero. Isso significa que ou uma é zero, ou a outra é. Porém, e r x nunca é zero. Logo:
r 3 - 5 r 2 + 6 r = 0
Aeeeee, chegamos num polinômio! Bora resolvê-lo :)
r r 2 - 5 r + 6 = 0
r 1 = 0 o u r 2 - 5 r + 6 = 0
r 2 = 2 e r 3 = 3
Encontramos nossas três raízes. Vamos escrever as soluções assim, ó:
r 1 = 0 → y 1 = c 1 e 0 x
r 2 = 2 → y 2 = c 2 e 2 x
r 3 = 3 → y 3 = c 3 e 3 x
Podemos agora escrever a solução geral, que vai ser sempre a soma de todos os y k :
y x = y 1 + y 2 + y 3
y x = c 1 e 0 x + c 2 e 2 x + c 3 e 3 x
y x = c 1 + c 2 e 2 x + c 3 e 3 x
MUITO SHOW! Vamos generalizar?
Dada uma EDO desse tipo:
a n y ( n ) + a n - 1 y ( n - 1 ) + … + a 3 y ' ' ' + a 2 y ' ' + a 1 y ' + a 0 y = 0
Montaremos a equação auxiliar:
a n r n + a n - 1 r n - 1 + … + a 3 r 3 + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0
Encontraremos as raízes da equação e para cada uma delas teremos um y k . Por fim, escrevemos a solução geral:
y x = y 1 + y 2 + y 3 + … + y n - 1 + y n
Beleza... Agora preciso te dar uma notícia meio chata. Quando temos uma equação de grau n devemos ter <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.395ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 600.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> n raízes, o detalhe que não necessariamente temos <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.395ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 600.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> n raízes diferentes, basta que as multiplicidades das raízes somem <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.395ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 600.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> n . Como nós estamos tratando de polinômios, temos que ter em mente que algumas raízes podem ter multiplicidade maior que um (reais ou complexas) :/ Vamos ver cada caso?</p><p>Bom, se tem multiplicidade um, temos que ver o caso em que ela é real e o caso em que ela é complexa:</p><ul> <li>Se a raiz for real, a solução é dada por</li> <p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="11.182ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -863.1 4814.5 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> y 1 = c 1 e r 1 x
r = α + β i
Quando temos uma raiz complexa dessa forma podemos garantir que vamos ter uma outra raiz complexa que vai ser
r = α - β i
E a solução dessas duas juntas vai ser
y 1 + y 2 = e α x c 1 cos β x + c 2 s e n β x
Olha um exemplo com raízes complexas:
y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 0
Começamos com a equação auxiliar
r 3 - r 2 + r - 1 = 0
r 2 r - 1 + r - 1 = 0
Colocando r - 1 em evidência:
r - 1 r 2 + 1 = 0
Isso nos dá que
r = 1 o u r = ± i
Todas essas raízes apareceram uma vez só, então tem multiplicidade 1.
Para r = 1, que é uma raiz real, temos
y 1 = c 1 e x
Para r = ± i, que é complexa, temos
y 2 + y 3 = e 0 x c 1 cos x + c 2 s e n x
y 2 + y 3 = c 1 cos x + c 2 s e n x
Então a solução geral vai ser:
y x = y 1 + y 2 + y 3
y x = c 1 e x + c 1 cos x + c 2 s e n x
Raízes com multiplicidade maior que 1:
Imagina que temos duas raízes r 1 e r 2 iguais (chamaremos ambas de r)! A solução de cada uma será:
y 1 = c 1 e r x
y 2 = c 2 x e r x
Entendeu a ideia? Você vai multiplicar a solução pela variável até que ela fique diferente das outras. E se forem quatro raízes iguais?
y 1 = c 1 e r x
y 2 = c 2 x e r x
y 3 = c 3 x 2 e r x
y 4 = c 4 x 3 e r x
Sacou? Olha um exemplo:
y ( 6 ) + 8 y ( 4 ) + 16 y ' ' = 0
Começamos com a equação auxiliar:
r 6 + 8 r 4 + 16 r 2 = 0
r 2 r 4 + 8 r 2 + 16 = 0
Mas repara que r 4 + 8 r 2 + 16 = r 2 + 4 2 , então
r 2 r 2 + 4 2 = 0
Isso nos diz que:
r 2 = 0 o u r 2 + 4 2 = 0
Da primeira temos r = ± 0. Esse ± só tá aí pra você ver que são duas raízes iguais.
Da segunda, tiramos que
r 2 + 4 = ± 0
Isso é só pra você ver que:
r 2 + 4 = 0 r 2 + 4 = 0
O que nos dá
r = ± 2 i e r = ± 2 i
E as nossas raízes são
0,0 , 2 i , - 2 i , 2 i , - 2 i
Repara que tem uma galera aí com multiplicidade 2. Agora vamos escrever a solução. Para r = 0:
y 1 = c 1 e 0 x = c 1
y 2 = c 2 x e 0 x = c 2 x
Para r = ± 2 i:
y 3 + y 4 = e 0 x c 3 cos 2 x + c 4 s e n 2 x = c 3 cos 2 x + c 4 s e n 2 x
y 5 + y 6 = c 5 cos 2 x + c 6 s e n 2 x x
Então a solução geral vai ser:
y x = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6
y x = c 1 + c 2 x + c 3 cos 2 x + c 4 s e n 2 x + c 5 cos 2 x + c 6 s e n 2 x x
Dá trabalho, mas praticando tudo dá certo!
Tá... Mas e na hora de encontrar as raízes, como faço?
Relaxa, vou te ensinar um método muito bom.
Método de Briot-Ruffini
Exemplo: Vamos encontrar a solução geral da EDO abaixo.
y 5 + y 4 - 2 y ' ' ' - 2 y ' ' + y ' + y = 0
A equação auxiliar é:
r 5 + r 4 - 2 r 3 - 2 r 2 + r + 1 = 0
Como encontrar as raízes dessa equação?!
O detalhe nesse método é que você só pode usá-lo se você conhecer uma raiz. Então, o que a gente faz é ver os candidatos a serem raízes.
Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser 1, vamos chamar isso de
a = 1
Qual o valor do cara sem a variável r? Vai ser <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 , vamos chamar isso de</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="5.258ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 2264.1 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> b = 1
As possíveis raízes vão ser os divisores de b sobre os divisores de <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.23ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 529.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.</p><p>Nesse caso, os divisores de <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="0.998ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 429.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> b são <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="2.971ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 1279 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> ± 1 . Os divisores de <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.23ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 529.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> a são <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="2.971ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 1279 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> ± 1 . Logo, as possíveis raízes são</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="7.118ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 3064.6 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r = ± 1
Então temos que testar essas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar 0. Se der <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 , o valor de <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.049ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 451.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r é raiz, e se não der <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 , ele não é raiz.</p><p>Vamos começar testando <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="5.31ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 2286.1 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r = 1 </p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="25.438ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 10952.3 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 + 1 - 2 - 2 + 1 + 1 = 0
2 - 2 - 2 + 2 = 0
0 = 0
Portanto, r 1 = 1 é raiz.
Agora que temos uma raiz dessa equação, podemos aplicar o método de Briot-Ruffini para diminuir essa equação em 1 grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo:</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="31.41ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -1006.6 13523.9 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r 5 + r 4 - 2 r 3 - 2 r 2 + r + 1 = 0 </p><p>A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 vezes o <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.049ex" height="1.676ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -576.1 451.5 721.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r elevado aos graus que não aparecem. No nosso caso, todos os graus estão presente na equação.</p><p>Agora montamos o seguinte quadrinho:</p><p><img width="217" height="69" alt="" src="//arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/ada3a1e0-a824-4b98-a104-b1763bc201b4.webp"></p><p>No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.</p><p>Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar:</p><p><img loading="lazy" width="224" height="71" alt="" src="//arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/a93ce776-50cf-4370-9bca-0cfbc1bde446.webp"></p><p>O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.</p><p>Nesse caso fazemos</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="11.236ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 4837.5 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1.1 + 1 = 2 </p><p>Esse primeiro <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 nessa equação imediatamente acima é o coeficiente, o segundo <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 é o número do canto superior direito e aquele outro <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 é o próximo coeficiente.</p><p>Fazendo essa conta chegamos ao valor <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 1 , ficando:</p><p><img loading="lazy" width="224" height="70" alt="" src="//arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/ca39bfe6-e4c5-40d5-a764-30a13ed19d9d.webp"></p><p>Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="11.236ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 4837.5 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2.1 - 2 = 0 </p><p><img loading="lazy" width="213" height="75" alt="" src="//arquivos.respondeai.com.br/seo-mirror/theory/2022/eeefca69-8428-4057-8e97-86a75d866b56.webp"></p><p>Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="13.044ex" height="2.343ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -791.3 5616 1008.6" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0.1 - 2 = - 2
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:
- 2.1 + 1 = - 1
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar:
- 1.1 + 1 = 0
Como aquele último cara deu 0, a nossa conta está certinha. Se não der <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 alguma conta está errada.</p><p>A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 0 , começando com um grau a menos do que o anterior. Neste caso, vamos ter:</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="27.63ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.505ex" viewbox="0 -1006.6 11896.1 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> r 4 + 2 r 3 + 0 r 2 - 2 r - 1 = 0
r 4 + 2 r 3 - 2 r - 1 = 0
Se você repetir todo esse processo a quantidade de vezes necessárias, vai encontrar as raízes que faltam. Eu já fiz e te digo que são:
r 1 = 1
r 2 = 1
r 3 = - 1
r 4 = - 1
r 5 = - 1
Beleza, agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO!
Repare que temos uma raiz com multiplicidade 3 e outra com multiplicidade <svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="1.162ex" height="2.176ex" style="vertical-align:-0.338ex" viewbox="0 -791.3 500.5 936.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> 2 , então a solução para cada raiz vai ser:</p><p><svg xmlns:xlink="//www.w3.org/1999/xlink" width="10.845ex" height="2.843ex" style="vertical-align:-0.838ex" viewbox="0 -863.1 4669.2 1223.9" role="img" focusable="false" xmlns="//www.w3.org/2000/svg" aria-labelledby="MathJax-SVG-1-Title"> <title> y 1 = C 1 e x
y 2 = C 2 x e x
y 3 = C 3 e - x
y 4 = C 4 x e - x
y 5 = C 5 x 2 e - x
E a nossa solução geral vai ser:
y x = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5
Que vai ficar
y x = C 1 e x + C 2 x e x + C 3 e - x + C 4 x e - x + C 5 x 2 e - x
Finalmente matamos essa questão!!!
Partiu exercícios!
Método de Briot-Ruffini
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF - Cálculo IIA - P2 Sérgio Licanic 2014.1 – 5
Determine a solução geral da equação diferencial
y ' ' ' + 9 y ' ' + 24 y ' - 34 y = 0
Passo 1
Vamos fazer o mesmo que fazíamos para equações de ordem 2. Resolver a equação característica.
r 3 + 9 r 2 + 24 r - 34 = 0
Temos que tentar achar uma soluçaõ e reduzir o grau da equação. Somando os coeficientes percebemos que o resultado é zero, isso significa que o número 1 é solução da equação. Logo ela pode ser reescrita como
r - 1 r 2 + 10 r + 34 = 0
Aqui vamos ter
r - 1 = 0 o u r 2 + 10 r + 34 = 0
Então
r 1 = 1
Vamos as outras raízes
r 2 + 10 r + 34 = 0
r = - 10 ± 10 2 - 4 1 34 2 = - 10 ± 100 - 136 2 = - 10 ± - 36 2 = - 10 ± 6 i 2 = - 5 ± 3 i
Passo 2
Seguindo a analogia das EDO’s de ordem 2 a solução será
y = A e x + e - 5 x B cos 3 x + C sen 3 x
E é exatamente assim que fazemos com EDO’s lineares de coeficientes constantes com ordem maior do que dois.
Resposta
y = A e x + e - 5 x B cos 3 x + C sen 3 x
Exercício Resolvido #2
UERJ - Cálculo 3 - Lista 4 Fernando Lopes - 2b
Resolva a seguinte equação:
d 4 y d x 4 - 13 d 2 y d x 2 + 36 y = 0
Passo 1
Bom, na nossa teoria vimos que a equação característica será:
r 4 - 13 r 2 + 36 = 0 Essa é uma equação biquadrada a solução é sempre criar variável chamada: w = r 2 e substituir ela nessa equação:
w 2 - 13 w + 36 = 0
Passo 2
Encontrar a , b e c :
w 2 - 13 w + 36 = 0
a = 1 b = - 13 c = 36
Passo 3
Verificar discriminante: Δ > 0 , Δ = 0 ou Δ < 0 ?
Δ = b 2 - 4 a c
Δ = - 13 2 - 4 1 ( 36 )
⇒ Δ = 25
⇒ Δ > 0
Passo 4
Encontrar raízes da equação auxiliar:
w 2 - 13 w + 36 = 0
Cálculo das raízes:
w = - b ± Δ 2 a = - ( - 13 ) ± 25 2 ( 1 )
⇒ w 1 = 13 2 + 5 2 = 9 w 2 = 13 2 - 5 2 = 4
Opa, mas então temos que:
r 1,2 2 = w 1 → r 1 = 3 r 2 = - 3
r 3,4 2 = w 1 → r 3 = 2 r 4 = - 2
Passo 5
Po, se antes com duas raízes eram duas funções exponenciais, agora que temos 4 raízes de multiplicidade 1 com determinante maior que zero, adivinha?? Vão ser a soma de 4 exponenciais!
Encontrar a solução:
y x = c 1 e r 1 x + c 2 e r 2 x + c 3 e r 3 x + c 4 e r 4 x
Substituindo os valores de r :
y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x
Resposta
y x = c 1 e 3 x + c 2 e - 3 x + c 3 e 2 x + c 4 e - 2 x
Exercício Resolvido #3
William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 125, exercício 17
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
2 y ' ' ' - 4 y ' ' - 2 y ' + 4 y = 0
Passo 1
Bem aqui temos uma EDO homogênea, isso porque temos a EDO igual a 0 .
A primeira coisa a fazer é achar a equação característica
2 r 3 - 4 r 2 - 2 r + 4 = 0
Primeiro vamos dividir todo mundo por 2 para diminuir nossas contas
r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0
Agora precisamos achar as soluções de equação. A primeira coisa que fazemos numa equação assim é ver se temos algum r para colocar em evidência, e neste caso não temos isso
Temos que resolver
r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0
Passo 2
Vamos ver algumas dicas de como resolver uma equação de grau maior que 2 . A ideia é ir achando as raízes aos poucos e ir diminuindo o grau dessa equação.
Quando temos uma equação assim temos alguns candidatos a raízes dessa parada.
r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0
Qual o coeficiente do maior grau dessa equação? Neste caso vai ser 1 , vamos chamar isso de a
a = 1
Qual o valor do cara sem a variável r ? Vai ser 2 , vamos chamar isso de b
b = 2
As possíveis raízes vão ser os divisores de b sobre os divisores de a , lembrando que para cada possibilidade vamos ter o cara podendo ser positivo ou negativo.
Os divisores de a são ± 1 e os divisores de b são ± 1 e ± 2 , assim as possíveis raízes vão ser
r = ± 1 , ± 2
Então temos que testar essas duas raízes na equação, como fazemos isso? É só substituir o valor na equação e ver se vai dar 0 , se der 0 o valor de r é raiz, se não der 0 ele não é raiz.
Vamos começar testando
r = - 1
Substituindo na equação vamos ter
( - 1 ) 3 - 2 . - 1 2 - ( - 1 ) + 2 =
- 1 - 2 + 1 + 2 =
0
Como deu 0 , r = - 1 é uma raiz dessa equação. Então vamos ter
r 1 = - 1
Passo 3
Agora que temos uma raiz dessa equação podemos aplicar o método de briot-ruffini para diminuir essa equação em 1 grau. Você lembra como é esse método? Primeiro vamos colocar a nossa equação aqui embaixo
r 3 - 2 r 2 - r + 2 = 0
A primeira coisa a fazer é escrever essa equação completa, colocando 0 vezes o r elevado aos graus que não aparecem, neste caso a equação já está completa.
Agora montamos o seguinte quadrinho
No canto superior esquerdo colocamos os coeficientes da nossa equação, no canto superior direito colocamos o valor na nossa raiz.
Agora nós fazemos os seguintes passos. Primeiro descemos o primeiro coeficiente, que vai ficar
O próximo passo é multiplicar esse número que baixamos pelo número ali no canto superior direito, e depois somar com o próximo coeficiente.
Nesse caso fazemos
1 . - 1 + - 2 = - 1 - 2 = - 3
Esse primeiro 1 é o coeficiente, o segundo - 1 é o número no canto superior direito e aquele - 2 é o próximo coeficiente.
Vamos achar - 3 , colocamos esse valor embaixo do coeficiente - 2 , ficando
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar
- 3 . - 1 + - 1 = 3 - 1 = 2
E vamos ter
Agora é só repetir, a nossa conta dessa vez vai ficar
2 . - 1 + 2 = - 2 + 2 = 0
Como aquele último cara deu 0 a nossa conta está certinha, se não der 0 alguma conta está errada.
A nossa nova equação vai ser aquela que tem os coeficientes de baixo, tirando aquele 0 , começando com um grau a menor que o anterior, neste caso vamos ter
x 2 - 3 x + 2 = 0
Como achamos uma equação de grau 2 podemos fazer como fazemos normalmente. Se essa equação tivesse grau maior que 2 era só fazer tudo que acabamos de fazer de novo para diminuir o grau dessa equação
Passo 4
A nossa equação vai ser
r 2 - 3 r + 2 = 0
r 2 = - - 3 + - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 + 9 - 8 2 = 3 + 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2
r 3 = - - 3 - - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 - 9 - 8 2 = 3 - 1 2 = 3 - 1 2 = 2 2 = 1
Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui
r 1 = - 1
r 2 = 2
r 3 = 1
Passo 5
Beleza agora que temos todas as raízes podemos achar a solução geral dessa EDO.
Todas as nossas raízes tem multiplicidade 1 então nossas soluções vão ser
y 1 = C 1 e - x
y 2 = C 2 e 2 x
y 3 = C 3 e x
E a nossa solução geral vai ser
y = y 1 + y 2 + y 3
Que vai ficar
y = C 1 e - x + C 2 e 2 x + C 3 e x
Resposta
y = C 1 e - x + C 2 e 2 x + C 3 e x
Exercício Resolvido #4
UERJ - Cálculo 3 - Lista 4 Fernando Lopes - 2e
Exercício nº 2 letra e lista 6 de Cálculo III – IME - UERJ – Prof. Fernando Lopes C. -2014
Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
d 3 y d x 3 - 4 d 2 y d x 2 + 5 d y d x = 0
Passo 1
Temos aqui um problema que envolve uma derivada de 3 ª ordem:
d 3 y d x 3 - 4 d 2 y d x 2 + 5 d y d x = 0
Só que conseguimos melhorar nossa situação usando uma parada muito útil! Vamos usar a substituição simples de início:
w = d y d x
-Substituindo:
w ' ' - 4 w ' + 5 w = 0
Eita, isso é uma EDO de segunda ordem homogênea, no estilão que costumamos resolver!
Temos, então
r 2 - 4 r + 5 = 0
Passo 2
Verificar discriminante: Δ > 0, Δ = 0 ou Δ < 0?
Δ = b 2 - 4 a c
Δ = - 4 2 - 4 1 ( 5 )
⇒ Δ = - 4
⇒ Δ < 0
Passo 3
Encontrar raízes da equação auxiliar:
r 2 - 4 r + 5 = 0
Cálculo das raízes:
w = - b ± Δ 2 a = - ( - 4 ) ± i 4 2 ( 1 )
⇒ w 1 = 2 + i w 2 = 2 - i
Passo 4
Encontrar a solução:
w x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen - x
Mas sabemos que
w = d y d x
Logo:
d y d x = e 2 x c 1 cos x + c 2 sen - x
Uma Edo separável!!
d y = ∫ e 2 x c 1 cos x + c 2 sen - x d x
y = ∫ e 2 x c 1 cos x + c 2 sen - x d x + c 3 y = c 1 ∫ e 2 x cos ( x ) d x + c 2 ∫ e 2 x sen ( - x ) d x + c 3
Como resolver essa integral??
∫ e 2 x cos ( x ) d x
Tem que fazer duas integrações por partes:
u = e 2 x → d u = 2 e 2 x d x
d v = cos ( x ) d x → v = sen ( x )
∫ e 2 x cos ( x ) d x = e 2 x sen ( x ) - 2 ∫ sen x e 2 x d x
E novamente:
u = e 2 x → d u = 2 e 2 x d x
d v = sen ( x ) d x → v = - cos ( x )
∫ e 2 x cos ( x ) d x = e 2 x sen ( x ) - 2 - e 2 x cos x + 2 ∫ e 2 x cos x d x
Notou que as duas integrais são iguais?! Pois é! Vamos ajeitar essa equação!
∫ e 2 x cos ( x ) d x = e 2 x sen x + 2 cos x - 4 ∫ e 2 x cos ( x ) d x
Passando a integral pro lado esquerdo: 5 ∫ e 2 x cos ( x ) d x = e 2 x sen x + 2 cos x ∫ e 2 x cos ( x ) d x = e 2 x sen x + 2 cos x 5
A outra integral é exatamente o mesmo procedimento para resolver! Essa dará:
∫ e 2 x sen ( - x ) d x = e 2 x - 2 sen x + cos x 5
Logo finalmente:
y = c 1 ∫ e 2 x cos x d x + c 2 ∫ e 2 x sen - x d x + c 3 y = c 1 e 2 x sen x + 2 cos x 5 + c 2 e 2 x - 2 sen x + cos x 5 + c 3 y = e 2 x c 1 - 2 c 2 5 sen ( x ) + e 2 x 2 c 1 + c 2 5 cos ( x ) + c 3 Não importa muito como ficam as constantes que multiplicam o seno e o cosseno, porque elas são determinadas pelas condições iniciais, assim podemos trocar isso por outra constante:
y = k 1 e 2 x sen ( x ) + k 2 e 2 x cos ( x ) + c 3
Outro exercício bem diferente, né? Bastante trabalhoso por causa das integrais, mas foi um ótimo treino, você está vendo tudo quanto é tipo de exercício diferente!
Resposta
y = k 1 e 2 x sen ( x ) + k 2 e 2 x cos ( x ) + c 3
Exercícios de Livros Relacionados
20. y 4 - 8 y ' = 0
Ver Mais
21. y 8 + 8 y 4 + 16 y = 0
Ver Mais
Em cada um dos problemas de 29 a 36, encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t → ∞ ?29. y ' ' ' + y ' = 0 ;y 0 = 0 , y ' 0 = 1 ,y ' '
Ver Mais
Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. y ' ' ' + y ' ' - 2 y = 0
Ver Mais
3. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais:a) f ' = 0 ; b) f n = 0 c) f ' = f d) f ' = a fa∈ R .
Ver Mais
Ver Também
Ver tudo sobre EDO de 2ª OrdemMétodo de Redução de OrdemCoeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes IndeterminadosLista de exercícios de Coeficientes Constantes Homogênea