Resposta Questão 1
O espaço amostral do lançamento de dois dados contém os seguintes pares de resultados:
(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6)
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6)
(3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6)
(4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6)
(6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)
a) Incorreta!
As combinações de números inferiores a três
são: (1,1); (1,2); (2,1); (2,2). Assim, o número de elementos do evento é quatro e o número de elementos do espaço amostral é 36. A probabilidade de saírem dois números menores que três é de:
P = 4 = 1
36 9
Aproximadamente, 11,11%.
b) Incorreta!
Evento é um conjunto de resultados possíveis. O lançamento de dois dados é um experimento aleatório.
c) Incorreta!
Como foi dito anteriormente, o espaço
amostral possui 36 elementos.
d) Incorreta!
Os resultados possíveis em que os dois dados apresentam números ímpares somam nove possibilidades em 36 do espaço amostral. Portanto, a probabilidade é de:
P = 9 = 1
36 4
Isto é, a probabilidade é igual a 25%.
e) Correta!
São seis os resultados possíveis nos quais os valores obtidos nos dados são iguais. Assim:
P = 6 =
1
36 6
O que representa aproximadamente a 16,6%.
Gabarito: Letra E.
Resposta Questão 2
a) Incorreta!
O espaço amostral possui 52 elementos, ou seja, mesmo número de elementos do próprio baralho.
b) Incorreta!
O evento possui dois elementos: cada uma das cartas que foi retirada.
c) Correta!
d) Incorreta!
O evento
complementar é extrair 52 cartas.
e) Incorreta!
Cada carta representa um ponto amostral único nesse experimento aleatório.
Gabarito: Letra C.
Resposta Questão 3
Os múltiplos de cinco, entre 1 e 50, são: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 e 50, portanto, são dez elementos. O evento complementar de “sair múltiplo de cinco” é “não sair múltiplo de cinco”. Para calculá-lo, basta usar a fórmula:
P(EC) = 1 – P(E)
P(EC) = 1 – 10
50
P(EC) = 1 – 0,2
P(EC) = 0,8 = 80%
A probabilidade de um dos amigos de Luiz não ser sorteado é de 80%.
Gabarito: Letra A.
Resposta Questão 4
Os números maiores que 49 são todos a partir do 50. Por isso, o número de elementos do evento é igual a 200. Como o espaço amostral possui 250 elementos, a probabilidade é de:
P = 200 = 0,8 = 80%
250
Gabarito: Letra B.
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pretas; E4: Contar o nº de peças defeituosas da produção diária de determinada máquina; E5: Jogar um dado e observar o nº mostrado na face de cima. A análise desses experimentos revela: Cada experimento aleatório poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições; Podem-se descrever todos os possíveis resultados – as possibilidades. 2- Espaço amostral Definição: Para cada experimento aleatório E; defini-se Espaço Amostral (S) o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento. 3-Evento Definição: É um conjunto de resultados do experimento, em termos de conjuntos, é um subconjunto de S. Tipos de eventos Considere o experimento aleatório: lançamento de um dado comum e observação do nº voltado para cima. O espaço amostral será: S = { }. Evento certo: é o próprio espaço amostral. Evento A: ocorrência de um nº menor que 8. A = { Evento impossível: é o subconjunto vazio do espaço amostral. Evento B: ocorrência de um nº maior que 10. B = { Evento união: é a reunião de dois eventos. Evento A: ocorrência de um nº ímpar; Evento B: ocorrência de um nº par primo. Evento : ocorrência de um nº ímpar ou par primo. Evento intersecção: é a intersecção de dois eventos. Evento A: ocorrência de um nº par; Evento B: ocorrência de um nº múltiplo de 4. Evento : ocorrência de um nº par e múltiplo de 4. Eventos mutuamente exclusivos: são aqueles que têm conjuntos distintos. Evento A: ocorrência de um nº par; Evento B: ocorrência de um nº ímpar. = Eventos complementares: são dois A e , tais que: (o evento união é o próprio espaço amostral). (o evento intersecção é o conjunto vazio). Evento A: ocorrência de nº par. A = = EXERCÍCIOS 71- Considere o experimento e determine o espaço amostral E = jogar duas moedas e observar o resultado. (C = cara e K = coroa). 72- Seja o experimento: E = jogar três moedas e observar o resultado. Determine o espaço amostral. 73- Determine o evento A, de acordo com o espaço amostral do exercício 71: ocorrer pelo menos 2 caras . 74- Seja o experimento: E = lançar um dado e observar o nº de cima. Determine o espaço amostral e o evento A, ocorrer múltiplo de 2. Experimento: Lance um dado e uma moeda. 75- Construa o espaço amostral. Enumere os seguintes eventos: 76- A = {coroa, marcado por nº par} 77- B = {cara, marcado por nº ímpar} 78- C = {múltiplos de 3} Com base nos eventos acima, expresse os eventos: 79- 80- A ou B ocorrerem 81- B e C ocorrerem Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação da face superior. Descreva os seguintes eventos: 82- A: sair face par; 83- B: sair face primo; 84- C: sair face maior que 3; 85- D: sair face maior que 6; 86- E: sair face múltipla de 3; 87- F: sair face menor ou igual a 4. Considere o espaço amostral e os seguintes eventos: Determine: 88- 89- 90- 91- 92- 93- 94- Dos eventos A, B, C, D e E do exercício anterior, quais são mutuamente exclusivos. PROBABILIDADE DE UM EVENTO Se, num fenômeno aleatório, o nº de elementos do espaço amostral é e o número de elementos do evento A é , então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número , tal que: Conseqüências da definição de probabilidade EXERCÍCIOS 95- No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter: o número 2; um número par; um número múltiplo de 3. 96- De um baralho de 52 cartas tiram-se , sucessivamente, sem reposição, duas cartas. Determinar a probabilidade dos eventos: Duas cartas são damas; As duas cartas são ouros. 97- No lançamento de um dado, determine a probabilidade de se obter: o número 1; um número primo; um número divisível por 2; um número menor que 5; um número maior que 6. 98- No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um vermelho, determine a probabilidade dos seguintes eventos : os números são iguais ; a soma dos números é igual a 9. 99- Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três das quais serão distribuídos prêmios iguais. Calcule a probabilidade de que você seja um dos premiados. 100- Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja menor que 4? 101- Lançam-se dois dados com faces numeradas de 1 a 6. Calcule a probabilidade de que a soma obtida seja 10. 102- De um baralho de 52 cartas tira-se ao acaso uma das cartas. Determine a probabilidade de que a carta seja : uma dama ; uma dama de paus; uma carta de ouros. No lançamento de dois dados e na observação da soma dos pontos das faces superiores, determine a probabilidade de cada um dos eventos seguintes: 103- A – a soma ser par. 104- B – a soma ser ímpar. 105- C- a soma ser múltipla de 3. 106- D – a soma ser nº primo. 107- E – a soma ser maior ou igual a 7. 108- F – a soma ser maior que 12. O quadro abaixo representa a classificação por sexo e por estado civil, de um conjunto de 50 deputados presentes em uma reunião. Sexo Homem Mulher Estado civil Casado 10 8 Solteiro 5 3 Desquitado 7 5 Divorciado 8 4 Uma pessoa é sorteada ao acaso. Determine a probabilidade dos eventos: 109- A – ser um homem. 110- B – ser uma mulher. 111- C - ser uma pessoa casada. 112- D – ser uma pessoa solteira. 113- E – ser uma pessoa desquitada. 114- F – ser uma pessoa divorciada. 115- Uma sacola contém 5 bolas brancas e 10 bolas pretas. Se 3 bolas são tiradas ao acaso, qual a probabilidade de saírem todas da mesma cor ? PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR Sejam e dois eventos de um espaço amostral S; sendo o evento complementar de A, temos: EXERCÍCIOS 116- Consideremos um conjunto de 10 frutas, das quais 3 estão estragadas. Escolhendo-se aleatoriamente 2 frutas desse conjunto, determinar a probabilidade de que: ambas não estejam estragadas ; pelo menos uma esteja estragada . 117- Considere o lançamento de dois dados. Determine: a probabilidade de se obter um total de 7 pontos ; a probabilidade de não se obter um total de 7 pontos . 118- Seja A o evento: retirada de uma carta de paus de um baralho de 52 cartas. Calcule e P . 119- De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2 peças, aleatoriamente. Determine: a probabilidade de que ambas sejam defeituosas ; a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas ; a probabilidade de que uma seja defeituosa . 120- Considere o lançamento de um dado equilibrado. Calcule a probabilidade de: sair um múltiplo de 3 ; não sair múltiplo de 3 . 121- Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: ela não tenha defeitos graves; ela não tenha defeitos; ela ou seja boa ou tenha defeitos graves. 122- Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que: ambas sejam perfeitas; nenhuma seja perfeita; nenhuma tenha defeito grave; pelo menos uma seja perfeita. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS TEOREMA DA SOMA Sejam A e B eventos do mesmo espaço amostral S, tem-se que: EXERCÍCIOS 123- Considere dois acontecimentos A e B de uma seqüência aleatória. Sabendo que , calcule: a) b) 124- Se determinar . 125- Se determinar . 126- Se determinar . 127- Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos? 128- Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos? 129- Se determine , sendo A e B eventos mutuamente exclusivos. 130- Se a probabilidade de não chover em determinada data é 0,25, qual é a probabilidade de chover nesta mesma data? 131- Uma