Quais os portadores de carga que formam corrente elétrica em condutores metálicos?

ELETROMAGNETISMO - PARTE 1- Edi��o 01.2011
Eduardo Fontana, PhD
Professor Titular
Departamento de Eletr�nica e Sistemas
UFPE

Cap�tulo 4 - Condu��o El�trica

4.1 Introdu��o
4.2. Corrente el�trica
4.3. Portadores de Carga sob a A��o de um Campo Eletrost�tico
4.4. Lei de Ohm
4.5 Princ�pio da Conserva��o da Carga
4.6 Dissipa��o de Energia em Condutores
4.7 Problemas de Valores de Fronteira em Meios Condutores
Problemas

4.1 Introdu��o

4.2. Corrente el�trica

4.3. Portadores de Carga sob a A��o de um Campo Eletrost�tico

4.4. Lei de Ohm

4.5 Princ�pio da Conserva��o da Carga

4.6 Dissipa��o de Energia em Condutores

4.7 Problemas de Valores de Fronteira em Meios Condutores

Problemas

4.1 Introdu��o

Neste Cap�tulo, estamos interessados em analisar as propriedades de meios materiais condutores e estabelecer a rela��o b�sica entre fluxo de carga e campo el�trico nestes materiais. A estrutura de bandas de energia de um s�lido juntamente com a sua composi��o determina quais tipos de compostos permitem a passagem de uma corrente el�trica com uma maior ou menor facilidade. Esta corrente el�trica pode ser produzida, por exemplo, pela aplica��o de uma diferen�a de potencial entre pontos de contato em �reas distintas na superf�cie do material como � o caso de materiais condutores ou mesmo pela aplica��o de radia��o eletromagn�tica em semicondutores.

A teoria qu�ntica prev� que el�trons de um �tomo isolado apresentam n�veis discretos de energia. No estado de mais baixa energia ou no estado natural, os el�trons permanecem ligados ao �tomo executando movimentos ao redor do n�cleo de forma a manter a energia do �tomo constante. Geralmente � necess�ria muita energia para libertar o el�tron do �tomo neste caso. Quando muitos �tomos s�o arranjados para formar um s�lido, os n�veis de energia resultantes deste arranjo ficam t�o pr�ximos entre si que possibilitam a forma��o de faixas cont�nuas de energias permitidas para os el�trons, ou bandas de energia. El�trons possuindo energia dentro da faixa de valores da banda de val�ncia tendem a permanecer transitando na regi�o em volta de seus �tomos de origem e �tomos vizinhos, participando desta forma da liga��o qu�mica respons�vel pela coes�o do s�lido. Por outro lado, el�trons com energia na faixa de valores da banda de condu��o, seja atrav�s da aplica��o de um campo externo, de radia��o eletromagn�tica, ou mesmo naturalmente como resultado das vibra��es t�rmicas no s�lido, podem transitar no interior do material. A disposi��o relativa entre as bandas de val�ncia e de condu��o determina portanto as propriedades de condu��o de s�lidos.

Na Fig.4.1, representamos esquematicamente e de uma forma bem simplificada a estrutura de bandas de energia para tr�s classes de materiais distintos. No diagrama da Fig.4.1a existe uma grande separa��o entre os limites superior e inferior das bandas de val�ncia e de condu��o, respectivamente. Nestes materiais, os el�trons preenchem completamente a banda de val�ncia. A aplica��o de um campo externo s� poder� causar transi��es para a banda de condu��o se o campo for razoavelmente intenso. Materiais exibindo este tipo de estrutura de bandas s�o denomidados isolantes. No diagrama da Fig. 4.1b, a separa��o entre bandas de val�ncia e condu��o � bem menor que aquela ilustrada na Fig.4.1a sendo relativamente mais f�cil se produzir el�trons de condu��o. A banda de val�ncia nestes materiais, apresenta uma pequena faixa de valores de energia n�o ocupados pelos el�trons de val�ncia devido a excita��o t�rmica para a banda de condu��o. Materiais exibindo este tipo de estrutura s�o classificados como semicondutores. No diagrama da Fig.4.1c, existe uma faixa de valores de energia que � comum �s bandas de val�ncia e de condu��o. El�trons tendo energia compreendida nesta faixa de valores podem transitar pelo s�lido sob a a��o de um campo el�trico externo relativamente fraco, e materiais exibindo este tipo de estrutura de bandas s�o denominados de condutores. Materiais pertencendo a esta �ltima classifica��o s�o os objetos de estudo deste Cap�tulo.

Fig.4.1 Esquema simplificado de representa��o da estrutura de bandas de energia para tr�s tipos de materiais

4.2. Corrente el�trica

Cargas em movimento em um meio constituem uma corrente el�trica que � medida pela vaz�o da carga atrav�s de uma determinada se��o de �rea do meio de condu��o. Com base na Fig.4.2, se dq Coulombs atravessam a se��o transversal do fio condutor em um tempo dt segundos, ent�o a corrente el�trica I � definida pela rela��o,

(4.1)

Fig.4.2 Geometria de defini��o da corrente el�trica em um condutor

A unidade el�trica da grandeza I derivada do sistema MKSC � o Coulomb/Seg Ampere. A corrente el�trica apesar de ser um conceito �til na quantifica��o da vaz�o de cargas em condutores, n�o pode fornecer detalhes sobre a distribui��o de corrente em cada ponto do meio de condu��o. Para isso, torna-se necess�ria a introdu��o de uma grandeza vetorial que possa fornecer uma descri��o detalhada da dire��o e sentido do movimento de cargas em cada ponto do meio de condu��o. Consideremos por um momento a situa��o ilustrada na Fig.4.3, onde admite-se que todos os portadores de carga q no meio de condu��o estejam se movendo com a mesma velocidade

. Consideremos uma se��o de �rea diferencial do meio de condu��o, com o vetor

formando um �ngulo θ com o vetor velocidade

. Sob estas condi��es, a quantidade de carga que atravessa a se��o de �rea dS no tempo dt � toda aquela que estiver contida no volume diferencial do paralelep�pedo obl�quo sombreado ilustrado na Fig.4.3, de �rea de base dS e comprimento de aresta udt. Este volume diferencial � obtido da rela��o,

Se existem N portadores de carga por unidade de volume do material, ent�o a carga total dq contida neste volume diferencial � dada por,

e a corrente dI atravessando a se��o de �rea diferencial dS � simplesmente,

que pode ser expressa na forma,

(4.2)

Fig. 4.3 Geometria utilizada na determina��o da corrente atrav�s de uma se��o diferencial de um meio de condu��o.

A hip�tese feita anteriormente de todos os portadores exibirem a mesma velocidade � muito restrita, pois em condutores de uma forma geral, existem colis�es entre portadores m�veis bem como eventos de colis�o destes portadores com os �tomos ou �ons compondo o s�lido. Como resultado destas colis�es, as velocidades dos portadores � completamente aleat�ria, com uma distribui��o determinada pela temperatura do material. Para levarmos este efeito em considera��o, vamos admitir que no meio de condu��o existam M grupos de portadores com o k-�simo grupo exibindo uma densidade

e velocidade

. A contribui��o para a corrente el�trica atrav�s da se��o diferencial dS devido ao k-�simo grupo �,

e a corrente total dI � obtida da soma,

(4.3)

A densidade total de portadores no material �

o que permite identificar da Eq.(4.3) a velocidade m�dia

da rela��o,

(4.4)

e a Eq.(4.3) pode ser posta na forma,

(4.5)

A Eq.(4.5) sugere a defini��o de um vetor densidade de corrente medido em Amperes/m2 a partir da rela��o,

(4.6)

Muitas vezes � conveniente se fazer uso da aproxima��o macrosc�pica em que admite-se carga distribuida continuamente no meio de condu��o. Sob estas condi��es, a densidade de carga associada aos portadores m�veis no meio � obtida a partir da transforma��o,

e a densidade de corrente pode ser expressa na forma,

(4.7)

� importante observar que o vetor densidade de corrente tem a mesma dire��o e sentido da velocidade m�dia local dos portadores de carga no material. A partir das Eqs(4.5) e (4.6) pode se determinar a corrente total atravessando uma determinada se��o de �rea macrosc�pica S de um meio de condu��o da rela��o,

(4.8)

4.3. Portadores de Carga sob a A��o de um Campo Eletrost�tico

Colis�es em s�lidos s�o os mecanismos respons�veis pelo interc�mbio da energia entre os portadores de carga e os �tomos ou �ons compondo o material, o que resulta eventualmente em dissipa��o de calor no material. Um portador de carga no material pode se deslocar durante um tempo caracter�stico at� sofrer uma colis�o. A este tempo cd�-se a denomina��o de tempo de colis�o. Se em um determinado instante de tempo pudessemos estabelecer uma condi��o inicial para as velocidades dos diversos portadores no material tal que a velocidade m�dia fosse dada por um valor

, dever�amos esperar que ap�s um tempo aproximadamente igual ao tempo de colis�o

, a velocidade m�dia deca�sse substancialmente com respeito ao seu valor inicial. Apesar das mudan�as bruscas nas dire��es e sentidos das velocidades dos portadores individuais resultantes dos eventos de colis�o, esperamos que o decr�scimo no valor m�dio destas velocidades ocorra continuamente e de uma forma razoavelmente bem comportada pois s� desta forma tem sentido a introdu��o do conceito de velocidade m�dia. A hip�tese mais natural para sistemas de muitas part�culas com velocidades distribuidas aleat�riamente como resultado dos eventos de colis�o, � que a velocidade m�dia decaia exponencialmente com um tempo caracter�stico

a partir do seu valor inicial, ou seja,

(4.9)

A Eq.(4.9) � solu��o da equa��o diferencial,

(4.10)

ou seja, a Eq.(4.10) governa a resposta natural para a velocidade m�dia de uma popula��o de cargas m�veis cujas velocidades s�o freq�entemente modificadas por eventos aleat�rios de colis�o. Neste contexto o tempo de colis�o

pode tamb�m ser interpretado como o intervalo de tempo ap�s o qual o sistema de part�culas carregadas perde uma por��o razo�vel da correla��o que existia no tempo inicial. Consideremos uma por��o diferencial de volume do material dV localizada no vetor

representando o vetor posi��o m�dio dos portadores no volume no tempo t, com velocidade m�dia

. A massa total de portadores em movimento no volume diferencial �

, com m a massa de cada portador de carga . Multiplicando ambos os membros da Eq.(4.10) por dm, resulta,

(4.11)

o que mostra que a for�a devido aos eventos de colis�o � do tipo atrito viscoso, pois � proporcional a velocidade m�dia, se opondo ao movimento m�dio dos portadores de carga. Se um campo eletrost�tico � aplicado no material, cada elemento de volume contendo cargas em movimento experimenta uma for�a

, onde,

� a carga total de portadores m�veis contida no volume diferencial dV . Este efeito pode ser levado em conta na Eq. (4.11) pela adi��o desta for�a externa, resultando em,

Dado que a massa de portadores m�veis � dm=NmdV, resulta,

donde

(4.12)

A equa��o diferencial (4.12) representa a evolu��o no tempo do vetor velocidade m�dia levando-se em conta os eventos de colis�o e a exist�ncia de um campo el�trico externamente aplicado no meio de condu��o. Se admitirmos que o sistema exibe uma velocidade m�dia inicial

no tempo

, a solu��o da Eq.(4.12) � da forma,

(4.13)

Se a velocidade m�dia inicial �

como deve-se esperar para um sistema em equil�brio t�rmico, a Eq.(4.13) se reduz a forma,

(4.14)

e o vetor velocidade m�dia se alinha na dire��o do campo aplicado adquirindo um valor final,

(4.15)

ap�s alguns intervalos de tempo

conforme ilustrado na Fig.4.4.

Fig. 4.4. Evolu��o no tempo do vetor velocidade m�dia resultante de um campo el�trico externamente aplicado em um meio de condu��o.

Utilizando a Eq.(4.15) e a defini��o do vetor densidade de corrente dada pela Eq.(4.6), obt�m-se a rela��o,

(4.16)

que mostra uma depend�ncia linear entre os vetores

. Esta rela��o foi obtida na hip�tese de o meio de condu��o ser isotr�pico resultando na colinearidade entre os dois vetores. Neste modelo tamb�m n�o foram consideradas poss�veis influ�ncias do campo aplicado sobre o valor do tempo de colis�o. Para campos muito intensos � poss�vel que o tempo de colis�o diminua como resultado de uma maior acelera��o devido a uma for�a el�trica mais severa atuando sobre os portadores de carga. � de se esperar portanto que no regime de campos intensos, obtenha-se uma rela��o n�o linear entre os vetores

4.4. Lei de Ohm

Realizando medidas simult�neas de corrente e diferen�a de potencial entre as extremidades de materiais condutores de se��o reta uniforme, Ohm determinou uma rela��o linear entre estas duas grandezas onde a constante de proporcionalidade era dependente das dimens�es do condutor e de sua constitui��o f�sica. Com base na Fig.4.5, sendo V a diferen�a de potentical aplicada nas extremidades do cilindro condutor de se��o reta S e comprimento l, e I a corrente fluindo atrav�s do condutor, esta rela��o pode ser posta matematicamente na forma,

(4.17)

onde o par�metro R � denominado de resist�ncia el�tricado condutor, que para um condutor de se��o reta uniforme � dado por,

(4.18)

Fig.4.5. Condutor de se��o reta uniforme conectado entre os p�los de uma bateria e par�metros utilizados na defini��o da resist�ncia el�trica obtida da lei de Ohm.

Resist�ncia el�trica assim definida � medida em unidades de Volt/Ampere que define a grandeza Ohm representada pelo s�mbolo Ω. O par�metro σ que aparece na Eq.(4.18) � medido em unidades de (Ω.m)-1 e � denominado de condutividade el�trica, sendo dependente da composi��o f�sica do material. Bons condutores exibem altos valores de condutividade e baixa resist�ncia a passagem de corrente el�trica. Na Tabela 4.1 s�o tabulados valores representativos da condutividade de alguns materiais medidos a temperatura ambiente. Vale notar a diferen�a em 4 ordens de grandeza entre as condutividades t�picas de bons condutores relativamente �quela do Sil�cio puro.

Tabela 4.1 Condutividade de alguns materiais ( T=300 K )
Material	Condutividade (ohm.m)-1
Alum�nio	3.77 � 107
Cobre	5.98 � 107
Ouro	4.26 � 107
Prata	6.29 � 107
Sil�cio	1.00 � 103

Com base nas Eqs.(4.17) e (4.18) � poss�vel obter uma rela��o entre campo e densidade de corrente v�lida em cada ponto de um meio material satisfazendo a lei de Ohm. Para isso consideramos um fio diferencial de se��o reta dS e comprimento dl conforme ilustrado na Fig.4.6, e analisamos a rela��o entre corrente e diferen�a de potencial entre as se��es terminais a e b. Aplicando a Eq.(2.23) no trecho de comprimento dl, resulta,

onde

� a componente do vetor

no sentido do vetor

. Utilizando a lei de Ohm, resulta,

donde,

Se o meio � isotr�pico esta rela��o pode ser generalizada na forma,

(4.19)

que � a lei de Ohm em forma diferencial. Isotropia implica na colinearidade entre os vetores

. Se o meio de condu��o � anisotr�pico, condutividades distintas ao longo de dire��es distintas no material resulta em uma rela��o matricial entre os vetores

do tipo,

, (4.20a)

com

(4.20b)

Considerando a lei de Ohm em meios isotr�picos, podemos obter uma express�o para a condutividade em termos de par�metros microsc�picos do material, pela combina��o das Eqs.(4.16) e (4.19) resultando em,

(4.21)

A Eq.(4.21) demonstra como os v�rios par�metros microsc�picos do material contribuem para sua condutividade. Basicamente para ser um bom condutor o material deve exibir uma alta densidade de portadores de carga e o tempo de colis�o deve ser razoavelmente longo. Para semicondutores, portadores de carga existem nas bandas de condu��o (el�trons) e de val�ncia (lacunas). A condutividade neste caso � expressa na forma,

(4.22)

onde os subscritos (-) e (+) na Eq.(4.22) servem para identificar os par�metros microsc�picos associados aos el�trons e lacunas, respectivamente.

Exemplo 4.1: Estimativa do tempo de colis�o para um bom condutor

A Eq.(4.21) permite estimar o tempo de colis�o t�pico dos portadores de carga em um condutor a partir de medidas de condutividade. Isso corresponde dizer que, a partir da medi��o de par�metros macrosc�picos tais como corrente e diferen�a de potencial, pode-se obter informa��o sobre um par�metro microsc�pico iimportante do material. A densidade de portadores pode ser estimada para um bom condutor como correspondendo a 1 el�tron liberado por �tomo da rede cristalina. Admitindo a hip�tese razo�vel de um espa�amento t�pico de 3 � entre �tomos da rede , a densidade de portadores � aproximadamente,

Utilizando os par�metros para o el�tron:

e assumindo um condutor com uma condutividade t�pica

, em conformidade com os n�meros representados na Tabela 4.1, a Eq.(4.21) fornece a seguinte estimativa para o tempo de colis�o de um bom condutor,

4.5 Princ�pio da Conserva��o da Carga

O princ�pio da conserva��o da carga estabelece que em um sistema isolado, cargas n�o podem ser criadas nem destru�das. Para estabelecermos matem�ticamente este princ�pio em termos das grandezas f�sicas pertinentes a teoria eletromagn�tica, consideremos a situa��o ilustrada na Fig. 4.7 onde existe um volume de exist�ncia de cargas que podem fluir atrav�s da superf�cie limitante Σ. A corrente total I para fora da superf�cie Σ � obtida de,

onde

� o vetor �rea diferencial apontando para o exterior do volume V. Pelo princ�pio da conserva��o da carga, isto s� poder� ocorrer se o fluxo de carga for balanceado pela taxa de varia��o da carga total contida no volume. Ou seja, se o fluxo para fora de Σ for positivo a taxa de varia��o ser� negativa e vice-versa, ou matematicamente,

A carga total no volume V pode ser expressa como uma integral de volume da densidade de carga ρ, resultando em,

(4.23)

que representa o princ�pio de conserva��o da carga em sua forma integral. A forma diferencial da Eq.(4.23) � obtida assumindo-se um volume fixo, de forma que a derivada no tempo atue apenas sobre a fun��o ρ, resultando, em,

Aplicando o Teorema de Gauss no primeiro membro da �ltima rela��o, e assumindo um volume diferencial para as integra��es, resulta finalmente

(4.24)

A Eq.(4.24) ajuda explicar a tend�ncia de cargas livres se distribuirem na superf�cie de materiais condutores no regime est�tico. Para isso vamos considerar um meio condutor satisfazendo a lei de Ohm representada em forma diferencial pela Eq.(4.19). Admitindo ainda que a permissividade el�trica do meio de condu��o seja ε, resulta,

que inserido na Eq.(4.24), fornece,

Se os par�metros ε e σ independem das coordenadas, a �ltima rela��o pode ser posta na forma,

Utilizando a Eq. de Maxwell para a diverg�ncia do vetor

dada pela Eq.(2.48) resulta,

(4.25)

com,

(4.26)

� denominado o tempo de relaxa��o do excesso de cargas no material. Admitindo que

, a solu��o da Eq.(4.25) � dada por,

(4.27)

A Eq.(4.27) mostra que qualquer carga no interior de um material condutor tende a decair exponencialmente como fun��o do tempo com um tempo caracter�stico da ordem de

, o qual ser� tanto menor quanto maior for a condutividade do material. Pelo princ�pio da conserva��o da carga, qualquer excesso de carga posta no interior de um meio condutor tende a se distribuir na superf�cie com um tempo caracter�stico, que para bons condutores � da ordem de

Exemplo 4.2: Campo el�trico em um condutor esf�rico inicialmente carregado

Consideremos a situa��o ilustrada na Fig.4.8, onde admite-se carga uniformemente distribuida inicialmente com densidade

em uma esfera condutora de permissividade ε e condutividade σ. Deseja-se estudar a evolu��o no tempo dos campos e correntes internos e externos � esfera. Uma vez que a densidade � uniforme, a carga total da esfera � simplesmente

A densidade volum�trica de carga em qualquer instante de tempo t ≥ 0 � dada pela Eq.(4.27). Uma vez que a densidade mant�m-se uniforme para t ≥ 0, os campos interior e exterior ir�o depender apenas na coordenada R indicada na Fig. 4.8. Aplicando-se a lei de Gauss para uma superf�cie gaussiana esf�rica de raio R ≤ a obt�m-se

com

dado pela Eq.(4.27). Essa �ltima express�o fornece para os vetores

Em vista da Eq.(4.27), as tr�s express�es anteriores demonstram que os campos

, bem como o vetor

, decaem exponencialmente com o tempo no interior do condutor. Utilizando-se uma superf�cie gaussiana esf�rica de raio R ≥ a, obt�m-se

Note-se que no exterior os campos n�o variam no tempo, pois a carga total da esfera � constante. Como o meio externo � o v�cuo, σ = 0 e conseq�entemente

=0 nessa regi�o.

Uma vez que a carga volum�trica diminui com o tempo, de acordo com a Eq.(4.27), pelo princ�pio da conserva��o da carga deve haver um ac�mulo correspondente de carga na superf�cie da esf�ra. Essa carga que se acumula na superf�cie tem uma densidade superficial que pode ser obtida da condi��o de contorno para o vetor densidade de fluxo el�trico

o que juntamente com a Eq.(4.27) fornece

Essa �ltima express�o mostra que a densidade superficial de carga na superf�cie esf�rica tende a atinjir um valor permanente para t >> tr dado por

Note-se que em cada instante de tempo a carga total do sistema, que corresponde as por��es contidas no volume e na superf�cie da esfera, � constante. Isso pode ser facilmente verificado a partir das fun��es densidade, i.e.,

4.6 Dissipa��o de Energia em Condutores

Conforme discutido anteriormente, sob a a��o de um campo el�trico, portadores de carga em um meio de condu��o s�o acelerados. Na aus�ncia dos eventos de colis�o, a energia m�dia cedida pelo campo para o sistema de portadores, cresceria indefinidamente. Com os eventos de colis�o presentes, os portadores de carga transferem momentum para os �tomos ou mol�culas constituintes do meio material e esta energia eventualmente se transforma em calor no material. Portanto, o mecanismo de interc�mbio de energia entre o campo e portadores de carga, pode ser visto da seguinte forma. Na aus�ncia de campo aplicado, pode-se admitir que a velocidade m�dia dos portadores de carga � nula. Aplicando-se o campo, a energia cin�tica m�dia dos portadores aumenta at� um valor limite e isso ocorre durante um tempo caracter�stico τc. A partir da�, a energia m�dia dos portadores de carga � constante, dependendo apenas da intensidade do campo aplicado. Para que essa energia permane�a constante no regime permanente, � necess�rio que a pot�ncia el�trica que flui do campo para o sistema de portadores seja balanceada pela taxa de transfer�ncia de energia dos portadores para os �tomos ou mol�culas do material. Isso implica que a pot�ncia el�trica transferida para o sistema de cargas � totalmente dissipada em forma de calor no material.

Consideremos um material condutor de volume total V e um elemento diferencial de volume

cujo vetor posi��o m�dia dos portadores �

, conforme ilustrado na Fig.4.9. O trabalho m�dio diferencial

realizado pelo campo nesse elemento de volume para produzir um deslocamento diferencial

na posi��o m�dia dos portadores �

onde

� a for�a el�trica.

A taxa m�dia de transfer�ncia de energia para os portadores � obtida de

Em termos do campo aplicado e da densidade de cargas, pode-se escrever

e utilizando a Eq.(4.7), resulta,

(4.28)

A Eq.(4.28) representa a potencia el�trica diferencial

dissipada no volume

. Como o meio de condu��o tem volume V, a pot�ncia total dissipada no volume � obtida por integra��o da Eq.(4.28), ou seja,

(4.29)

Para meios obedecendo a lei de Ohm,

, e a pot�ncia � cedida pelo campo sendo dissipada em forma de calor. Existem, no entanto, situa��es em que o produto escalar

pode tornar-se negativo, e nesse caso a pot�ncia � cedida do sistema de portadores para o campo, possibilitando a obten��o de amplifica��o do campo, tal como ocorre em v�lulas de ondas viajantes em frequ�ncias de microondas ou em lasers de el�trons livres. Esses sistemas operam na condi��o

, onde radia��o eletromagn�tica viajando ao longo de um feixe de el�trons pode ser amplificada.

4.7 Problemas de Valores de Fronteira em Meios Condutores

O formalismo de determina��o de campos em meios condutores � similar �quele utilizado no tratamento de meios diel�tricos isolantes. Considere-se um condutor submetido a uma diferen�a de potencial, tal que se produza um fluxo de corrente estacion�rio. Nesse regime, a equa��o da continuidade reduz-se a

(4.30)

Para campos independentes do tempo,

e dessa express�o,

(4.31)

Se o meio condutor � linear e isotr�pico, e caracterizado por uma condutividade σ, ent�o

e da Eq.(4.30),

(4.32)

Considerando-se que o meio seja homog�neo, i.e., com σ independente das coordenadas, a Eq.(4.31) quando inserida na Eq.(4.32) fornece,

(4.33)

Ou seja, no interior de um meio condutor linear, homog�neo e isotr�pico, a fun��o potencial obedece a equa��o de Laplace. Em problemas envolvendo meios materiais distintos � tamb�m necess�rio estabelecer a condi��o de contorno para o vetor densidade de corrente. Essa condi��o de contorno � derivada diretamente da forma integral da equa��o da continuidade, dada pela Eq.(4.23) e reproduzida abaixo,

Considerando-se a geometria ilustrada na Fig.4.10, e aplicando-se essa express�o para o cil�ndro de altura Δh e �rea de base ΔS, no limite em que Δh → 0 vem

O termo entre colchetes no segundo membro tende ao produto entre a �rea ΔS e a densidade superficial de carga na interface entre os dois meios. No primeiro membro, a integra��o sobre a superf�cie lateral do cil�ndro tende a zero para Δh → 0, o que fornece

Para uma geometria invariante no tempo, i.e.,

, resulta

(4.34)

A Eq.(4.34) � a condi��o de contorno mais geral, independente dos tipos de meio material envolvidos. No regime estacion�rio em que a densidade superficial de carga n�o varia no tempo, obt�m-se a condi��o de contorno

(4.35)

Ou seja, no regime estacion�rio a componente normal do vetor densidade de corrente � cont�nua na interface.

Em resumo, no regime est�tico em que a corrente existe no regime estacion�rio, todas as t�cnicas de solu��o da Eq. De Laplace utilizadas em meios isolantes s�o tamb�m aplic�veis em meios condutores. Assim, a solu��o de problemas de valores de fronteira que envolvam a determina��o da distribui��o de campos e correntes em um dado condutor, segue uma metodologia semelhante �quela adotada no cap�tulo anterior para solu��o de problemas de valores de fronteira em eletrost�tica. A Tabela IV.1 ilustra, por exemplo, a metodologia geralmente adotada na determina��o de resist�ncia el�trica de um condutor imperfeito.

Tabela IV.1 Metodologia de determina��o da resist�ncia el�trica de um condutor imperfeito.
Etapa	Descri��o
1	Defina a regi�o de interesse: Em geral um resistor � um condutor imperfeito formado entre dois contatos met�licos atrav�s dos quais flui uma corrente. Por simplicidade, os contatos met�licos podem ser considerados como condutores perfeitos, ou seja, tendo resist�ncia el�trica nula.
2	Submeta os contatos a uma diferen�a de potencial V: Nessas condi��es cada contato � uma equipotencial.
3	Defina as condi��es de contorno: Em geral o resistor (condutor imperfeito) est� imerso em um meio isolante (v�cuo, por exemplo). Assim, as condi��es de contorno s�o: a) Potencial constante em cada contato b) Da Eq.(4.35), em cada interface condutor-isolante. Essas condi��es implicam que o problema de valores de fronteira em um meio condutor � do tipo condi��es mistas na fronteira.
4	Resolva a eq. de Laplace sujeita �s condi��es de contorno especificadas em (3).
5	Utilize as Eqs. (4.31) e (4.19) para determinar
6	Utilize a Eq.(4.8) para determinr a corrente I que flui entre os contatos
7	Determine a resist�ncia el�trica da rela��o

Problemas

4.1 Uma superf�cie plana separa dois meios condutores:

a) Utilize a equa��o da continuidade (forma diferencial do princ�pio da conserva��o da carga) para mostrar que:

onde

s�o as densidades de corrente nos meios 1 e 2, respectivamente, calculadas na interface de separa��o, e

� o vetor unit�rio normal dirigido do meio 1 para o meio 2.

b) Do item (a) verifique que no regime de corrente estacion�ria a componente normal do vetor densidade de corrente � cont�nua

c) Do item (b) mostre que a componente normal do vetor densidade de corrente � nula na interface entre dois meios, um dos quais � um isolante perfeito

d) Considere agora que ambos os meios sejam lineares, homog�neos, e isotr�picos e caracterizados por permissividade el�trica e condutividade (ε1, σ1) e (ε2 , σ2), respectivamente . Utilize as rela��es constitutivas entre

e entre

, juntamente com a equa��o da continuidade para mostrar que se uma corrente invariante no tempo cruza a interface entre os dois meios, aparecer� uma densidade superficial de carga dada por:

onde Jn� a componente normal do vetor densidade de corrente na interface e τ1 e τ2 s�o os tempos de relaxa��o nos meios 1 e 2, respectivamente.

4.2 Em t=0, um excesso de carga � distribu�do com uma densidade ρ0(R/a) (C/m3), no interior da esfera de raio a, condutividade σ e permissividade el�trica ε0. Admitindo que a esfera esteja imersa no v�cuo, determine:

a) A densidade volum�trica de carga para t ≥ 0.

b) Os vetores

no interior e no exterior da esfera para t ≥ 0.

c) A densidade superficial de carga em R = a, para t ≥ 0.

4.3 Em t=0, um excesso de carga � distribu�do com uma densidade ρ0(r/a) (C/m3), no interior do cilindro de raio a, condutividade σ e permissividade el�trica ε0. Admitindo que o cilindro seja infinitamente longo e esteja imerso no v�cuo, determine:

a) A densidade volum�trica de carga para t ≥ 0..

b) Os vetores

no interior e no exterior do cilindro para t ≥ 0..

c) A densidade superficial de carga em r = a, para t ≥ 0.

4.4 Considere uma esfera perfeitamente condutora de raio a envolta por uma casca esf�rica perfeitamente condutora de raio interno b>a. A regi�o {a ≤ R ≤ b, 0≤ θ<π}� preenchida por um meio material de condutividade σ1 e a regi�o {a ≤ R ≤ b, π ≤θ< 2π}� preenchida por um meio de condutividade σ2 . Admitindo que uma diferen�a de potencial seja aplicada entre os condutores perfeitos tal que,

, determine:

a) o vetor densidade de corrente em cada regi�o.

b) a resist�ncia el�trica medida entre as superf�cies R=a e R=b.

c) a pot�ncia el�trica dissipada em cada regi�o.

4.5 Considere agora que a regi�o entre superf�cies esf�ricas perfeitamente condutoras de raios a e b (b > a) seja preenchida por N condutores de condutividades σi (i = 1,2,3...,N), com o i-�simo condutor ocupando a regi�o { a ≤ R ≤ b , π(i-1)/N≤θ <πi/N , i = 1,2,3...,N }. Admitindo que uma diferen�a de potencial seja aplicada entre os condutores perfeitos tal que,

, determine:

a) o vetor densidade de corrente em cada regi�o.

b) a resist�ncia el�trica medida entre as superf�cies R=a e R=b.

c) a pot�ncia el�trica total dissipada nos condutores.

4.6 Considere uma esfera perfeitamente condutora de raio a envolta por uma casca esf�rica perfeitamente condutora de raio interno c>a. A regi�o {a ≤ R ≤ b, com b<c)� preenchida por um meio material de condutividade σ1 e a regi�o {b ≤ R ≤ c}� preenchida por um meio de condutividade σ2 . Determine a resist�ncia el�trica entra as superf�cies R=a e R=c.

4.7 Um cabo coaxial � formado por um condutor interno perfeito de raio a e uma casca cil�ndrica condutora perfeita de raio interno b > a. A regi�o entre condutores � preenchida por um meio de condutividade s. Admitindo que uma diferen�a de potencial seja aplicada entre os condutores perfeitos tal que,

, determine:

a) o vetor densidade de corrente na regi�o a≤ r≤ b

b) a resist�ncia el�trica em uma se��o longitudinal de comprimento l, medida entre as superf�cies r=a e r=b.

c) a pot�ncia el�trica dissipada em uma se��o longitudinal de comprimento l do cabo coaxial.

4.8 Considere uma corrente estacion�ria, fluindo no sistema de condutores cil�ndricos de raio a, conforme ilustrado na figura ao lado. Admita que os condutores 1 e 2 tenham valores de permissividade e condutividade tais que os respectivos tempos de relaxa��o sejam τ1 e τ2, com τ2 > τ1. Admitindo ainda que a corrente se distribua uniformemente no interior dos condutores, mostre que a capacit�ncia do condutor 2 � dada por:

onde R � a resist�ncia el�trica do condutor 2.

Quais são os portadores de carga em uma corrente elétrica em um condutor metálico?

Todos os materiais condutores, como grande parte dos metais, apresentam um grande número de portadores de carga livres, ou seja, fracamente ligados aos núcleos atômicos do material. Esses portadores de carga são os elétrons, partículas muito leves e de carga elétrica negativa.

Que tipo de portadores de carga constitui a corrente elétrica num condutor metálico e numa solução iônica?

Observação: No caso de condutores iônicos, participam da corrente elétrica tanto cargas positivas ( são os cátions) como cargas negativas ( que são os ânions).

Quais são os principais portadores de carga elétrica?

Na física, um portador de carga refere-se a uma partícula livre ou quasipartícula portadora de uma carga elétrica; principalmente, os elétrons, os íons e buracos.

Qual e o tipo de corrente elétrica no condutor metálico?

O tipo de corrente mais comum é a corrente devido aos elétrons em um condutor metálico( cobre, alumínio, ferro, etc).

Quais os portadores de carga que formam corrente elétrica em condutores metálicos?

4.1 Introdu��o

4.2. Corrente el�trica

4.3. Portadores de Carga sob a A��o de um Campo Eletrost�tico

4.4. Lei de Ohm

4.5 Princ�pio da Conserva��o da Carga

4.6 Dissipa��o de Energia em Condutores

4.7 Problemas de Valores de Fronteira em Meios Condutores

Problemas

Quais são os portadores de carga em uma corrente elétrica em um condutor metálico?

Que tipo de portadores de carga constitui a corrente elétrica num condutor metálico e numa solução iônica?

Quais são os principais portadores de carga elétrica?

Qual e o tipo de corrente elétrica no condutor metálico?

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