A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer. Show
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a medida da chance de algo acontecer. Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência. Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos. Experimento AleatórioUm experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de realizá-lo. Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e essa inconstância é atribuída ao acaso. Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará voltada para cima. Fórmula da ProbabilidadeEm um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis. Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis: Sendo: P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A. O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica. Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100. Exemplo 1 Resolução Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento "sair um número menor que 3" tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos: Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100. Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%. Exemplo 2 Solução Neste caso, temos 13 cartas de paus que representam o número de casos favoráveis. Substituindo esses valores na fórmula da probabilidade, temos: Ou, multiplicando o resultado por 100: Ponto AmostralPonto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório. Exemplo Espaço AmostralRepresentado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos amostrais, ou , resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório. Por exemplo, ao retirar ao acaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que compõem este baralho. Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do símbolo do conjunto entre parênteses. Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω)=6. Espaço Amostral EquiprovávelEquiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral possui a mesma probabilidade de ocorrência. Exemplo Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas. Tipos de EventosEvento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. Evento certoO conjunto do evento é igual ao espaço amostral. Exemplo Evento impossívelO conjunto do evento é vazio. Exemplo O evento "tirar uma bola vermelha" é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o evento "tirar um número maior que 30", é impossível, visto que o maior número na caixa é 20. Evento complementarOs conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro. Exemplo Seja o evento A sair cara, A={cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. Juntos formam o próprio espaço amostral. Evento mutuamente exclusivoOs conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é vazia. Exemplo A: ocorrer um número menor que 5, A={1, 2, 3, 4} Probabilidade CondicionalA probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B. A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por: Onde o evento B não pode ser vazio. Exemplo de caso de probabilidade condicional Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher (evento A) dado que seja francesa (evento B). Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B). Saiba mais sobre probabilidade condicional. Análise CombinatóriaEm muitas situações, é possível descobrir de forma direta o número de eventos possíveis e favoráveis de um experimento aleatório. Entretanto, em alguns problemas, será necessário calcular esses valores. Neste caso, podemos utilizar as fórmulas de permutação, arranjo e combinação conforme a situação proposta na questão. Para saber mais sobre o tema, acesse:
Exemplo Solução Como, neste caso, a ordem dos algarismos formam números diferentes, iremos usar a fórmula de permutação. Sendo assim, temos: Eventos possíveis: Portanto, com 5 algarismos podemos encontrar 120 números diferentes. Para calcular a probabilidade, temos ainda que encontrar o número de eventos favoráveis que, neste caso, é encontrar um número divisível por 2, o que irá acontecer quando o último algarismo do número for 2 ou 4. Considerando que para a última posição temos apenas essas duas possibilidades, então teremos que permutar as outras 4 posições que formam o número, assim: Eventos favoráveis: A probabilidade será encontrada fazendo: Leia também:
Vídeo sobre ProbabilidadeExercícios ResolvidosExercício 1(PUC/RJ - 2013) Se a = 2n + 1 com n ∈ {1, 2, 3, 4}, então a probabilidade de o número a ser par é a) 1 Ver Resposta Ao substituirmos cada valor possível de n na expressão do número a, notamos que o resultado será sempre um número ímpar. Portanto, "ser um número par" é um evento impossível. Neste caso, a probabilidade é igual a zero. Alternativa: e) 0 Exercício 2(UPE - 2013) Em uma turma de um curso de espanhol, três pessoas pretendem fazer intercâmbio no Chile, e sete na Espanha. Dentre essas dez pessoas, foram escolhidas duas para a entrevista que sorteará bolsas de estudo no exterior. A probabilidade de essas duas pessoas escolhidas pertencerem ao grupo das que pretendem fazer intercâmbio no Chile é Ver Resposta Primeiro, vamos encontrar o número de situações possíveis. Como a escolha das 2 pessoas não depende da ordem, iremos usar a fórmula de combinação para determinar o número de casos possíveis, ou seja: Assim, existem 45 maneiras de escolher as 2 pessoas em um grupo de 10 pessoas. Agora, precisamos calcular o número de eventos favoráveis, ou seja, as duas pessoas sorteadas quererem fazer o intercâmbio no Chile. Novamente iremos usar a fórmula de combinação: Portanto, existem 3 modos de escolher 2 pessoas entre as três que pretendem estudar no Chile. Com os valores encontrados, podemos calcular a probabilidade pedida substituindo na fórmula: Alternativa: b) Mais exercícios sobre probabilidade:
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais. Qual a probabilidade de se obter o número 6 no lançamento de um dado?Se alguém joga um dado, a probabilidade de obter o número 6 é de 1/6.
Qual é a probabilidade aproximada de lançar um dado honesto de 6 faces sair um número ímpar ou um número primo?Em um dado com 6 faces, as probabilidades de obter um número primo ou ímpar são: Primos: 2, 3, 5, resultando em 3 possibilidades, com probabilidade de 3/6; Ímpares: 1, 3, 5.
Qual a probabilidade de após o lançamento de um dado com 6 faces obtermos mais de 4 pontos na face do dado voltada para cima?Resposta correta: 0,375 ou 37,5%. A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis. Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter.
Qual a probabilidade de no lançamento de um dado perfeito não sair a face 6?No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de não sair o número 6. A probabilidade de não sair o 6 é de 5/6.
|