Lista de exercícios relacionados à equação da Reta.
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A equação geral da reta tangente à curva y = x² + x no ponto de abscissa 1 é:
A) | 3x – y – 1 = 0 |
B) | 3x – y = 0 |
C) | 2x – y – 1 = 0 |
D) | 2x – y = 0 |
E) | 5x – 2y – 2 = 0 |
A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos A(1, 5) e B(4, 14) é:
A) | 4 |
B) | -5 |
C) | 3 |
D) | 2 |
E) | 5 |
Qual das seguintes retas passa pelo centro da circunferência x² + y²+ 4y - 3 = 0?
A) | x + 2y = 4 |
B) | 5x – y = 2 |
C) | x + y = 0 |
D) | x – 5y = –2 |
E) | 2x + y = 7 |
A reta que passa pela origem e pelo ponto médio do segmento AB com A=(0,3) e B=(5,0) tem qual coeficiente angular?
Exercício 5: (Enem 2011)Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto:
A) | (–5, 0). |
B) | (–3, 1). |
C) | (–2, 1). |
D) | (0, 4). |
E) | (2, 6). |
Os pontos A, B, C, D, E e F determinam um hexágono regular ABCDEF de lado 1, tal que o ponto A tem coordenadas (1,0) e o ponto D tem coordenadas (-1,0), como na figura abaixo.
A equação da reta que passa pelos pontos B e D é:
Exercício 7: (UFRGS 2017)As retas de equações y = ax e y = –x + b interceptam-se em um único ponto cujas coordenadas são estritamente negativas.
Então, pode-se afirmar que:
A) | a>0 e b>0. |
B) | a<0 e b<0. |
C) | a<–1 e b>0. |
D) | a>0 e b<0. |
E) | a<–1 e b<0. |
Equações da reta
1. Forma coeficiente angular-ponto
Suponha que a reta r passa pelo ponto A (x1; y1) e tem coeficiente angular m.
Se P (x; y) é um ponto sobre r , temos:
m =
m =
E multiplicando em cruz obtemos:
y - y1 = m (x - x1)
FORMA COEFICIENTE ANGULAR-PONTO
Uma reta r que passa pelo ponto A (x1; y1) e cujo coeficiente angular é m tem equação
y - y1 = m (x - x1)
Exemplo
Vamos escrever a equação da reta que passa pelo ponto A (1; -2) e tem coeficiente angular -.
Na equação
y - y1 = m (x - x1)
substituímos m por - , y1 por -2 e x1 por 1.
y - y1 = m (x - x1)
y - (-2) =
y + 2 = - x +
y = - x + - 2
y = - x
A equação desejada é y = - x - 1.
2. Forma coeficiente angular-intercepto
Suponha que a reta r tem para intercepto-y o ponto A (0; b) e que seu coeficiente angular seja m.
Podemos escrever uma equação da reta r substituindo na forma coeficiente angular-ponto, y1 por b e x1 por 0.
y - y1 = m (x - x1)
y - b = m (x - 0)
y - b = mx
y = mx + b
FORMA COEFICIENTE ANGULAR-INTERCEPTO
Uma reta r com intercepto-y (0; b) e coeficiente angular m tem equação
y = m x + b
Exemplo
Vamos escrever a equação da reta que tem coeficiente angular -2 e intercepto-y (0; 2).
Na equação
y = m x + b
Substituímos m por -2 e b por 2.
y = m x + b
y = -2 x + 2
A equação desejada é y = - 2 x + 2.
3. Forma geral da equação da reta
No exemplo dado acima, a reta r tem coeficiente angular -2 e intercepto-y (0 ; 2).
Usando a forma coeficiente angular-intercepto
y = m x + b
obtivemos para a reta a equação
y = -2 x + 2 (1)
Se usarmos a forma coeficiente angular-ponto
y - y1= m (x - x1)
y - 2 = -2 (x - 0) (2)
é claro que a equação (2) se transforma na equação (1):
y - 2 = -2x | TE1: somamos 2 aos dois | |
y = -2x + 2 |
Então, uma equação linear como y - 2 = - 2 x pode ser escrita em outras formas equivalentes. Em particular, "passando -2 x para o 1º membro da equação" chegamos a
2 x + y = 2
que é um exemplo de equação geral da reta.
Forma geral da equação da reta
Se a, b, c são números reais e a e b não são ambos nulos, então o gráfico da equação
a x + b y = c
é uma reta. Essa equação denomina-se equação geral da reta.
Diz-se que a equação geral define y implicitamente em função de x, se b ≠ 0. Note que temos as seguintes formas equivalentes:
ax + by = c ¬ forma implícita
by = -ax + c
Exemplo
Se a equação geral de uma reta r é -4 x + 2 y - 5 = 0, podemos escrevê-la na forma coeficiente-intercepto (explícita):
- 4x + 2y - 5 = 0
2y = 4x + 5
y = 2x + Fórmula coeficiente angular-intercepto
O coeficiente angular é m = 2 e o intercepto-y é