Qual é a medida do ângulo formado pelos ponteiros do relógio?

Consideremos, por exemplo, o problema: Calcular o �ngulo formado pelos ponteiros de um rel�gio que marca 5 h 43 mim.

� f�cil verificar que o �ngulo 0 � diretamente proporcional ao n�mero m de minutos transcorridos, isto �,= km (v. RPM 8, p., 3, Defini��o 1). Ora, sabemos que em uma hora o �ngulodescrito pelo' ponteiro menor � igual a 30�. Ent�o:

Em geral, tomando inicialmente a medida do �ngulo que vai da marca da hora em quest�o at� a marca do minuto correspondente, devemos somar ou subtrair o �ngulo(�ngulo que o ponteiro das horas descreve durante os minutos correspondentes), dependendo do �ngulo que o problema pede (maior ou menor), da configura��o dos ponteiros e de como efetuamos a medi��o (orienta��o). Em resumo, a resolu��o de problemas simples como o do exemplo se reduz � determina��o de .

N�o quero aqui defender o uso de regras (pelo contr�rio!). Gostaria apenas de observar que a apresenta��o de uma regra simplificadora, que neste caso nada mais � do que uma conseq��ncia das propor��es envolvidas, pode ser v�lida se o professor utiliz�-la com o objetivo de motivar sua aula.

O leitor interessado encontrar� outros problemas sobre raz�es e propor��es, abordados sob um enfoque bastante atual, nos artigos do Professor Geraldo �vila (RPM 8 e 9) e considera��es adicionais no artigo do Professor Elon Lages Lima (RPM 9).

Milton de Paula Garcia

Ourinhos, SP

� comum, no 1� grau, principalmente na 8� s�rie, quando estudamos a �rea do c�rculo, perguntas como: � Professor, por que vale 3,14?

Ap�s o estudo dos pol�gonos regulares, na 8? s�rie, podemos, at� como recrea��o, calcular valores aproximados de , sem grande trabalho, como veremos abaixo:

-.cja um pol�gono regular de  n  lados,   n3,   cada lado medindo a.

Pelo Teorema dos Cossenos, temos:

Observe quen�o depende do raio de circunfer�ncia, j� que r � eliminado na express�o acima.

Usando esta express�o, vamos calcular alguns valores aproximados de.
 

Observa��o. O fato de precisar usar uma calculadora para obter valores aproximados den�o tira o objetivo deste artigo, que � mostrar que� aproximadamente 3,14 e n�o depende do "tamanho" do c�rculo.

Milton de Paula Garcia � professor de Matem�tica na Escola Estadual de Primeiro Grau "Professora Esmeralda Soares Ferraz", na cidade de Ourinhos, SP.

Apesar do uso crescente de relógios digitais, o relógio de ponteiro ainda é bastante usado. Nas aulas de matemática, o relógio de ponteiro pode servir como um recurso para explorar conceitos e procedimentos importantes da matemática.

Objetivos

Utilizar o relógio de ponteiro como recurso para relacionar o conceito de ângulo com o procedimento da regra de três. Para elaborar problemas, utilizar a regra mecânica que condiciona o movimento dos ponteiros.

Estratégias

1) Mostrar para os alunos, por meio de um desenho, as doze partes (ou fatias) do mostrador de um relógio de ponteiros que são usadas para indicar as horas:

2) Na lousa, simular, por meio de desenhos, o movimento circular dos ponteiros, de maneira a exercitar a divisão da circunferência nos respectivos horários. Qual o ângulo interno formado pelos ponteiros às 15 horas? E às 13 horas?

3) Perguntar aos alunos quantos graus correspondem a uma volta completa de um dos ponteiros? E meia volta? E um quarto de volta?

4) Qual é fração de cada fatia do mostrador que indica a passagem de uma hora? Qual é o valor do ângulo correspondente a essa fatia?

5) Perguntar qual é o ângulo interno formado pelos ponteiros de um relógio às 9 h, às 18 h e às 14 horas.

6) Desafiar os alunos a observarem e descreverem a regra que relaciona o movimento do ponteiro grande com o movimento do ponteiro pequeno:
Uma volta completa do ponteiro grande (360 graus) corresponde ao movimento de 1/12 do ponteiro pequeno (30 graus).

7) Perguntar para os alunos qual o ângulo deslocado pelo ponteiro pequeno na condição de o ponteiro grande se deslocar 60 graus? Discutir o procedimento da regra de três em função da regra observada no movimento dos ponteiros do relógio:

8) Perguntar aos alunos quantos minutos correspondem ao deslocamento de 60 graus do ponteiro grande. Explorar vários tipos de situações com esse deslocamento:

9) Concluir que qualquer deslocamento do ponteiro grande obriga um certo deslocamento do ponteiro pequeno.

10) Mostrar aos alunos o procedimento para se calcular, de forma bem precisa, o ângulo interno dos ponteiros de um relógio em qualquer horário. Qual o ângulo interno formado entre os ponteiros às 15 horas e 10 minutos?

Sabemos que às 15 horas o ângulo formado é de 90º. Às 15h10min o ponteiro grande diminui o ângulo interno entre os ponteiros ao se deslocar 60º no sentido horário (10 minutos). No entanto, o ponteiro pequeno também desloca no sentido horário, acrescentando 5º (conferir esse cálculo feito anteriormente):

90º - 60º + 5º = 35º

Atividades

1) Desenhar os ponteiros de um relógio que indica 10 horas e mostrar o ângulo interno dos ponteiros, com o respectivo valor.

2) Qual é o valor do deslocamento, em graus, do ponteiro pequeno, na condição de o ponteiro grande se deslocar 120º?

Qual é o menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio?

Qual é a medida do ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 4 horas?

Qual é o ângulo formado entre os ponteiros do relógio quando é marcada a hora 13h é 15min?