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Resposta Questão 1
Independentemente do polígono a que o exercício ou situação se refira, a soma dos seus ângulos internos tem valor fixo e é dada pela fórmula S = (n – 2)·180, em que n é o número de lados do polígono. Logo,
Soma dos ângulos internos do triângulo:
S = (3 – 2)·180
S = 1·180
S = 180°
Qualquer que seja o triângulo, a soma de seus ângulos internos sempre será igual a 180°. Isso pode ser usado quando conhecemos as medidas de dois dos ângulos internos de um triângulo e é necessário calcular o valor da última.
Soma dos ângulos internos de um retângulo:
S = (4 – 2)·180
S = 2·180
S = 360°
Não só retângulos, mas qualquer que seja o quadrilátero, a soma de seus ângulos internos será 360°.
Resposta Questão 2
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é dada por:
S = (n – 2)·180
Sabendo que o número de lados da figura é 4, basta substituir n por 4:
S = (4 – 2)·180
S = 2·180
S = 360°
Agora some os ângulos internos dessa figura e iguale o resultado a 360°:
2x + 4x + 2x + 4x = 360
12x = 360
x = 360
12
x = 30
Agora basta substituir x em cada ângulo para descobrir os seus valores.
4x = 4·30 = 120° e
2x = 2·30 = 60°
Os ângulos são 120° e 60°.
Resposta Questão 3
Na ponta da estrela onde está destacado o ângulo θ, temos o encontro de três ângulos internos de pentágonos regulares. Para descobrir a medida de cada um desses ângulos, basta calcular a soma dos ângulos internos do pentágono e dividir por 5.
A fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono é:
S = (n – 2)·180
*n é o número de lados do polígono. No caso desse exercício:
S = (5 – 2)·180
S = 3·180
S = 540
Dividindo a soma dos ângulos internos por 5, pois um pentágono possui cinco ângulos internos, encontraremos 108° como medida de cada ângulo interno.
Observe na imagem anterior que a soma de três ângulos internos do pentágono com o ângulo θ tem como resultado 360°.
108 + 108 + 108 + θ = 360
324 + θ = 360
θ = 360 – 324
θ = 36°
Letra D.
Resposta Questão 4
Heptágonos são figuras geométricas que possuem sete lados, sete vértices e sete ângulos. Como esse heptágono é regular, então todos os seus ângulos e lados possuem a mesma medida.
A soma dos ângulos internos do heptágono é:
S = (n – 2)·180
S = (7 – 2)·180
S = 5·180
S = 900°
Cada ângulo interno do heptágono regular mede a soma dos ângulos internos dividida por 7.
900 = 128,57
7
Agora, resta apenas descobrir o valor de um ângulo externo. Os ângulos externos de um polígono são suplementares aos ângulos internos respectivos. Portanto, a soma entre um ângulo interno e seu ângulo externo tem como resultado 180°. Dessa forma, os ângulos externos da moeda de 25 centavos medem:
128,57 + x = 180
x = 180 – 128,57
x = 51,43°
Letra E.
Em um polígono, quanto maior é o número de lados, maior é a medida dos ângulos internos.
Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos também aumenta. Veja:
Em um quadrilátero, conseguimos formar dois triângulos.
Considerando que, em cada triângulo, a soma dos ângulos internos iguais é 180°, a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 2·180º = 360º.
Em um polígono de cinco lados (pentágono), formamos três triângulos.
Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º·3 = 540º
Em um polígono de seis lados (hexágono), formamos quatro triângulos.
Portanto, a soma dos ângulos internos é 4·180º = 720º.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então, concluímos que:
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n = 3
Si = (3 – 2)·180º = 1·180° = 180°
n = 4
Si = (4 – 2)·180° = 2·180° = 360°
n = 5
Si = (5 – 2)·180° = 3·180° = 540°
n = 6
Si = (6 – 2)·180° = 4·180° = 720°
n = n
Si = (n – 2)·180°
Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono é calculada pela expressão:
Si = (n – 2)·180°
Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono. Vale lembrar que essa fórmula só deve ser utilizada em polígonos regulares, pois eles possuem os ângulos internos iguais.
ai = Si
n
Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é igual a 360°.
Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática