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MATEMÁTICA F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Professor(a): Fabrício Maia assunto: GeoMetria de Posição e dos Poliedros frente: MateMática i AULAS 46 E 47 EAD – ITA/IME 016.444 – 141779/19 Resumo Teórico Determinação de retas • Por um ponto P passam infinitas retas. P • Por dois pontos P e Q distintos passa uma única reta PQ . P Q Determinação de planos • Três pontos não alinhados P, Q e R determinam um único plano Pl(PQR). R P Q • Uma reta r e um ponto P ∉ r determinam um único plano Pl(PQR). P r Q R • Duas retas r e s concorrentes determinam um único plano Pl(PQR). s r Q P R • Duas retas r e s paralelas distintas determinam um único plano Pl(PQR). r s P Q R Posições relativas de duas retas no espaço • Duas retas são paralelas distintas, se elas estão no mesmo plano e não têm um ponto comum. r s 2F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Módulo de estudo 016.444 – 141779/19 • Se duas retas estão no mesmo plano e têm um único ponto comum (P), são chamadas de concorrentes. P s r • Se duas retas não estão contidas em um mesmo plano, as retas são chamadas de reversas. s r • Se duas retas são coplanares e têm mais de um ponto comum, as retas são chamadas de coincidentes. Q P r = s Posições relativas entre plano e reta • Uma reta r pode está contida no plano α. r α • Uma reta r pode ser secante ao plano α. α r • Uma reta r pode ser paralela ao plano α. α r Posições relativas entre plano e plano • Os planos α e β podem ser paralelos distintos. α β • Os planos α e β podem ser secantes. α β • Os planos α e β podem ser coincidentes. α = β Geometria dos Poliedros Denomina-se poliedro o sólido ou corpo geométrico limitado pelo conjunto finito de polígonos planos, tais que cada um dos seus lados pertença a dois dos referidos polígonos e dois polígonos quaisquer que tenham um lado comum e não estejam situados no mesmo plano. aresta face vértice Os polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro. 3 F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Módulo de estudo 016.444 – 141779/19 Poliedros convexos e não convexos Um poliedro é dito convexo quando o segmento da reta que une dois quaisquer de seus pontos está contido no poliedro. Em caso contrário, é não convexo. Poliedro côncavo Poliedro convexo De acordo com o número de faces, temos os seguintes poliedros: • tetraedro ⇒ poliedro convexo com quatro faces; • pentaedro ⇒ poliedro convexo com cinco faces; • hexaedro ⇒ poliedro convexo com seis faces; • heptaedro ⇒ poliedro convexo com sete faces; • octaedro ⇒ poliedro convexo com oito faces; • icosaedro ⇒ poliedro convexo com vinte faces. Relação de Euler Em todo poliedro convexo, vale a relação: V + F = A + 2 V = número de vértices A = número de arestas F = número de faces Propriedades Em um poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces é dada por: S = (V – 2) ⋅ 360º Poliedros regulares Um poliedro convexo é dito regular quando as suas faces são polígonos regulares e congruentes, e todos os ângulos poliédricos são congruentes. Há somente cinco tipos de poliedros regulares, que são: Tetraedro regular Planificação Faces: triângulos equiláteros Hexaedro regular (cubo) Planificação Faces: quadrados Octaedro regular Planificação Faces: triângulos equiláteros Dodecaedro regular Planificação Faces: pentágonos regulares Icosaedro regular Planificação Faces: triângulos equiláteros Características relevantes dos poliedros regulares • Tetraedro – Faces triangulares – Vértices triédricos • Hexaedro – Faces quadrangulares – Vértices triédricos • Octaedro – Faces triangulares – Vértices tetraédricos • Dodecaedro – Faces pentagonais – Vértices triédricos • Icosaedro – Faces triangulares – Vértices pentaédricos 4F B O N L I N E . C O M . B R ////////////////// Módulo de estudo 016.444 – 141779/19 Exercícios 01. Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão –5. Determine o número de vértices do poliedro. 02. Um poliedro convexo que tem 7 ângulos pentaédricos e os demais triédricos tem 5 faces triangulares e as demais quadrangulares e pentagonais. Sabendo que ele tem 25 faces, determine o número de diagonais desse poliedro. 03. Um poliedro convexo de 14 faces tem apenas faces regulares que são hexagonais e quadrangulares. Se todo os seus ângulos poliédricos são triedros e a soma das medidas de todas as arestas é 288 m, qual é a área desse poliedro? 04. Um poliedro convexo é platônico se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições: – Todas as faces têm o mesmo número n de arestas; – Todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de arestas. Demonstre que existem apenas cinco poliedros de Platão. 05. Das afirmações: I. Duas retas coplanares são concorrentes; II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas; III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um contendo uma das retas; IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo. É(são) verdadeira(s) apenas A) III B) I e III C) II e III D) III e IV E) I, II e IV 06. Considere as afirmações. I. Existe um triedro cujas 3 faces tem a mesma medida α = 120º; II. Existe um ângulo poliédrico convexo cujas faces medem, respectivamente, 30º, 45º, 50º, 50º e 170º; III. Um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexagonais tem 9 vértices; IV. A soma das medidas de todas as faces de um poliedro convexo com 10 vértices e 2880º. Destas, é(são) correta(s) apenas A) II B) IV C) II e IV D) I, II e IV E) II, III e IV 07. Um diedro mede 120º. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4 3 3πcm que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a A) 3 3 B) 3 3 C) 2 3 D) 2 2 E) 2 08. Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é A) 10 B) 17 C) 20 D) 22 E) 23 09. Um poliedro convexo de 16 arestas é formado por faces triangulares e quadrangulares. Seccionando-o por um plano convenientemente escolhido, dele se destaca um novo poliedro convexo, que possui apenas faces quadrangulares. Este novo poliedro possui um vértice a menos que o original e uma face a mais que o número de faces quadrangulares do original. Sendo m e n, respectivamente, o número de faces e o número de vértices do poliedro original, então A) m = 9, n = 7 B) m = n = 9 C) m = 8, n = 10 D) m = 10, n = 8 E) m = 7, n = 9 10. Considere dois planos α e β perpendiculares e três retas distintas, r, s e t tais que r ⊂ α, s ⊂ β e t = α ∩ β. Sobre essas retas e os planos é correto afirmar que A) as retas r e s somente definirão um plano se forem concorrentes em t em um único ponto. B) as retas r e s podem definir um plano paralelo à reta t. C) as retas r e s são necessariamente concorrentes. D) se r e s forem paralelas, então elas definem um plano perpendicular a α e β. E) o plano definido por r e t é necessariamente paralelo a s. 11. Considere um plano α e os pontos A, B, C e D tais que – o segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em α; – o segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em α e é perpendicular a AB; – o segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a α. Nessas condições, a medida do segmento CD é A) 26 cm B) 28 cm C) 30 cm D) 32 cm E) 34 cm 12. Dois planos π1 e π2 se interceptam ao longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles meça α radianos, 0 2 < <α π . Um triângulo equilátero ABC, de lado l, está contido em π2,
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