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Ângulo externo em polígonos regulares
Como visto anteriormente, em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos é $360^{\circ}$.
Um polígono de $n$ lados possui $n$ ângulos externos; se ele for regular, todos estes ângulos possuem a mesma medida. Portanto, o ângulo externo em um polígono regular pode ser calculado como:
$$a_e = \dfrac{360^{\circ}}{n}$$
É uma relação direta e rápida, que facilita o resolvimento de muitos exercícios.
5.1
Exemplo: ângulos externos de um octógono regular
Um octógono regular possui $8$ lados; o seu ângulo externo será:
\begin{align}
a_e &= \dfrac{360}{n} \\
a_e &= \dfrac{360}{8} \\
a_e &= 45^{\circ}
\end{align}
5.2
Exemplo: determinar o número de lados
Um polígono regular possui ângulos externos que medem $20^{\circ}$. Iremos identificar que polígono é este.
Como o polígono é regular, podemos usar a seguinte fórmula
$$a_e = \dfrac{360}{n},$$
substituindo $a_e = 20$:
\begin{align}
20 &= \dfrac{360}{n} \\
20 n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{20} \\
n & = 18
\end{align}
Este polígono possui $18$ lados, é o decaoctógono.
Obs.: determinar o número de lados através do ângulo externo é muito mais rápido; compare com as contas que fizemos para determinar o número de lados usando o ângulo interno.
5.3
Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regulares
Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?
Primeiro, usando a fórmula da Soma dos ângulos internos de um polígono:
\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{i} &= \large \frac {S_{i}}{n}
\end{align}
E ainda, usando a fórmula da Soma dos ângulos externos de um polígono:
\begin{align}
S_{e} &= 360^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{e} &= \large \frac {S_{e}}{n}
\end{align}
Agora, dado que $a_{i} = 2 \cdot a_{e}$,
\begin{align}
\large \frac
{S_{i}}{n} &= 2 \cdot \large \frac {S_{e}}{n} \\ \\
\large \frac {(n – 2) \cdot 180^{o}}{n} &= 2 \cdot \large \frac{360^{o}}{n} \\ \\
180n – 360 &= 720 \\ \\
n&=6
\end{align}
Logo, o polígono é um hexágono.
Questão 3
Das alternativas a seguir, marque aquela que é incorreta.
A) A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.
B) Todo polígono convexo possui diagonal.
C) Um polígono é conhecido como regular quando ele possui todos os lados e ângulos congruentes.
D) Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos são menores que 180º.
E) O pentágono possui 5 diagonais.
Questão 11
Sobre o conceito de polígono convexo e não convexo, marque a alternativa correta.
A) Um polígono é convexo quando todos os seus lados e também os seus ângulos são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida.
B) Um polígono é convexo quando possui diagonais.
C) Um polígono é convexo quando, dados quaisquer dois pontos (A e B) pertencentes ao polígono, o segmento de reta AB também pertence ao polígono.
D) Um polígono é convexo quando a quantidade de diagonais é igual à quantidade de lados.
Respostas
Resposta Questão 1
Alternativa B.
Utilizando a fórmula da diagonal, temos que d = n.
O polígono que possui 5 lados é o pentágono.
Resposta Questão 2
Alternativa E.
Sabemos que os divisores de 70 são:
D(70) = 1, 2, 5, 7,10,14, 35, 70.
Dos valores possíveis, o único que faz com que a equação seja verdadeira é n = 10, pois:
10 · (10 – 3 ) = 10 · 7 = 70
Resposta Questão 3
Alternativa B. O único polígono que não possui diagonal é o triângulo, o que torna a alternativa B a única incorreta.
Resposta Questão 4
Alternativa E. Esse polígono possui oito lados. Para calcular o valor de cada um dos ângulos, vamos utilizar a fórmula da soma dos ângulos internos.
Si = (n – 2) · 180
Si = ( 8 – 2) · 180
Si = 6 · 180
Si = 1080
Como o polígono é regular, todos os ângulos são congruentes, então a medida de cada um é igual a:
1.080 : 8 = 135º
Resposta Questão 5
Alternativa B.
Utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:
Si = ( n – 2 ) 180
720 = ( n – 2) 180
720 / 180 = n – 2
4 = n – 2
n = 4+2
n = 6
Resposta Questão 6
Alternativa D. A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360º, então, para descobrir o número de lados, faremos 360 : 20 = 18.
Como esse polígono possui 18 lados, então basta substituir na fórmula das diagonais.
Resposta Questão 7
Alternativa B.
Sabendo que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, sejam a, b e c os ângulos internos do triângulo, então:
a + b + c = 180
Por proporção, temos que:
a = 3k
b = 5k
c = 7k
Assim sendo, podemos escrever que:
3k + 5k + 7k = 180
15k = 180
k = 180/ 15
k =12
O maior ângulo é 7k → 7 ·12 = 84.
Resposta Questão 8
Alternativa B.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º.
3x – 45 + 2x + 10 + 2x + 15 + x + 20 = 360
8x – 10 = 360
8x = 360
x = 360 : 8
x = 45
O menor ângulo é 45 + 20 = 65º.
Resposta Questão 9
Alternativa C.
Analisando a figura, é possível perceber que ela possui 6 lados. Então, utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos, temos que:
Si = ( n – 2 ) 180º
Si = (6 – 2 ) 180º
Si = 4 · 180º
Si = 720º
A medida de um ângulo é, portanto, 720 : 6 = 120º.
Resposta Questão 10
Alternativa D.
35 – 20 = 15
Resposta Questão 11
Alternativa C.
Resposta Questão 12
Alternativa E. Para ser regular, os ângulos e os lados têm que ser congruentes. Dos polígonos listados, o único que é regular é o quadrado, que possui lados e ângulos congruentes.