Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do segundo e do
terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi adotar Definiremos a adição de
Exemplo: Se
e a diferença será: Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim: Sejam
e dois números complexos, tais que: e
. Definiremos a multiplicação de e da seguinte forma: Exemplo: Se e
o produto será:Multiplicação de números complexos
Divisão de números complexos
Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo será .
Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.
Sejam e dois números complexos, tais que: e
Definiremos a divisão de e da seguinte forma:
Exemplo
Se e a divisão será:
Argumento e módulo de um número complexo
Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número complexo no Plano de Argand-Gauss:
O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado por .
Argumento de Z
No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:
Sendo o argumento de Z.
Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar ou .
Módulo de Z
Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:
Então:
Forma trigonométrica de um número complexo
Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.
Considere o número complexo , em que z ≠ 0,
Como vimos anteriormente:
Substituindo os valores de a e b no complexo .
Produto de números complexos na forma polar
Considere dois números complexos na forma polar:
O produto entre será:
Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.
Exemplo:
Se e :
Potência de um número complexo
Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e somar seus argumentos.
Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:
e
Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:
Exemplo:
Calcular , sendo .
Texto originalmente publicado em //www.infoescola.com/matematica/numeros-complexos/
No período da “Revolução Científica”, a humanidade assiste a uma das maiores invenções da Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli (1526 – 1572), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação para os números complexos.
Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta.