Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

Probabilidade de se ter duas pessoas fazendo aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas.

Em um grupo de n pessoas escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de que pelo menos duas façam aniversário no mesmo dia?
Qual deve ser o menor valor de n para que a probabilidade seja superior a 95%?

Solução:
A solução deste exercício, como de qualquer exercício de probabilidade, pode ser calculando-se os casos
favoráveis e somar todos eles, porém neste caso este procedimento é muito custoso e desnecessário. Perceba no caso de n = 4. Teríamos que calcular a probabilidade de 2 fazerem aniversário no mesmo dia, depois de 3 fazerem e depois os 4. Agora imagina este valor de n aumentando... Neste caso, é muito mais simples o cálculo dos casos que não estamos interessados (ou seja, todos fazerem em datas diferentes) e com isso, subtraindo de 1 sabemos a probabilidade que desejamos. Façamos para n = 4 das duas formas para que se verifique que o resultado é o mesmo:

Caso1: apenas 2 pessoas fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário na data D $ \rightarrow $ probabilidade = 1 já que ela deve fazer aniversário em algum dia;
- A segunda faz em D também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365} $
- A terceira faz em outra data qualquer $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $
- A quarta faz numa data diferente de D e diferente da terceira pessoa $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{363}{365} $
Neste caso temos 6 combinações possíveis:
$$ P_1 \, = \, 6 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \right ) $$

Caso2: dois a dois fazem aniversário no mesmo dia:
- A primeira pessoa faz aniversário no dia D;
- A segunda pessoa faz aniversário no dia E diferente de D $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{364}{365} $;
- A terceira faz aniversário junto com a primeira $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
- A quarta faz junto com a segunda $ \rightarrow $ probabilidade = $\frac{1}{365} $
Neste caso há três combinações:
- 1ª com 2ª e 3ª com 4ª;
- 1ª com 3ª e 2ª com 4ª e;
- 1ª com 4ª e 2ª com 3ª.
Assim:
$$ P_2 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \right ) $$

Caso3: três fazendo aniversário no mesmo dia:
- A primeira faz no dia D;
- A segunda também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A terceira também $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{1}{365}$;
- A quarta faz em outra data $ \rightarrow $ probabilidade = $ \frac{364}{365} $;
Temos aqui três combinações também, ficando:
$$ P_3 \, = \, 3 \times \left ( 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{364}{365} \right ) $$

Caso4: Todos fazendo aniversário na mesma data: Neste caso não há combinações por ser uma condição única, portanto não aparece termo multiplicando:
$$ P_4 \, = \, 1 \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} \times \frac{1}{365} $$

A probabilidade total será:
$$ P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \, \approx \, 0,0163 $$

Porém, a probabilidade de todos fazerem aniversário em datas diferentes é:
$$ P_{dif} \, = \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365}  $$
Assim:
$$ P \, = \, 1 \, - \, P_{dif} \, \approx \, 0,0163 $$

Portanto, a probabilidade de pelo menos duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia num grupo de n pessoas é de:

$$ P \, = \, 1 \, - \, 1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times ... \times \frac{366-n}{365} $$

Em termos gerais, temos que a probabilidade é dada por:

Exercício Resolvido - Prova CORSAN 2014: Probabilidade


Assim, o menor valor de n para que a probabilidade seja maior que 95% é de n = 47, onde P $\approx$ 95,5%. Perceba que num grupo de 47 pessoas, é quase certo que duas delas façam aniversário na mesma data. O interessante é que para que a probabilidade seja 100%, é preciso um grupo de 365 pessoas. Assim, ao acrescentar mais pessoas a um grupo de 47, a probabilidade pouco se altera.

Outro exemplo é o caso de um jogo de futebol. Considerando o juiz e os auxiliares, temos 25 pessoas. A probabilidade de pelo menos dois fazerem aniversário no mesmo dia é de 56,87%.

Calcule a probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia na sua sala de aula e verifique!

Sabia que se 23 pessoas forem escolhidas aleatoriamente, a chance de pelo menos duas delas terem a mesma data de aniversário é maior do que 50%?

Esse é um resultado muito famoso na matemática conhecido como Paradoxo do Aniversariante… entretanto sua explicação apesar de usar conceitos simples de probabilidade, não é algo muito intuitiva (já tentei explicar para vários colegas da matemática e acho que até hoje eles não entenderam o porque deste resultado).

A primeira vez que este paradoxo nos é enunciado, imaginamos que para termos uma chance de duas ou mais pessoas fazerem aniversário no mesmo dia maior do que 50%, precisaremos de pelo menos 183 pessoas… entretanto é uma ideia bastante equivocada. Faremos um passo a passo para entendermos o porque com apenas 23 pessoas já é possível chegar nesta probabilidade.

Caso 0: Escolhemos apenas uma pessoa. Chance de duas ou mais pessoas fazerem aniversário na mesma data, 0%, pois só existe uma pessoa.

Caso 1: Somamos uma pessoa ao Caso 0. Agora o calendário já está com um espacinho preenchido (devido ao Caso 0), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 364/365.

Caso 2: Somamos uma pessoa ao Caso 1. Agora o calendário já está com dois espacinhos preenchidos (devido ao Caso 1), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 363/365.

Caso 3: Somamos uma pessoa ao Caso 2. Agora o calendário já está com três espacinhos preenchidos (devido ao Caso 2), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 362/365.

Caso 4: Somamos uma pessoa ao Caso 3. Agora o calendário já está com três espacinhos preenchidos (devido ao Caso 3), então a chance dessa nova pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que outra, é de 361/365.

Contudo, observe que o resultado do Caso 2 depende do resultado negativo do Caso 1. Da mesma forma que o resultado do Caso 3 depende do resultado negativo do Caso 2 que depende do resultado negativo do Caso 1. Analogamente, o resultado do Caso 4 depende do resultado negativo do Caso 3, que depende do resultado negativo do Caso 2, que depende do resultado negativo do Caso 1. Então, para que cheguemos no contexto do Caso N, precisamos que os N-1 Casos anteriores tenham obtido um resultado negativo.

Fazendo as contas, temos que:

Caso 1: (364/365) = 99,7%

Caso 2: (364/365).(363/365) = 99,1%

Caso 3: (364/365).(363/365).(362/365) = 98,3%

Caso 4: (364/365).(363/365).(362/365).(361/365) = 97,2%

Caso 22: (364/365).(363/365)…(345/365).(344/365) = 49,2%

Dessa forma, chegamos ao resultado de que com apenas 23 pessoas, a chance de que nenhuma delas faça aniversário na mesma data que uma outra, é de 49,2%. Invertendo a proposição, a chance de que duas ou mais pessoas façam aniversários nas mesmas datas é de 50,8%.

O resultado é legal, porém já existem muitos livros, blogs e outros canais falando sobre este mesmo conceito e mostrando estes cálculos, por isso faremos algo mais divertido. Calcularemos para cada um dos outros 7 planetas do nosso Sistema Solar, quantos extraterrestres precisamos escolher aleatoriamente para a chance de dois deles fazerem aniversário no mesmo dia (relativo aquele planeta) ser maior do que 50%.

MERCÚRIO: No período de translação de Mercúrio ao redor do Sol, o planeta faz um giro e meio ao redor do próprio eixo… ou seja, só existe um dia completo para cada Ano Mercuriano. Dessa forma, todos os mercurianos fazem aniversário no mesmo dia.

Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

VÊNUS: No período de translação de Vênus ao redor do Sol, o planeta não completa uma volta completa ao redor do próprio eixo… ou seja, os dias dos venusianos são maiores do que seus anos. Ou seja, não existem aniversários em Vênus.

Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

MARTE: No período de translação de Marte ao redor do Sol, o planeta faz 669 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 669 dias em cada ano marciano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 31 marcianos aleatoriamente, existe 50,5% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário marciano).

Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

JÚPITER: No período de translação de Júpiter ao redor do Sol, o planeta faz 1.768 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 1.768 dias em cada ano jupiteriano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 50 jupiterianos aleatoriamente, existe 50,3% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário jupiteriano).

Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

SATURNO: No período de translação de Saturno ao redor do Sol, o planeta faz 24.437 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 24.437 dias em cada ano saturniano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 113 saturnianos aleatoriamente, existe 50,3% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário saturniano).

Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

URANO: No período de translação de Urano ao redor do Sol, o planeta faz 42.875 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 42.875 dias em cada ano uraniano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 245 uranianos aleatoriamente, existe 50,2% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário uraniano).

Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?

NETUNO: No período de translação de Netuno ao redor do Sol, o planeta faz 89.661 giros ao redor do próprio eixo… ou seja, existem 89.661 dias em cada ano netuniano. Repetindo o cálculo do problema do aniversário, descobrimos que se reunirmos 353 netunianos aleatoriamente, existe 50,0% de chance de pelo menos dois deles fazerem aniversário na mesma data (considerando o calendário netuniano).

Quantas pessoas precisas para ter as probabilidades de 2 pessoas terem o mesmo aniversário?


Como referenciar este conteúdo em formato ABNT (baseado na norma NBR 6023/2018):

SILVA, Marcos Henrique de Paula Dias da. Paradoxo do Aniversário Alienígena. In: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS. Zero – Blog de Ciência da Unicamp. Volume 2. Ed. 1. 2º semestre de 2019. Campinas, 28 dez. 2019. Disponível em: https://www.blogs.unicamp.br/zero/981/. Acesso em: <data-de-hoje>.

Qual a chance de 2 pessoas fazerem aniversário no mesmo dia?

Em teoria das probabilidades, o paradoxo do aniversário afirma que dado um grupo de 23 pessoas escolhidas aleatoriamente, a chance de que duas pessoas terão a mesma data de aniversário é de mais de 50%.

Qual a probabilidade de alguém fazer aniversário no mesmo dia?

Ou seja, a probabilidade de ninguém fazer aniversário no mesmo dia num grupo de 23 pessoas é 365 × 364 × … × 343/365²³ = 49%. Se a chance de ninguém fazer aniversário no mesmo dia é de 49%, por consequência, a chance de alguém fazer aniversário no mesmo dia é de 51%!

Quais são as data de aniversário mais rara?

O dia 29 de fevereiro só ocorre de quatro em quatro anos, em anos bissextos.

Quantas pessoas precisam estar reunidas para termos certeza que duas delas fazem aniversário no mesmo mês?

Problema 1 Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas entre elas fazem aniversário no mesmo mês? Resposta: O número mínimo de pessoas é 13.