Quantos anagramas da palavra caderno possui as vogais em ordem alfabética?

O anagrama é um jogo de palavras que utiliza a transposição ou rearranjo de letras de uma palavra ou frase, com o intuito de formar outras palavras com ou sem sentido. É calculado através da propriedade fundamental da contagem, utilizando o fatorial de um número de acordo com as condições impostas pelo problema.

Exemplo 1

Vamos determinar os anagramas da palavra:

a) ESCOLA
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos o valor de 6! (seis fatorial).
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

b) ESCOLA que inicia com E e termina com A.
E ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 4 letras não fixas.
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

Exemplo 2

a) Determinar os anagramas da palavra REPÚBLICA.
A palavra possui 9 letras, então devemos calcular 9!.
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362.880

b) REPÚBLICA que inicia com R e termina com A.
R ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ A
Vamos permutar as 7 letras não fixadas.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040

Exemplo 3

Determinar os anagramas da palavra CONQUISTA, que tem as letras CON juntas e na mesma ordem: C O N ___ ___ ___ ___ ___ ___ .
Temos 6 letras não fixadas que permutarão entre si, e a expressão CON que se unirá às permutações.
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5040

Exemplo 4

A palavra MATEMÁTICA é formada por 10 letras. Determine o número possível de anagramas dessa palavra.

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Temos que das 10 letras, 3 se repetem. Essas repetições estão nas letras: M, A e T. Nesse caso, devemos retirar a repetição de letras para que a contagem de anagramas não fique comprometida. Para que isso seja feito, devemos dividir a quantidade equivalente ao fatorial do total de letras pelo produto dos fatoriais das repetições. Veja:

Quantidade de repetições das letras: M --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!
                                                       A --> Repeti 3 vezes, logo devemos calcular o 3!
                                                       T --> Repeti 2 vezes, logo devemos calcular o 2!

Cálculo da quantidade de anagramas da palavra MATEMÁTICA

=

=

= 151200
2! . 3! . 2!      (2 * 1) * ( 3 * 2 * 1) * (2 * 1 )               24

A palavra MATEMÁTICA possui 151200 anagramas.

Exemplo 5

Quantas palavras de 3 letras podemos formar com as letras O, L e A? Quais são essas palavras? As palavras não precisam necessariamente terem siginificado.

A quantidade de palavras será dada por 3!
3 * 2 * 1 = 6 palavras

As palavras são:

OLA
OAL
ALO
AOL
LOA
LAO

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4, 5 e 6, nos quais o 1 e o 2 nunca ocupam posições adjacentes, mas o 3 e o 4 sempre ocupam posições adjacentes? a) 144 d) 188 b) 180 e) 360 c) 240 68. UFRGS-RS O número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9, é: a) 24 d) 72 b) 36 e) 96 c) 48 69. Têm-se 12 livros, todos diferentes, sendo 5 de Mate- mática, 4 de Física e 3 de Química. De quantos modos podemos dispô-los em uma estante, devendo os livros de mesmo assunto permanecerem juntos? 70. IME-RJ Ocupando cinco degraus de uma escadaria, de forma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça, cinco rapazes e cinco moças devem posar para fotografia. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar esse grupo? a) 70.400 b) 128.000 c) 460.800 d) 332.000 e) 625 71. ITA-SP Quantos anagramas da palavra caderno apresentam as vogais em ordem alfabética? a) 2.520 b) 5.040 c) 1.625 d) 840 e) 680 72. UFMS Se S é a soma de todos os números de cinco algaris- mos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, então: a) S = 3.888.950 b) S = 3.999.960 c) S = 3.888.960 d) S = 3.899.970 e) S = 3.999.950 73. Quantos são os anagramas das palavras: a) bar; b) barril; c) barrigada? 74. FCMSC-SP Quantos vocábulos diferentes podem ser formados com as letras da palavra araponga, de modo que a letra p ocupe sempre o último lugar? a) 120 d) 720 b) 240 e) 3.024 c) 840 75. Unioeste-PR Determine o número de anagramas da palavra direito em que vogais e consoantes se alternam. 76. Quantos são os anagramas da palavra PARALELA? 77. PUC-SP Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, em que cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é: a) 10 d) 60 b) 24 e) 120 c) 30 78. De quantos modos um casal pode ter cinco filhos, sen- do necessariamente dois homens e três mulheres? 79. Quantos são os números de 5 algarismos que apre- sentam exatamente dois algarismos 4, dois algarismos 5 e um algarismo 9? 80. Carlos, em uma festa, comeu 3 brigadeiros e tomou 2 copos de refrigerante. Lembra-se apenas de que inicialmente comeu um doce, mas não sabe dizer como sucederam as outras coisas, comer dois brigadeiros e beber os dois copos de refrigerante. O número de maneiras diferentes que isso pode ter ocorrido é: a) 24 d) 4 b) 12 e) 2 c) 6 55 PV 2D -0 7- M AT -1 04 81. Um casal teve 5 filhos, que hoje têm: 5, 7, 8, 9 e 10 anos. Sabe-se que dois desses filhos são do sexo masculino e três do sexo feminino. João acha que a ordem crescente de idade dos filhos é MFFMF, em que M representa filho do sexo masculino e F filho do sexo feminino. No entanto Maria acha que a ordem é FMMFF. Afinal, quantas são as seqüências possíveis dos sexos dos filhos do casal, considerando-se a ordem crescente das idades? 82. De quantos modos podem ser colocadas as peças brancas (2 cavalos, 2 torres, 2 bispos, o rei e a dama) na primeira fila do tabuleiro de xadrez, considerando- se os dois cavalos iguais, bem como as duas torres e os dois bispos? 83. Em um carro de oito lugares, oito pessoas devem fazer uma viagem. a) Determine o número de maneiras diferentes de elas ocuparem os oito lugares, sabendo que o lugar da direção só pode ser ocupado por uma das três pessoas habilitadas. b) Se duas pessoas habilitadas e uma não habilitada desistirem da viagem, quantas são as maneiras distintas de ocupar o carro? 84. UFMG Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocu- padas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é: a) 1.225 d) 40! b) 2.450 e) 50! c) 250 85. FGV-SP Com relação à palavra SUCESSO: a) Quantos são seus anagramas? b) Quantos começam por S e terminam por O? c) Quantos têm as letras UC juntas, nessa ordem? d) Quantos têm as letras UC juntas? 86. PUC-SP Nove pessoas param para pernoitar num hotel. Existem 3 quartos com 3 lugares cada. O número de formas que estas pessoas podem se distribuir entre os quartos é: a) 84 b) 128 c) 840 d) 1.680 e) 3.200 87. UFRGS-RS No desenho a seguir, as linhas horizontais e verticais representam ruas, e os quadrados representam quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento mínimo ligando A e B que passam por C é: a) 12 b) 13 c) 15 d) 24 e) 30 88. Na figura abaixo, está representada parte da planta de um bairro. Marina deve caminhar de sua casa ao shopping, onde pretende ir ao cinema, por um dos caminhos mais curtos. Quantos são os possíveis caminhos para Marina ir: a) de casa ao shopping? b) de casa ao shopping, passando antes na casa de sua amiga Renata? 89. UnB-DF Em um tabuleiro quadrado, de 5 x 5, mostrado na figura I, deseja-se ir do quadrado esquerdo superior (ES) ao quadrado direito inferior (DI). Somente são permitidos os movimentos horizontal (H), vertical (V) e diagonal (D), conforme ilustrado na figura II. Com base nessa situação e com o auxílio dos prin- cípios de análise combinatória, julgue os itens que se seguem. 0. Se forem utilizados somente movimentos hori- zontais e verticais, então o número de percursos possíveis será igual a 70. 1. Se forem utilizados movimentos horizontais e ver- ticais e apenas um movimento diagonal, o número de percursos possíveis será igual a 140. 2. Utilizando movimentos horizontais, verticais e três movimentos diagonais, o número de percursos possíveis é igual a 10. 56 90. IME-RJ É dado um tabuleiro quadrado de 4 × 4. Deseja-se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrado superior esquerdo. Os movimentos permitidos são os representados pelas setas abaixo. De quantas maneiras isso é possível? 91. A equação x + y = 7 tem somente: a) 8 soluções naturais distintas. b) 7 soluções naturais distintas. c) 16 soluções naturais distintas. d) 14 soluções naturais distintas. e) 4 soluções naturais distintas. 92. A equação x + y + z = 7 tem somente: a) 144 soluções naturais distintas. b) 72 soluções naturais distintas. c) 45 soluções naturais distintas. d) 36 soluções naturais distintas. e) 18 soluções naturais distintas. 93. Cinco moedas iguais devem ser colocadas em três “cofrinhos” diferentes. Sabendo que nos “cofrinhos” po- dem ser colocadas de zero a cinco moedas, o número de maneiras distintas que isso pode ocorrer é: a) 36 d) 25 b) 32 e) 21 c) 30 94. Mackenzie-SP Ao utilizar o caixa eletrônico de um banco, o usuário digita sua senha numérica em uma tela como mostra a figura. Os dez algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) são associados aleatoriamente a cinco botões, de modo que a cada botão correspondam dois algarismos, indicados em ordem crescente. O número de maneiras diferentes de apresentar os dez algarismos na tela é: a) 10 25 ! d) 25 · 10! b) 10 5 ! e) 10 2 ! c) 25 · 5! 95. UFRJ Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exempla- res do livro Combinatória é fácil e 5 exemplares de Combinatória não é difícil. Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. Determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 16 livros na estante de modo que dois exemplares de Combinatória não é difícil nunca es- tejam juntos. 96. Fuvest-SP Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? a) 12 d) 72 b) 18 e) 108 c) 36 97. ITA-SP Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a, b, c? a) 1.692 d) 1.512 b) 1.572 e) 1.392 c) 1.520 98. UFMG Formam-se comissões de

Quantos são os anagramas da palavra caderno?

Quantos anagramas tem as vogais em ordem alfabética?

Quantos anagramas da palavra caderno não possuem as três vogais juntas?