Utilizamos o arranjo simples quando queremos saber quantos agrupamentos ordenados diferentes podemos formar com p dos n elementos dados, sendo sempre p ≤ n. Ou seja, nesse caso, a ordem em que os elementos se encontram no agrupamento é importante. Show
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Um dos métodos mais antigos de criptografia, utilizado desde a antiguidade, é alterar a posição dos elementos, tornando a mensagem ilegível. Atualmente, com a tecnologia da análise combinatória, o uso da criptografia ficou mais sofisticado. Hoje, informações codificadas expandiram-se: estão presentes em cartões de crédito, na internet e até mesmo em ligações telefônicas. O que é um arranjo simples?Por exemplo: usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar? Para isso, podemos utilizar o seguinte raciocínio: A primeira posição será utilizada para os números da centena; a segunda para os números da dezena; e, por último, para os números das unidades. Ao todo, temos 5 números que podem ser usados para preencher as posições.Como não podemos repetir, há 5 possibilidades para o 1º algarismo, 4 para o 2º e 3 para o 1º. No total, podemos formar 5 . 4 . 3 = 60 números. Podemos também obter esse mesmo resultado utilizando a fórmula do arranjo: Sendo:
Resolvendo o exemplo acima, utilizando a fórmula, teremos n = 5 e p = 3: Veja: sempre teremos n ≥ p. Ou seja, o número de elementos ao todo deve ser maior ou igual ao número de elementos dos agrupamentos que queremos fazer.Diferença entre arranjo e combinaçãoQuando realizamos a combinação de n elementos em grupos de p elementos, sem se importar com a ordem dos elementos nesse grupo, estamos fazendo a combinação desses elementos. Porém, quando a ordem é importante, precisamos utilizar o arranjo. Podemos visualizar isso melhor imaginando a seguinte situação: (1) Anna, Elisa, Rosana, Diego, Fabrício e João estão disputando uma corrida. Quais são as possibilidades de formação do pódio de primeiro, segundo e terceiro lugar? Nesse caso, a posição em que cada pessoa fica faz diferença: se eles ficam em primeiro, segundo ou terceiro é diferente. Porém, se essas mesmas pessoas estiverem se organizando em duplas para treinar para esse campeonato, tanto faz se a dupla for (Anna, Elisa) ou (Elisa, Anna). Portanto, a ordem não importa. Nesse caso, usaremos, então, a combinação. Como resolver exercícios de arranjo?Todos os exercícios que envolvem arranjo simples podem ser resolvidos de duas formas: utilizando a fórmula e usando um raciocínio de multiplicar os números usados em cada posição. Essas duas maneiras foram empregadas na resolução do primeiro exemplo. Veja outros exemplos, a seguir, nos exercícios resolvidos. Exercícios resolvidos1) Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? RESPOSTA: 1ª maneira: utilizando a fórmula. Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 ≠ 21. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos que calcular: Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9.2ª maneira: sem usar a fórmula. Para o algarismo das dezenas, temos 9 opções e, para algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 9 . 8 = 72 possibilidades. Portanto, são 72 números. 2) Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e 4? RESPOSTA: 1ª maneira: sem usar a fórmula. Para o algarismo das dezenas, temos 4 opções e, para o algarismo das unidades, apenas 3, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 4 . 3 = 12 possibilidades, portanto, 12 números. 2ª maneira: utilizando a fórmula. Nesse caso, temos quatro dígitos, 1, 2, 3 e 4, e queremos saber quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com eles. Precisamos calcular A4,2. Portanto, podemos escrever 12 números com 2 algarismos diferentes com os dígitos 1, 2, 3 e 4.3) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. Quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Sul do Brasil, cada um de uma cor? RESPOSTA: 1ª maneira: sem usar a fórmula. São 3 estados: Rio Grande do Sul, Paraná e Santa Catarina. Para pintar o Rio Grande do Sul, há 5 possibilidades, para o Paraná, 4 possibilidades, e, para Santa Catarina, 3 possibilidades. Logo, 5 . 4 . 3 = 60 possibilidades. 2ª maneira: usando a fórmula. Os estados do sul do Brasil são 3: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Logo, devemos calcular A5,3. Portanto, há 60 maneiras diferentes de pintar os estados do Sul usando 5 cores.Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9. Para o algarismos das dezenas temos 9 opções e, para o algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 9 . 8 = 72 possibilidades. 2 = 120 possibilidades. Pode formar 24 números diferentes! Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados com os números: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? 33. 45. Portanto, podemos escrever 12 números com 2 algarismos diferentes com os dígitos 1, 2, 3 e 4. 336 números. Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos existem? Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões. partir do conjunto {2, 3, 4, 5, 6} Temos 5 possibilidades para o primeiro dígito. Como os dois dígitos devem ser distintos, temos 4 possibilidades para o segundo. Então, temos 17 números compostos. a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? A questão não pede distinção, ou seja, os números podem ser escolhidos mais de uma vez. 5x5x5x5 – 25x5x5 – 125×5 = 625 números d quatro algarismos. Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados Usando-se os algarismos 2 3 4 e 5?partir do conjunto {2, 3, 4, 5, 6} Temos 5 possibilidades para o primeiro dígito. Como os dois dígitos devem ser distintos, temos 4 possibilidades para o segundo. Então, temos 17 números compostos. assim, temos 4.4 = 16 números distintos. Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6? Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos repetidos, portanto: 4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos. 3 resposta(s) 336 possibilidades! Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7? Solução: 7.6.5.4.3! Resposta: Podemos formar 840 números diferentes. 15 = 360 maneiras. Portanto, são 120 os números de 3 algarismos distintos formados pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Oi! Para formar um número com três algarismos distintos usando 1, 2, 3, 7 e 8, temos na primeiro dígito do número, 5 opções de algarismo. No segundo dígito, temos 4 opções, pois pode ser qualquer algarismo menos o que já foi utilizado anteriormente. Resposta: 6×4=24 possibilidades para se formar números distintos . Explicação passo-a-passo: SÃO 6 algarismos 1,4,5,6,8e9 para formar números distintos é só multiplicar por 4. Quantos números distintos de 3 algarismos podemos formar?São seis possibilidades de algarismos para a casa das centenas, cinco para a das dezenas e 4 para a das unidades. Pelo príncipio fundamental da contagem: 6x5x4= 120 possibilidades. Resposta. para ser par o número deve finalizar em 0,2,4,6 ou 8. Portanto existem 328 números pares de 3 algarismos distintos que podem ser formados com os números de 0 a 9. Podemos formar 80 números de 3 algarismos distintos maiores que 300. Finalmente, usando o princípio aditivo, obtemos que a quantidade de números de 3 e 4 algarismos distintos e maiores do que 300 que podem ser formados com os algarismos 0,1,3,5 e 7 é 36 +96 = 132. 8. Então, pelo princípio multiplicativo, temos que a quantidade de números de 3 algarismos menores de 800 que podem ser formados com os números 2,3,5,8, e 9 é 3A(4,2) = 36. Resposta: 420 possibilidades. Oi! Para formar um número com três algarismos distintos usando 1, 2, 3, 7 e 8, temos na primeiro dígito do número, 5 opções de algarismo. No segundo dígito, temos 4 opções, pois pode ser qualquer algarismo menos o que já foi utilizado anteriormente. 1) Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9? RESPOSTA: 1ª maneira: utilizando a fórmula. Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9. Essa é uma questão de combinatória. Temos os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 disponíveis. A pergunta fala em algarismos distintos, o que elimina possibilidades como 99, 88, 77... Portanto, temos 9 opções para o primeiro algarismo e 8 para o segundo (pois não pode ser igual ao primeiro). Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9? Resposta correta: c) 3 024 senhas. Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem. O segundo algarismo pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Temos 7 opções para o segundo. Se no primeiro temos 6 opções e no segundo temos 7, obtemos que há 6×7 possibilidades. Ou seja, 42 números. Resposta. Resposta: Podemos escrever 10 números. Também se pode usar a fórmula do arranjo simples, pois a ordem entre as pessoas não faz diferença. Desse modo, usamos a fórmula geral: Considerando que n=5 e p=3, teremos: Logo, haverá 60 maneiras de formar números de três algarismos com 1, 2, 3, 6, e 7. Podem ser formados 12 números de 2 algarismos distintos com os números 2, 4, 6 ou 8. São eles: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84 e 86. Logo teremos 24 números com três algarismo distintos. Quantos números de 2 algarismos distintos existem?Existem 90 números de dois algarismos, eles vão de 10 a 99. Descartando os números 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 e 99 que são formados por algarismos iguais, restam 81 números distintos de dois algarismos. Quantos números naturais de 2 algarismos distintos existem quantos desses números são divisíveis por 5?Bem, temos sem 0 a 99 temos 100 números. Depois os números que repetem algarismo( = 80 números com 2 números distintos. Os divisíveis por cinco serão: 10, 15, 20, 25, 30 ,35, 40 ,45 ,50, 60, 65, 70, 75, 80,85, 90 ,95. Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5.000 e 10 000?Quantos números naturais de algarismos distintos entre 5000 e 10 000 podemos formar com os algarismos 1,2,4 e 6. Quantos são divisíveis por 5?Para determinar todos os valores divisíveis por cinco, existe uma regra básica: todos os número que terminam em 0 ou 5 são divisíveis por cinco. Portanto, o conjunto dos números divisíveis por cinco é infinito e possui os seguintes termos: {5,...} Quantos são os números naturais que contém 4 algarismos?Números com 4 algarismos, temos as possibilidades de 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Mas não podemos usar o 0 como primeiro número. Assim, fazemos um fatorial com as possibilidades de números em cada casa decimal, lembrando que o zero não começa nenhum número: 9*= 9000 esse é o total de números com 4 algarismos. Quantos são os números de exatamente 4 algarismos?O conjunto dos algarismos são { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ou seja, 10 elementos. Usando o princípio multiplicativo: Se for permitida a repetição: 9 x 10 x 10 x 10 = 9000 numeros. Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 0 1 2 3 4 5 e 6?336 números. Com os algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 quantos números naturais de 3 algarismos existem? Solução: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens. Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões. Quantos números naturais de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1 2 3 4 5 6 e 7?Logo, podem ser formados 480 números nas condições enunciadas. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com 1 2 3 5 7 8 e 9?3 resposta(s) Respostas: 336 possibilidades! Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 1 2 3 4 e 5?Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números de 3 algarismos podemos formar? 210 números. Quantos números naturais de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos?Bem, temos sem 0 a 99 temos 100 números. Depois os números que repetem algarismo( 11,22,33,44,55,66,77,88,99)= 80 números com 2 números distintos.
Quantos são os números naturais de 2 algarismos?do 10 ao 99, temos 90 números de 2 algarismos; logo, 180 algarismos; do 100 ao 999, temos 900 números de 3 algarismos; logo, 2 700 algarismos; do 1 000 ao 1 999, temos 1 000 números de 4 algarismos; logo, 4 000 algarismos; do 2 000 ao 2 007, temos 8 números de 4 algarismos; logo, 32 algarismos.
Quantos são os números formados por dois algarismos distintos?Resposta verificada por especialistas
Se tínhamos 10 dígitos,e colocamos 1 no primeiro espaço,ainda teremos outros 9 para escolhermos. Portanto: _9_ x _9_ = 81 números.
Quantos números com dois algarismos diferentes podemos formar com os números 1 2 3 4 e 5?Resposta correta: b) 24 maneiras diferentes.
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Quantos números naturais de 2 algarismos distintos podem ser formados?
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