Questão 01 sobre Permutações: Considere a palavra VESTIBULAR: Show
a) Quantas permutações podemos formar? Questão 02. (UNISA) O número de permutações que se pode fazer empregando todas as letras da palavra ARARA é: a) 120 Questão 03. (Fuvest) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é: a) 24 Questão 04 sobre Permutações: FGV) Quantos números diferentes obtemos reagrupando os algarismos do número 718844? a) 90 Questão 05. (Unitau) Numa estante existem 3 livros de História, 3 de Matemática e 1 de Geografa. Se deseja sempre um livro de História em cada extremidade, então o número de maneiras de se arrumar estes 7 livros é: a) 720 Questão 06. (Unicamp) Sete tijolos, cada um de uma cor, são empilhados. De quantos modos se pode fazer isso, de forma que o verde e o amarelo estejam sempre juntos? Questão 07 sobre Permutações: (PUC-Campinas) Um casal e seus três filhos devem sentar-se, lado a lado, para serem fotografados. Se o casal não quer ser separado, de quantos modos distintos pode o fotógrafo acomodar a família para tirar a foto? Questão 08. Considere a palavra BATATA: a) Quantos anagramas podemos formar? Questão 09. (Med. Jundiaí) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações: I. O número total deles é 720. Então, apenas: Questão 10 sobre Permutações: (UFF-RJ) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que começam por vogal, e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os valores de x e de y são, respectivamente: a) 48 e 36 🔵 >>> Confira nossa lista completa de exercícios sobre Matemática. Gabarito com as respostas do simulado com 10 atividades de matemática sobre Permutações:01) a) 10! = 3 628800 b) 7! = 5040 c) 8! = 40320 d) 8! 3! = 241920 e) 12.8! = 483840 f) 24.8! = 967680 02) d; 03) b; 04) e; 05) a; 06) 1440; 07) 48; 08) a) 60 b) 30 09) e; 10) a; Doutorando em Genética e Biologia Molecular – UESC-BA Matemática Combinatória é a parte da matemática que se preocupa em agrupar e contar coleções de objetos, seguindo certos critérios de contagem. Princípio aditivoPrincípio multiplicativoO princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem diz que se há x modos de se tomar uma decisão A e, tomada essa decisão há y modos de se tomar uma decisão B, então o número de modos de se pode tomar sucessivamente as decisões A e B é x . y. Considerando x, y, z modos para, respectivamente, três decisões, tem-se x . y . z. De uma forma geral, tendo-se x1 maneiras de se tomar a decisão 1, x2 maneiras de se tomar a decisão 2, . . . , xn maneiras de se tomar a decisão n, então se terá
ao todo: Exemplo: Como ela deve usar uma calça, uma blusa e um par de sapato, então o número total é dado por: 3 . 6 . 2 = 36. Fatorial (!)O fatorial de um número natural n,
representado por n! (lê-se: “n fatorial ou fatorial de n”), é igual ao produto sucessivo desse número pelos seus antecessores até a unidade. Por convenção, 0! = 1 e 1! = 1.É fácil notar que 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6 . 5! = 6 . 5. 4 . 3 . 2 .
1 =
6 . 5 . 4! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 6 . 5 . 4 . 3! Análise CombinatóriaPermutações SimplesDado um conjunto com n elementos no qual se deseja ordená-los, o número total de agrupamentos que pode ser feito é igual a: Chama-se permutação simples de n elementos distintos aos agrupamentos dos n elementos de modo que cada agrupamento difere do outro apenas pela ordem de seus elementos. Exemplo: Algarismos distintos quer dizer diferentes; qualquer exemplo que se faça tem exatamente
4 elementos e, por exemplo, 3215 e 3251 diferem apenas pela ordem dos elementos. Arranjos SimplesSeja um conjunto com n elementos dos quais, se deseja formar agrupamentos de p elementos distintos, com p n, onde cada agrupamento difere do outro pela natureza ou pela ordem de seus elementos.Neste caso se tem um arranjo simples de n elementos tomados p a p. O número de arranjos simples é dado por: = An, p = Exemplo: Qualquer exemplo usará apenas quatro dos seis elementos. Tanto 2345 é diferente de 2354 (pela ordem) como 2345 é diferente de 2346 (pela natureza dos elementos, pois, neste caso, não foram usados os mesmos elementos) e, portanto, trata-se de um arranjo simples (pois cada exemplo usa algarismos distintos) de 6 elementos tomados 4 a 4. Combinação SimplesSeja um conjunto com n elementos dos quais, se deseja formar agrupamentos de p elementos distintos, com p n, onde cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elementos.Neste caso se tem uma combinação simples de n elementos tomados p a p. O número dessas combinações simples é dado por: = = Cn, p = Observações: = ex.: = =Cn,0 = Cn,n = 1 e Cn,1 = n, qualquer que seja o natural n 1.Exemplo: Considerando os elementos a, b, c, d, f, um conjunto com dois seria, por exemplo, {a, b} e ele logicamente é diferente de, por exemplo, de {a, c}, pela natureza de seus elementos, mas os conjuntos {a, b} e {b, a} não são diferentes, mas sim o mesmo conjunto. Permutação Circular ou CíclicaDado um conjunto com n elementos onde
se deseja ordená-los de maneira que o primeiro e o último se encontrem, isto é, tenham a forma. Neste caso se tem uma permutação circular que é diferente das permutações simples, pelo fato de que rodando os elementos não se tem outro agrupamento, pois, por exemplo, com os elementos A, B, C e D, em círculo, tem-se que ABCD, BCDA, CDAB e DABC são todos iguais e, portanto, correspondem a um único agrupamento. O número de permutações cíclicas é dado por: PCn = (n – 1)! Exemplo: Como a primeira e a última estarão se encontrando em circulo tem-se uma permutação circular dos 5 elementos, isto é, PC5 = (5 – 1)! = 4! = 24. Permutação com RepetiçãoSupondo que se tem n elementos para permutar, sendo que q1 desses elementos são de um mesmo tipo, q2 de outro tipo, q3 de outro tipo, e assim por diante, onde q1 + q2 + . . . + qp n.Neste caso se tem um permutação com repetição de n elementos onde se tem q1 iguais a tipo, q2 de outro tipo, . . . O número de permutações com repetição é dado por: = Exemplo: Anagrama é a junção de letras tendo significado ou não (se fizer sentido é uma palavra), neste caso há seis elementos que serão permutados, porém 3 são de um mesmo tipo (letra A) e 2 de outro tipo (letra R), portanto tem-se uma permutação com repetição de 6 elementos com 3 e 2 tipos de repetições, logo há: = = = 6 . 5 . 4 / 2 = 120 / 2 = 60.Arranjo com RepetiçãoSeja um conjunto com n elementos e sendo p um número inteiro positivo menor ou igual a n, chama-se arranjo com repetição dos n elementos tomados p a p, a qualquer sequência de p elementos, onde pode haver repetições de elementos e sendo p o número máximo de repetições. Exemplo: Como não foi dito que os três algarismo devem ser distintos, então, por exemplo, 242 pode ser um desses números, e um número difere do outro tanto pela natureza com pela ordem de seus elementos, então se trata de um arranjo com repetição de 6 elementos 3 a 3. Combinação com RepetiçãoSeja um conjunto com n elementos dos quais, se deseja formar agrupamentos de p elementos não
necessariamente distintos, onde cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elemento, então se tem uma combinação com repetição de n elementos tomados p a p. Exemplo: De uma forma geral, pode-se considerar a equação como x1 + x2 + . . . + xn = p. Se a questão fosse: quantas são as soluções inteiras positivas da equação x + y + z = 4? Observação: A principal diferença entre arranjo e combinação é que no arranjo, os agrupamentos, por exemplo, ABC e ACB são diferentes, ou seja, a ordem importa e na combinação a ordem nãoimporta. R01 — Quantos são os divisores de 210 . 39? Quantos divisores são pares? Cada potência de 2 multiplicada por cada potência
de 3 representa um divisor, assim 20 . 30= 1 . 1 = 1 é um divisor, 21 . 30 = 2 . 1 = 2, outro, 20 . 31 = 1 . 3 = 3 e, assim por diante, então os divisores dependem das potências, isto é, no caso do 2 os expoentes podem ser E(2) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e os de 3, E(3) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Para que o divisor seja para é necessário que o 2 não desapareça, isto é, que o expoente do 2 não seja zero, assim haverá 10 possibilidades para cada e, 10 . 10 = 100 divisores. R02 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores amarelo, preto e vermelho, sem que dois quadrados consecutivos tenham a mesma cor e que nem o primeiro nem o último sejam pintados de
amarelo? Começa-se pelas condições impostas que é para o primeiro e o sexto há apenas duas opções (vermelho ou preto), a segunda posição pode-se pintar com qualquer uma das três cores exceto a que foi pintada a primeira, para terceira e quarta a mesma coisa, porém na quinta posição não se poder pintar com a mesma cor da quarta nem da sexta, então só há uma opção. R03 — Quantos são os anagramas da palavra “PRATO” que começam por consoante? Cada anagrama corresponde a uma ordem das 5 letras. Para formar um anagrama começando por consoante se deve começar por P, R ou T. R04 — De quantas formas pode-se ordenar 8 pessoas de modo que duas determinadas pessoas não fiquem juntas? O número total que se pode ordenar é dado pela permutação de todos os oito elementos P8, mas isto inclui os casos em que duas determinadas estejam
juntas. R05 — De quantas formas podemos acomodar 3 pessoas em 5 cadeiras? Neste caso, tem-se cinco cadeiras: A, B, C, D, E das quais se usará apenas 3 (onde sentarão as três pessoas). R06 — Numa reta há 6 pontos e em outra reta paralela a esta, 5 pontos. Quantos triângulos
podem ser formados com esses pontos? E quantos quadriláteros? Como as retas são paralelas, pegando dois pontos de uma reta e um ponto da outra reta forma-se um triângulo, e como, por exemplo, os vértices A e B da primeira reta forma com o vértice C da segunda reta um triângulo e o
vértice C da segunda reta forma com os vértices A e B da primeira reta o mesmo triângulo. Logo, trata-se de uma combinação simples onde se escolhe 2 pontos na primeira reta e 1 na segunda reta (como é 'e' então multiplica-se) ou(como é 'ou' soma-se) 1 ponto na primeira reta e 2 pontos na segunda reta. Para formar quadriláteros, é preciso escolher 2 pontos em cada reta e portanto, C6,2 . C5,2 = . = 15 . 10 = 150.R07 — Quantos são os anagramas da palavra ANAGRAMA, que mantêm juntas as letras ANGM nesta ordem? E que tenham as letras NGRM juntas? Como as letras ANMG devem ficar juntas elas formam apenas um elemento que com as letras AAAN restantes, formam 5 elementos que serão permutadas, mas há repetição da letra A (3 vezes, já que a letra A que está formando um
elemento em ANMG não está sozinha). Considerando que as letras NMGR, podem ser permutadas entre si, tem-se P4 maneiras e, como elas formam um
elemento que junto das demais AAAA, formam 5 elementos com repetição das quatro letras A, tem-se PR5,4 maneiras. R08 — Seja A um conjunto com 4 elementos e outro B, com 3 elementos. Quantas são as funções de A em B? E quantas são sobrejetoras? Para ser função, nenhum elemento do primeiro conjunto pode sobrar, contudo eles podem ter o mesmo correspondente e portanto, no máximo quatro repetições e daí, AR3,4 = 34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81. Supondo A = {1, 2, 3, 4} e B = {6, 7, 8} tais conjuntos e como para ser sobrejetora, não pode sobrar elementos no segundo conjunto tem-se que do total de funções deve-se retirar aquelas que não se correspondem
com os 3 elementos de B, ou seja, aquelas que se correspondem apenas com 1 ou com 2 elementos. De uma forma geral se n(A) = m e n(B) = n o número de
funções sobrejetoras de A em B é dado por: R09 — Num parque há 5 tipos de brinquedos que podem usar o mesmo bilhete de entrada. Com 3 bilhetes de quantas formas se pode brincar neste parque usando todos os bilhetes? Sendo os brinquedos A, B, C, D, E, se os bilhetes forem utilizados na forma ABC ou
BAC dá no mesmo, pois são os mesmos brinquedos. Então, trata-se de uma combinação, mas pode-se brincar no mesmo brinquedo até 3 vezes, logo é com repetição. R10 — Para jogar dominó em uma mesa retangular é preciso 4 pessoas. Tendo de pessoas, de quantas maneiras pode-se realizar esse jogo? Para escolher as quatro pessoas que irão jogar tem-se uma combinação de 6 tomados 4 a 4 (pois na escolha tanto faz ABCD com ACBD) e para os quatro que irão jogar tem-se uma permutação circular destes. R11 — Sabendo-se que C8,p+2 / C8,p+1 = 2, determine o valor de p. R12 — Quantos coquetéis (mistura de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos? Exercícios Propostos P01 — Quantos divisores de 210 . 39 formam quadrados perfeitos? P02 — Em uma sala há 6 lâmpadas com seis interruptores distintos. De quantos modos pode ser iluminada essa sala? P03 — De quantas maneiras pode-se dispor 4 homens e 4 mulheres em uma fila, sem que dois homens fiquem juntos? P04 — Lançam-se três dados. Em quantos dos resultados possíveis, a soma dos pontos é 12? P05 — Quantos inteiros entre 1000 e 10000 inclusive, não são divisíveis por 2 nem por 5? P06 — De quantas formas pode-se ter o 1o, 2o e 3o lugares de um campeonato com 10 times? P07 — Com as letras da palavra ADEUS, se pode formar: P08 — De quantos modos pode-se ordenar 2 livros de matemática, 3 de português e 4 de física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de física fiquem sempre na mesma ordem? P09 — Quantos são os anagramas da palavra INDEPENDENTE: P10 — Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 5 algarismos distintos e maiores que 30 000 se pode formar? P11 — Quantos números pares de três algarismos distintos pode-se formar com os dígitos 1, 3, 5, 6, 8 e 9? P12 — Quantos números ímpares, compreendidos entre 300 e 4 000 e com todos os algarismos distintos, pode-se formar com os dígitos 1, 3, 5, 6, 7 e 9? P13 — Quantas matrizes quadradas de ordem 3 pode-se formar usando os dígitos 1, 2 e 3, cada um uma vez e seis zeros? P14 — Um trem é constituído de 1 locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão-restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, encontre o número de modos diferentes para montar a composição? P15 — Quantos números de 3 algarismos distintos pode-se formar com os 10 primeiros números naturais? P16 — De quantas maneiras pode-se escolher 3 representantes de um grupo de 10 pessoas? P17 — Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem se formadas contendo no mínimo 1 diretor? P18 — Uma sociedade tem um conselho administrativo formado por 12 membros, sendo 3/4 de brasileiros e os demais estrangeiros. Quantas comissões de 5 conselheiros podem ser formadas com 3 brasileiros? P19 — De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser divididos em 3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas? P20 — Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Quantos são divisíveis por 5? P21 — Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos. Quantos são divisíveis por 5? P22 — Qual o número de diagonais do decágono? P23 — Calcular o número de múltiplos de 9 com 4 algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos 2, 3, 4, 6 e 9? P24 — Considerando que a loteria esportiva tenha 13 jogos, quantos são os possíveis resultados? P25 — Sabendo que as placas de carro são formadas por 3 letras e 4 números, qual o número máximo de carros que podem ser emplacados em uma cidade onde só pode começar por K ou L? P26 — Colocando em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, que posição ocupa o número 61 473? P27 — Quantos são os naturais ímpares com 5 algarismos distintos? P28 — Quantos são os anagramas da palavra ESTUDAR que começam com vogal? Que começam e terminam em vogal? Que tenham as vogais juntas? P29 — De quantas maneiras pode-se ordenar 5 livros de Matemática, 3 livros de Química e 2 livros de Física, todos diferentes, de forma que os livros de uma mesma disciplina fiquem juntos? P30 — De quantas formas pode-se ordenar 6 moças e 4 rapazes de modo que as moças permaneçam juntas? P31 — De quantas formas pode-se ordenar 8 pessoas de modo que duas determinadas pessoas não fiquem juntas? P32 — Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA de forma que as vogais e as consoantes sempre fiquem alternadas? P33 — Quantos são os anagramas da palavra ÁLGEBRA que não possuem 2 vogais juntas? P34 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores: verde, amarelo, azul e branco, sem que dois quadrados consecutivos tenham a mesma cor? P35 — Quantas são as raízes inteiras não negativas da equação x + y + z = 6? P36 — Quantas são as raízes inteiras positivas da equação x + y + z = 7? P37 — Quantos subconjuntos com 3 elementos possui um conjunto com n elementos? P38 — Quantos são os anagramas da palavra COMBINATÓRIA? Que alternam consoantes e vogais? Que possuem as vogais juntas? P39 — Quantos segmentos de reta podem ser formados com extremidades em 15 pontos dados? P40 — Quantas diagonais possui um polígono convexo com 8 lados? P41 — De quantas maneiras podemos pedir um sorvete de três bolas se dispomos de 5 sabores diferentes? P42 — Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que terminam em vogal? P43 — Quantos são os números com 5 algarismos não repetidos formados com 1, 2, 3, 4, 5? E que sejam ímpares? E que sejam maiores que 34 125? P44 — Quantos são os números com 10 algarismos? E se os algarismos forem distintos? P45 — De quantas maneiras podemos arrumar 9 pessoas em 3 quartos cada quarto com 3 pessoas? fonte:hpdemat.apphb.com -
Análise Combinatória - Análise
Combinatório -
Anagrama - Análise Combinatória - Permutação Com Elementos Repetidos . Quantos Os anagramas da palavra LIVRO?Resposta verificada por especialistas
Então é só fazer 6! 720 Anagramas.
Quantos são os anagramas que começam com vogal da palavra LIVRO?resposta: 48 possibilidades. vogais= "i" e "o">>> começa e termina por vogais = a duas possibilidades.
Como se calcula um anagrama?Para saber quantos anagramas é possível formar com uma palavra (sem letras repetidas), devemos fazer a permutação com o número de letras. No caso da palavra "comida", com seis letras, o resultado é 6! (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 720. Assim, é possível construir 720 anagramas com a palavra "comida".
Quantos são os anagramas que começam com as consoantes da palavra LIVRO?correto. tudo deu 120. Agora vamos pras vogais e consoantes.
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