Subconjuntos de um conjunto finito
Seja A = {a1, a2, a3, a4, ... , an}um conjunto finito com n elementos.Desejamos determinar o n�mero total de subconjuntos (Ns) que podem ser formados a partir do conjunto A.
Ora, existem subconjuntos de A formados por um elemento, por dois elementos, por tr�s elementos, ...
, por n elementos e, tamb�m por zero elementos, que corresponde ao conjunto vazio.
Exemplos de subconjuntos poss�veis de A:
{a1}, {a2}, ... , {an} � com um elemento.
{a5, a8}, {a1,a6}, etc � com dois elementos ,etc
Da
An�lise Combinat�ria poderemos escrever:N�mero de subconjuntos com zero elementos: Cn,0
N�mero de subconjuntos com um elemento: Cn,1
N�mero de subconjuntos com dois elementos: Cn,2
N�mero de subconjuntos com tr�s elementos: Cn,3
...............................................
...............................................
N�mero de subconjuntos com n elementos: Cn,n
Assim, o n�mero total de subconjuntos de A, ser� dado por:
Ns = Cn,0 + Cn,1
+ Cn,2 + Cn,3 + ... + Cn,n
Para o c�lculo do n�mero Ns acima, o uso da f�rmula seria muito trabalhoso, principalmente para valores elevados de
n.Vamos contornar esta dificuldade, utilizando o Princ�pio Fundamental da Contagem, visto na
Observe que para um determinado elemento ai� A , onde i pode assumir valores de 1 a n, existem duas possibilidades: ele poder� pertencer ou n�o pertencer a um subconjunto qualquer de A, n�o existindo outra hip�tese.
Assim, pelo Princ�pio Fundamental da Contagem � PFC o n�mero total de possibilidades (que neste caso � igual ao n�mero total de subconjuntos de A) ser� dado por:
Ns = 2.2.2.2.2.2. ... .2 = 2n (um produto com n fatores iguais).
Logo,
Ns = 2n
onde n � o n�mero de elementos do conjunto A.
Da an�lise anterior, conclu�mos ent�o que:
Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + Cn,3 + ... + Cn,n = 2nExerc�cios resolvidos:
1 � Quantos subconjuntos possui o conjunto A = {1,2,3,6,7}?
Solu��o: Temos n = 5 elementos \ Ns = 25 = 32 subconjuntos.
2 - Resolva a equa��o:
Cx,0 + Cx,1 + Cx,2 + ... + Cx,x = 128
Solu��o: Pelo que foi visto acima, poderemos escrever imediatamente: 2x = 128 = 27
Exerc�cios propostos:
1 � Quantos subconjuntos possui um conjunto com 10 elementos?
Resposta: 210 = 1024 subconjuntos.
2 � Calcule o valor da soma
C10,0 + C10,1 + C10,2 + ... + C10,10 .
Resposta:
1024
Paulo Marques, 02 de junho de 2002 � Feira de Santana � BA.
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Índice:
- Quantos subconjuntos tem um conjunto com 5 elementos?
- Quais são os subconjuntos de um conjunto?
- Como fazer um subconjunto?
- Quantos subconjuntos tem um conjunto?
- Quantos subconjuntos possui um conjunto de 3 elementos?
- Quantos subconjuntos possui um conjunto?
- Como saber o número de subconjuntos de um conjunto?
- Como descobrir o subconjunto?
- O que é subconjunto Cite exemplos?
- Qual o número de subconjuntos com 4 elementos?
- Será que um subconjunto é um conjunto?
- Como calcular o número de subconjuntos?
- Como fazer a contagem de subconjuntos?
Quantos subconjuntos tem um conjunto com 5 elementos?
Então um conjunto com 5 elementos apresenta 32 subconjuntos.
Quais são os subconjuntos de um conjunto?
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B. Em outras palavras, podemos dizer que um certo conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se todos os elementos que pertencem à A, também pertencerem ao conjunto B.
Como fazer um subconjunto?
Definição de subconjuntos Dados os conjuntos A e B, dizemos que B é subconjunto de A se todos os elementos de B também forem elementos de A. Nesse caso, temos: Podemos ler essa definição da seguinte maneira: B é subconjunto de A se, e somente se, para todo x, se x pertence ao conjunto A, então x pertence ao conjunto B.
Quantos subconjuntos tem um conjunto?
O número de subconjuntos é dado por: 2^n, em que n é o número de elementos do conjunto dado.
Quantos subconjuntos possui um conjunto de 3 elementos?
Fazendo a contagem, a partir de um conjunto com 3 elementos foi possível formar 8 subconjuntos diferentes.
Quantos subconjuntos possui um conjunto?
Para poder contar quantos subconjuntos com 3 ou menos elementos é possível formar, vamos contar quantos subconjuntos com 1 elemento, com 2 elementos e com 3 elementos é que conseguimos formar, no final é só somar tudo. Para fazer a contabilização, vamos utilizar combinações, uma vez que a ordem não interessa.
Como saber o número de subconjuntos de um conjunto?
O método mais rápido para calcular subconjuntos é usando 2 n ,em que n é a quantidade de elementos que tem o conjunto dado. No caso acima, o conjunto dado tem 3 elementos, logo, substituímos o n por 3. 23 = 8 subconjuntos.
Como descobrir o subconjunto?
O método mais rápido para calcular subconjuntos é usando 2 n ,em que n é a quantidade de elementos que tem o conjunto dado. No caso acima, o conjunto dado tem 3 elementos, logo, substituímos o n por 3. 23 = 8 subconjuntos.
O que é subconjunto Cite exemplos?
Exemplos. O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado. O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}. ... O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.
Qual o número de subconjuntos com 4 elementos?
- Número de subconjuntos com 1 elemento: 4 C 1 = 4; número de subconjuntos com 2 elementos: 4 C 2 = 6; número de subconjuntos com 3 elementos: 4 C 3 = 4; total de subconjuntos não vazios: 4 + 6 + 4 = 14.
Será que um subconjunto é um conjunto?
- Calma, já lá vamos, antes de mais, deixem-me esclarecer que um subconjunto é um conjunto que está contido noutro conjunto. Posto isto, vamos supor que temos 3 frutas, banana, laranja e morango, que naturalmente formam um conjunto que podemos designar da seguinte forma: Frutos = {banana, laranja, morango}.
Como calcular o número de subconjuntos?
- Sim, felizmente existe uma fórmula que nos dá imediatamente o número de subconjuntos presente num conjunto. Vamos supor que a letra representa o número de elementos do conjunto, então para calcular o número de subconjuntos basta fazer .
Como fazer a contagem de subconjuntos?
- Fazendo a contagem, a partir de um conjunto com 3 elementos foi possível formar 8 subconjuntos diferentes. Mas, não há nenhum modo mais fácil, sem estar a contar manualmente? Sim, felizmente existe uma fórmula que nos dá imediatamente o número de subconjuntos presente num conjunto.