Sabendo que a e b representam números reais resolva e classifique o sistema

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a seguir e o classifique 
em possível e determinado, possível e inde-
terminado ou impossível.
a) 5 4
3 2 5
x y
x y
_ =_
+ =



b) 2 3
4 8 7
x y
x y
_ =
_ =



c) 2 4 2
4 8 4
a b
a b
+ =
+ =



 43. Considere o sistema de equações: 3 6
3 8
x y
x my
_ =
+ =



.
Qual é o valor de m para que esse sistema seja 
possível e determinado?
 44. Qual é o valor de k para que o sistema 
3 5
2 3 2
x y
x y k
+ =
+ =




 tenha infinitas soluções?
 45. (FESP) Uma pessoa alimenta seu cão combi-
nando o conteúdo de duas marcas de rações 
preparadas pelos fabricantes X e Y. A tabela 
abaixo discrimina a quantidade de unidades 
de vitaminas e de sais minerais em cada saco 
de ração e a quantidade mínima de unidades 
que o cão deve consumir.
Ração X Ração Y Mínimo
Vitaminas 40 20 200
Sais minerais 20 40 200
Se o saco da ração X custa R$ 10,00 e o da Y, 
R$ 15,00, determine o inteiro mais próximo do 
total de sacos a serem comprados de modo a 
minimizar os custos e satisfazer as quantida-
des mínimas requeridas.
 46. Sabendo que a e b representam números 
reais, resolva e classifique o sistema:
2
4
1
2
3
2
3
2
4
a b
a b
a a b
_
+
_
= _
+
=
+






 47. (UFRGS-RS) O sistema de equações 
5 4 2 0
3 4 18 0
x y
x y
+ + =
_ _ =



 possui:
a) nenhuma solução.
b) uma solução.
c) duas soluções.
d) três soluções.
e) infinitas soluções.
43
D1-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 43D1-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 43 14/04/21 19:4714/04/21 19:47
G 
U 
I A
 P
 N
 L
 D
Substitua os números 
da terna ordenada (1, 
2, 3) nas equações 
dos sistemas do 
exemplo anterior e 
verifique que essa 
terna ordenada é uma 
solução de ambos.
PENSE E
RESPONDA
Sistemas lineares m x n
De maneira geral, denominamos sistema linear m x n, de m equa-
ções com n incógnitas a todo conjunto de m equações lineares que pode 
ser representado como:
 






+ + + =
+ + + =
+ + + =
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
...
...
...
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
Nesse caso:
• x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
• a11, a12, a13, ..., a1n, a21, a22, ..., a2n, ..., amn são números reais chamados 
coeficientes;
• b1, b2, ..., bm são os termos independentes.
Quando uma ênupla ordenada (a1, a2, ..., an) é solução de cada uma 
das equações de um sistema linear, ou seja, torna simultaneamente ver-
dadeiras todas as sentenças que o compõem, (a1, a2, ..., an) é solução 
do sistema linear.
Observe que os sistemas 2 x 2 estudados anteriormente são um 
caso particular de sistemas lineares, com m = 2 e n = 2.
Sistemas equivalentes
Quando dois sistemas lineares admitem o mesmo conjunto 
solução, dizemos que são sistemas equivalentes.
Por exemplo: 
6
2 1
0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ _ =
+ _ =




 e 
2 0
3 2
2 3
x y z
x y z
x y z
_ + =
+ _ =
+ _ =_




 são sistemas equi-
valentes, pois ambos os sistemas lineares 3 x 3 têm o mesmo conjunto 
solução S = {(1, 2, 3)}.
BI
LL
IO
N
 P
H
O
TO
S/
SH
U
TT
ER
ST
O
CK
.C
O
M
44
D3-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 44D3-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 44 12/09/20 18:5312/09/20 18:53
G 
U 
I A
 P
 N
 L
 D
Matrizes associadas a um sistema linear
Considere o sistema linear de m equações com n incógnitas:
   







...
...
...
...
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
+ + + =
+ + + =
+ + + =
A matriz 
�
�
� � � � �
�












a a a b
a a a b
a a a b
n
n
m m mn m
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
, na qual cada linha é formada, ordenadamente, pelos coe-
ficientes e termos independentes de cada equação, é denominada matriz completa do sistema.
A matriz A = 
11 12 1
21 22 2
1 2
a a a
a a a
a a a
n
n
m m mn
�
�
� � � �
…












, formada pelos coeficientes ordenados de cada 
equação, é denominada matriz dos coeficientes do sistema.
Consideremos ainda as seguintes matrizes associadas ao sistema:
X = 
1
2
x
x
xn











, formada pelas incógnitas. B = 
1
2
b
b
bm











, formada pelos termos independentes.
Multiplicando a matriz dos coeficientes pela matriz das incógnitas, obtemos a matriz dos 
termos independentes:
? =
11 12 1
21 22 2
1 2
1
2
1
2
a a a
a a a
a a a
x
x
x
b
b
b
n
n
m m mn m m
�
�
� � � �
�
� �










































Dizemos que essa é a forma matricial do sistema linear considerado.
Em notação simplificada, temos: A ? X = B, em que A é a matriz de ordem m x n formada por 
todos os coeficientes do sistema, X é a matriz de ordem n x 1, formada por todas as incógnitas, 
e B é a matriz de ordem m x 1 formada por todos os termos independentes.
Quando um sistema linear tem o número de equações igual ao número de incógnitas, a 
matriz dos coeficientes do sistema é uma matriz quadrada.
45
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G 
U 
I A
 P
 N
 L
 D
 13. (UFPE) Uma fábrica de automóveis utiliza três 
tipos de aço, A1, A2 e A3, na construção de três 
tipos de carros C1, C2 e C3. A quantidade dos 
três tipos de aço, em tonelada, usados na con-
fecção dos três tipos de carro está na tabela a 
seguir.
C1 C2 C3
A1 2 3 4
A2 1 1 2
A3 3 2 1
Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do 
tipo A1, 11 toneladas do tipo A2 e 19 toneladas 
do tipo A3, qual o total de carros construídos 
dos tipos C1, C2 ou C3?
Resolução
Considerando x, y e z os respectivos números 
de carros dos tipos C1, C2 e C3 que foram cons-
truídos e utilizando as informações fornecidas, 
representamos a situação por meio de um sis-
tema linear 3 x 3 (3 equações e 3 incógnitas), 
como indicado a seguir.




+ + =
+ + =
+ + =
x y z
x y z
x y z
2 3 4 26
2 11
3 2 19
I
II
III
Isolando x na equação II , temos: 
x = 11 _ y _ 2z IV
Substituindo x por 11 _ y _ 2z na equação I 
temos:
2 ? (11 _ y _ 2z) + 3y + 4z = 26
22 _ 2y _ 4z + 3y + 4z = 26
Logo, y = 4.
Substituindo x por 11 _ y _ 2z na equação III , 
temos:
3 ? (11 _ y _ 2z) + 2y + z = 19
33 _ 3y _ 6z + 2y + z = 19
y + 5z = 14 V
Substituindo y por 4 na equação V , obtemos z.
4 + 5z = 14
Logo, z = 2.
> ATIVIDADES RESOLVIDAS
Substituindo y por 4 e z por 2 na equação IV , 
determinamos x.
x = 11 _ 4 _ 2 ? 2
Logo, x = 3.
Portanto, foram construídos 3 carros do tipo 
C1, 4 carros do tipo C2 e 2 carros do tipo C3, em 
um total de 9 carros.
 14. Represente o sistema linear a seguir na forma 
matricial e verifique se a terna ordenada 
(1, _2, 0) é solução desse sistema.




+ _ =
_ + =_
+ _ =
x y z
x y z
x y z
2 5 0
4 3 6 1
7 2 8
Resolução
Considerando A a matriz dos coeficientes do 
sistema, X a matriz das incógnitas e B, a matriz 
dos termos independentes, podemos escrever 
a forma matricial do sistema, ou seja, A ? X = B. 
Assim, temos:






























_
_
_
? = _
x
y
z
2 5 1
4 3 6
7 1 2
0
1
8
Para verificar se a terna (1, _2, 0) é solução do 
sistema, podemos substituir os respectivos 
valores na matriz X, efetuar a multiplicação e 
posteriormente comparar a matriz obtida com 
a matriz B.
_
_
_
? _
? ? _ _ ?
? _ ? _ ?
? ? _ _ ?
_2 5 1
4 3 6
7 1 2
1
2
0
2 1 5 ( 2) ( 1) 0
4 1 ( 3) ( 2) 6 0
7 1 1 ( 2) ( 2) 0
8
10
5








































=
+ +
+ +
+ +
=
_
_
_
? _
? ? _ _ ?
? _ ? _ ?
? ? _ _ ?
_2 5 1
4 3 6
7 1 2
1
2
0
2 1 5 ( 2) ( 1) 0
4 1 ( 3) ( 2) 6 0
7 1 1 ( 2) ( 2) 0
8
10
5








































=
+ +
+ +
+ +
=
Como a matriz resultante é diferente da matriz 
B, a terna ordenada