Sabendo que a e b representam números reais resolva e classifique o sistema

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a seguir e o classifique em possível e determinado, possível e inde- terminado ou impossível. a) 5 4 3 2 5 x y x y _ =_ + =    b) 2 3 4 8 7 x y x y _ = _ =    c) 2 4 2 4 8 4 a b a b + = + =    43. Considere o sistema de equações: 3 6 3 8 x y x my _ = + =    . Qual é o valor de m para que esse sistema seja possível e determinado? 44. Qual é o valor de k para que o sistema 3 5 2 3 2 x y x y k + = + =     tenha infinitas soluções? 45. (FESP) Uma pessoa alimenta seu cão combi- nando o conteúdo de duas marcas de rações preparadas pelos fabricantes X e Y. A tabela abaixo discrimina a quantidade de unidades de vitaminas e de sais minerais em cada saco de ração e a quantidade mínima de unidades que o cão deve consumir. Ração X Ração Y Mínimo Vitaminas 40 20 200 Sais minerais 20 40 200 Se o saco da ração X custa R$ 10,00 e o da Y, R$ 15,00, determine o inteiro mais próximo do total de sacos a serem comprados de modo a minimizar os custos e satisfazer as quantida- des mínimas requeridas. 46. Sabendo que a e b representam números reais, resolva e classifique o sistema: 2 4 1 2 3 2 3 2 4 a b a b a a b _ + _ = _ + = +       47. (UFRGS-RS) O sistema de equações 5 4 2 0 3 4 18 0 x y x y + + = _ _ =    possui: a) nenhuma solução. b) uma solução. c) duas soluções. d) três soluções. e) infinitas soluções. 43 D1-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 43D1-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 43 14/04/21 19:4714/04/21 19:47 G U I A P N L D Substitua os números da terna ordenada (1, 2, 3) nas equações dos sistemas do exemplo anterior e verifique que essa terna ordenada é uma solução de ambos. PENSE E RESPONDA Sistemas lineares m x n De maneira geral, denominamos sistema linear m x n, de m equa- ções com n incógnitas a todo conjunto de m equações lineares que pode ser representado como:         + + + = + + + = + + + = a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m ... ... ... 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 Nesse caso: • x1, x2, ..., xn são as incógnitas; • a11, a12, a13, ..., a1n, a21, a22, ..., a2n, ..., amn são números reais chamados coeficientes; • b1, b2, ..., bm são os termos independentes. Quando uma ênupla ordenada (a1, a2, ..., an) é solução de cada uma das equações de um sistema linear, ou seja, torna simultaneamente ver- dadeiras todas as sentenças que o compõem, (a1, a2, ..., an) é solução do sistema linear. Observe que os sistemas 2 x 2 estudados anteriormente são um caso particular de sistemas lineares, com m = 2 e n = 2. Sistemas equivalentes Quando dois sistemas lineares admitem o mesmo conjunto solução, dizemos que são sistemas equivalentes. Por exemplo: 6 2 1 0 x y z x y z x y z + + = + _ = + _ =     e 2 0 3 2 2 3 x y z x y z x y z _ + = + _ = + _ =_     são sistemas equi- valentes, pois ambos os sistemas lineares 3 x 3 têm o mesmo conjunto solução S = {(1, 2, 3)}. BI LL IO N P H O TO S/ SH U TT ER ST O CK .C O M 44 D3-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 44D3-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 44 12/09/20 18:5312/09/20 18:53 G U I A P N L D Matrizes associadas a um sistema linear Considere o sistema linear de m equações com n incógnitas:            ... ... ... ... 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m + + + = + + + = + + + = A matriz � � � � � � � �             a a a b a a a b a a a b n n m m mn m 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 , na qual cada linha é formada, ordenadamente, pelos coe- ficientes e termos independentes de cada equação, é denominada matriz completa do sistema. A matriz A = 11 12 1 21 22 2 1 2 a a a a a a a a a n n m m mn � � � � � � …             , formada pelos coeficientes ordenados de cada equação, é denominada matriz dos coeficientes do sistema. Consideremos ainda as seguintes matrizes associadas ao sistema: X = 1 2 x x xn            , formada pelas incógnitas. B = 1 2 b b bm            , formada pelos termos independentes. Multiplicando a matriz dos coeficientes pela matriz das incógnitas, obtemos a matriz dos termos independentes: ? = 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 a a a a a a a a a x x x b b b n n m m mn m m � � � � � � � � �                                           Dizemos que essa é a forma matricial do sistema linear considerado. Em notação simplificada, temos: A ? X = B, em que A é a matriz de ordem m x n formada por todos os coeficientes do sistema, X é a matriz de ordem n x 1, formada por todas as incógnitas, e B é a matriz de ordem m x 1 formada por todos os termos independentes. Quando um sistema linear tem o número de equações igual ao número de incógnitas, a matriz dos coeficientes do sistema é uma matriz quadrada. 45 D3-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 45D3-MAT-EM-3073-LA-V4-C01-010-061-LA-G21.indd 45 14/09/20 12:1914/09/20 12:19 G U I A P N L D 13. (UFPE) Uma fábrica de automóveis utiliza três tipos de aço, A1, A2 e A3, na construção de três tipos de carros C1, C2 e C3. A quantidade dos três tipos de aço, em tonelada, usados na con- fecção dos três tipos de carro está na tabela a seguir. C1 C2 C3 A1 2 3 4 A2 1 1 2 A3 3 2 1 Se foram utilizadas 26 toneladas de aço do tipo A1, 11 toneladas do tipo A2 e 19 toneladas do tipo A3, qual o total de carros construídos dos tipos C1, C2 ou C3? Resolução Considerando x, y e z os respectivos números de carros dos tipos C1, C2 e C3 que foram cons- truídos e utilizando as informações fornecidas, representamos a situação por meio de um sis- tema linear 3 x 3 (3 equações e 3 incógnitas), como indicado a seguir.     + + = + + = + + = x y z x y z x y z 2 3 4 26 2 11 3 2 19 I II III Isolando x na equação II , temos: x = 11 _ y _ 2z IV Substituindo x por 11 _ y _ 2z na equação I temos: 2 ? (11 _ y _ 2z) + 3y + 4z = 26 22 _ 2y _ 4z + 3y + 4z = 26 Logo, y = 4. Substituindo x por 11 _ y _ 2z na equação III , temos: 3 ? (11 _ y _ 2z) + 2y + z = 19 33 _ 3y _ 6z + 2y + z = 19 y + 5z = 14 V Substituindo y por 4 na equação V , obtemos z. 4 + 5z = 14 Logo, z = 2. > ATIVIDADES RESOLVIDAS Substituindo y por 4 e z por 2 na equação IV , determinamos x. x = 11 _ 4 _ 2 ? 2 Logo, x = 3. Portanto, foram construídos 3 carros do tipo C1, 4 carros do tipo C2 e 2 carros do tipo C3, em um total de 9 carros. 14. Represente o sistema linear a seguir na forma matricial e verifique se a terna ordenada (1, _2, 0) é solução desse sistema.     + _ = _ + =_ + _ = x y z x y z x y z 2 5 0 4 3 6 1 7 2 8 Resolução Considerando A a matriz dos coeficientes do sistema, X a matriz das incógnitas e B, a matriz dos termos independentes, podemos escrever a forma matricial do sistema, ou seja, A ? X = B. Assim, temos:                               _ _ _ ? = _ x y z 2 5 1 4 3 6 7 1 2 0 1 8 Para verificar se a terna (1, _2, 0) é solução do sistema, podemos substituir os respectivos valores na matriz X, efetuar a multiplicação e posteriormente comparar a matriz obtida com a matriz B. _ _ _ ? _ ? ? _ _ ? ? _ ? _ ? ? ? _ _ ? _2 5 1 4 3 6 7 1 2 1 2 0 2 1 5 ( 2) ( 1) 0 4 1 ( 3) ( 2) 6 0 7 1 1 ( 2) ( 2) 0 8 10 5                                         = + + + + + + = _ _ _ ? _ ? ? _ _ ? ? _ ? _ ? ? ? _ _ ? _2 5 1 4 3 6 7 1 2 1 2 0 2 1 5 ( 2) ( 1) 0 4 1 ( 3) ( 2) 6 0 7 1 1 ( 2) ( 2) 0 8 10 5                                         = + + + + + + = Como a matriz resultante é diferente da matriz B, a terna ordenada