Sabendo que uma pg tem a1 = 4 e razão q = 2 determine a soma dos 5 primeiros termos dessa progressão

Progressão geométrica  é uma sequência onde,  a partir do,
2º termo,  todo termo é igual ao anterior vezes um número fixo.

Esse número fico é chamado de razão  "q".

Termo Geral

O  termo geral  de uma  P.G.  é  dado por:
aₙ  =  a₁  ⋅  qn – 1

Clique para ver a Demonstração

Pela definição,  os termos de uma progressão geométrica são:
a₁ =  a₁
a₂ =  a₁  ⋅  q
a₃ =  a₂  ⋅  q =  a₁  ⋅  q  ⋅  q =  a₁  ⋅  q2
a₄ =  a₃  ⋅  q =  a₁  ⋅  q2  ⋅  q =  a₁  ⋅  q3
a₅ =  a₄  ⋅  q =  a₁  ⋅  q3  ⋅  q =  a₁  ⋅  q4

Assim:
aₙ =  an – 1  ⋅  q =  a₁  ⋅  qn – 2  ⋅  q =  a₁  ⋅  qn – 1

Obtenção da razão

A razão é igual ao quociente entre dois termos subsequentes quaisquer:
q  =  

Classificação

Se q  <  0 a  P.G.  é  oscilante.

Se q  =  1 a  P.G.  é  constante.

Se 0  <  q  <  1 e os termos positivos, ou,
se q  >  1 e os termos negativos, a  P.G.  é  decrescente.

Se 0  <  q  <  1 e os termos negativos, ou,
se  q  >  1 e os termos positivos, a  P.G.  é  crescente.

Propriedades de uma P.G. finita

P1)  A produto de dois termos equidistantes dos extremos,
é igual ao produto dos extremos.

Exemplo:
Numa  P.G.  de  10  termos:
a₂  ⋅  a₉  =  a₃  ⋅  a₈  =  a₄  ⋅  a₇  =  a₅  ⋅  a₆  =  a₁  ⋅  a₁₀

Observação:
Caso tenha uma quantidade ímpar,  por exemplo  5,  tería-se:
a₁  ⋅  a₅  =  a₂  ⋅  a₄  =  a₃  ⋅  a₃

P2)  Qualquer termo é igual a média geométrica entre:
o anterior e o posterior.

Exemplo:
a₃  =  √a₂  ⋅  a₄

Escolha de termos em P.G.

A melhor escolha de três elementos em  P.G.  é  tal que:
os termos fiquem dispostos em:

No caso de cinco termos em  P.G.  tería-se como melhor escolha:

Para escolher quatro elementos em  P.G.,   pode-se ter:

Soma dos  "n"  primeiros termos de uma P.G.

A soma dos  "n"  primeiros termos de uma  P.G.  com  q  ≠  1 é:

Sₙ  =  

Clique para ver a Demonstração

Sₙ  =  a₁  +  a₂  +   .  .  .   +  aₙ ₋ ₁  +  aₙ
q  ⋅  Sₙ  =  q  ⋅  a₁  +  q  ⋅  a₂  +   .  .  .   +  q  ⋅  aₙ ₋ ₁  +  q  ⋅  aₙ

Subtraindo as duas equações tem-se:

Sₙ  –  q  ⋅  Sₙ  =  (a₁  –  q  ⋅  a₁)  +  (a₂  –  q  ⋅  a₂)  +   .  .  .   +  (aₙ ₋ ₁  –  q  ⋅  aₙ ₋ ₁)  +  (aₙ  –  q  ⋅  aₙ)

Sₙ  –  q  ⋅  Sₙ  =  (a₁  –  q  ⋅  a₁)  +  (a₁  ⋅  q  –  q  ⋅  a₁  ⋅  q)  +   .  .  .   +  (a₁  ⋅  qn – 2  –  q  ⋅  a₁  ⋅  qn – 2)  +  (a₁  ⋅  qn – 1  –  q  ⋅  a₁  ⋅  qn – 1)

Sₙ  ⋅  (1  –  q)  =  (a₁  –  a₁  ⋅  q)  +  (a₁  ⋅  q  –  a₁  ⋅  q2)  +   .  .  .   +  (a₁  ⋅  qn – 2  –  a₁  ⋅  qn – 1)  +  (a₁  ⋅  qn – 1  –  a₁  ⋅  qn)

Sₙ  ⋅  (1  –  q)  =  a₁  –  a₁  ⋅  q  +  a₁  ⋅  q  –  a₁  ⋅  q2  +   .  .  .   +  a₁  ⋅  n – 2  –  a₁  ⋅  qn – 1  +  a₁  ⋅  qn – 1  –  a₁  ⋅  qn

Sₙ  ⋅  (1  –  q)  =  a₁  –  a₁  ⋅  qn (multiplicando por  – 1)

Sₙ  ⋅  (q  –  1)  =  a₁  ⋅  qn  –  a₁

Sₙ  ⋅  (q  –  1)  =  a₁  ⋅  (qn  –  1)

Portanto:
A  soma  dos  "n"  primeiros termos de uma  P.G.  onde q  ≠  1  é:
Sₙ  =  

Produto dos  "n"  primeiros termos de uma  P.G.

O produto dos termos de uma  P.G.  é dado por:

Modo 1:

P  =  (a₁)n  ⋅  q

Clique para ver a Demonstração

P  =  a₁  ⋅  a₂  ⋅  a₃  ⋅  .  .  .  ⋅  aₙ ₋ ₂  ⋅  aₙ ₋ ₁  ⋅  aₙ

P  =  (a₁)  ⋅  (a₁  ⋅  q)  ⋅  (a₁  ⋅  q2)  ⋅  .  .  .  ⋅  (a₁  ⋅  qn – 3)  ⋅  (a₁  ⋅  qn – 2)  ⋅  (a₁  ⋅  qn – 1)

P  =  (a₁  ⋅  a₁  ⋅  qn – 1)  ⋅  (a₁  ⋅  q  ⋅  a₁  ⋅  qn – 2)  ⋅  (a₁  ⋅  q2  ⋅  a₁  ⋅  qn – 3)  ⋅  .  .  .

Agrupando o 1º e o último,  o 2º e o penúltimo,  o 3º e o antepenúltimo,  etc.:
P  =  (a₁2  ⋅  qn – 1)  ⋅  (a₁2  ⋅  qn – 1)  ⋅  (a₁2  ⋅  qn – 1)  ⋅  .  .  .

Agrupados dois em dois terá a metade dos  "n"  elementos:
P  =  (a₁2  ⋅  qn – 1)

Modo 2:

| P |  =  

Clique para ver a Demonstração

P  =  a₁  ⋅  a₂  ⋅  a₃  ⋅  .  .  .  ⋅  aₙ ₋ ₂  ⋅  aₙ ₋ ₁  ⋅  aₙ
P  =  aₙ  ⋅  aₙ ₋ ₁  ⋅  aₙ ₋ ₂  ⋅  .  .  .  ⋅  a₃  ⋅  a₂  ⋅  a₁

Multiplicando as duas equações:

P  ⋅  P  =  (a₁  ⋅  aₙ)  ⋅  (a₂  ⋅  aₙ ₋ ₁)  ⋅  (a₃  ⋅  aₙ ₋ ₂)  ⋅  .  .  .  ⋅  (aₙ ₋ ₂  ⋅  a₃)  ⋅  (aₙ ₋ ₁  ⋅  a₂)  ⋅  (aₙ  ⋅  a₁)

P2  =  (a₁  ⋅  aₙ)  ⋅  (a₁  ⋅  aₙ)  ⋅  .  .  .  ⋅  (a₁  ⋅  aₙ)  ⋅  (a₁  ⋅  aₙ)

P2  =  (a₁  ⋅  aₙ)n

| P |  =  

Soma dos termos de uma  P.G.  infinita  com  q  <  1

A soma de todos os termos de uma  P.G.  infinita  de  razão   q  <  1   é  dada por:

S ∞  =  

Clique para ver a Demonstração

Exercícios Resolvidos

R01 — Escreva uma P.G. de quatro termos,   dados  a₂  =  6 e q  =  – 3.

Como a₂  =  a₁  ⋅  q tem-se:

6  =  a₁  ⋅  (– 3)

a₃  =  a₂  ⋅  q
a₃  =  6  ⋅  (– 3)
a₃  =  – 18

a₄  =  a₃  ⋅  q
a₄  =  – 18  ⋅  (– 3)
a₄  =  54

Portanto,  a  P.G.  é  (– 2,  6,  – 18,  54).

R02 — Encontre o  8° termo  da sequência   2,  – 6,  18,  .  .  . ,  aₙ ,  .  .  .

Não foi dito se está em P.G.,  então primeiro deve-se testar,  isto é:
verificar se:

Portanto,  está em  P.G.  e  a razão é  q  =  – 3

aₙ  =  a₁  ⋅  qn – 1
a₈  =  a₁  ⋅  q8 – 1
a₈  =  a₁  ⋅  q7
a₈  =  2  ⋅  (– 3)7
a₈  =  2  ⋅  (– 2187)
a₈  =  – 4374

Portanto,  o  oitavo termo  é  – 4374.

R03 — Numa P.G. tem-se   a₁  =  3 e a₈  =  384.   Calcule:
a)  a razão  b)  o quarto termo

a)  Como  aₙ  =  a₁  ⋅  qn – 1
384  =  3  ⋅  q8 – 1

2  =  q

Portanto,  a razão  é  q  =  2

b)  Como a₄  =  a₁  ⋅  q3
a₄  =  3  ⋅  23
a₄  =  3  ⋅  8
a₄  =  24

Portanto,  o quarto termo  é  24.

R04 — Insira  4  meios geométricos entre  2  e  486,  nesta ordem.

Neste caso a sequência é:
2, ___ , ___ , ___ , ___ , 486

Totalizando  6  termos em  P.G. (4  meios geométricos mais os extremos)

aₙ  =  a₁  ⋅  qn – 1
486  =  2  ⋅  q6 – 1

3  =  q

Logo,  a razão é  3,  daí:
a₂  =  a₁  ⋅  q
a₂  =  2  ⋅  3  =  6

a₃  =  a₂  ⋅  q
a₃  =  6  ⋅  3  =  18

a₄  =  a₃  ⋅  q
a₄  =  18  ⋅  3  =  54

a₅  =  a₄  ⋅  q
a₅  =  54  ⋅  3  =  162

a₆  =  a₅  ⋅  q
a₆  =  162  ⋅  3  =  486

Portanto,  a sequência é: (2,  6,  18,  54,  162,  486)

R05 — Determine a sequência de três termos em  P.G.  sabendo que o,
produto de seus elementos é  216, e que o primeiro,
é igual a nona parte do terceiro.

A escolha de três elementos em  P.G.  deve ser:

(

x  =  

x  =  6

Logo,  o segundo termo é  x  =  6

O primeiro  é  

Como nove vezes o primeiro é igual ao terceiro tem-se:
9  ⋅  

Daí:
q  =  3  ou q  =  – 3

Para  q  =  3  tem-se:
a₁  =  

Para  q  =  – 3  tem-se:
a₁  =  

Assim os três elementos são:  2,  6,  18  ou – 2,  6,  – 18.

R06 — Sabendo-se que x  –  4, 2 x  +  4 e 10 x  –  4,
são termos consecutivos de uma  P.G.
Calcule  x  de modo que eles sejam positivos.

Se está em  P.G.  então:

(2 x  +  4)  ⋅  (2 x  +  4)  =  (10 x  –  4)  ⋅  (x  –  4)
(2x  +  4)2  =  10 x2  –  40 x  –  4 x  +  16
4 x2  +  2  ⋅  2 x  ⋅  4  +  16  =  102  –  44 x  +  16
4 x2  +  16 x  +  16  =  102  –  44 x  +  16
4 x2  +  16 x  +  16  –  102  +  44 x  –  16  =  0
– 6 x2  +  60 x  =  0
– 6 x (x  –  10)  =  0

– 6 x  =  0 ou (x  –  10)  =  0

x  =  0  ou x  =  10

Se x  =  0 a sequência é (– 4,  4,  – 4)

Não serve,  pois os termos não são positivos.

Se x  =  10 a sequência é:
(10  –  4,  2  ⋅  10  +  4,  10  ⋅  10  –  4)  =  (6,  24,  96)

Portanto,  x  =  10

R07 — Determine a posição ocupada pelo termo de valor  3072,
numa  P.G.  em que  a₁  =  6  e  r  =  2.

aₙ  =  a₁  ⋅  qn – 1
3072  =  6  ⋅  2n – 1

9  =  n  –  1
9  +  1  =  n
10  =  n

Portanto,  3072  é  o  10° termo.

R08 — Qual o primeiro termo da P.G. em que   a₃  =  10 e a₆  =  80?

a₃  =  a₁  ⋅  q2
10  =  a₁  ⋅  q2

a₆  =  a₁  ⋅  q5
80  =  a₁  ⋅  q5
80  =  (a₁  ⋅  q2)  ⋅  q3
80  =  10  ⋅  q3

Logo,  a razão é  q  =  2

Como  a₁  ⋅  q2  =  10  tem-se:
a₁  ⋅  22  =  10
a₁  ⋅  4  =  10
a₁  =  

Portanto,  o primeiro termo é  

R09 — Se em uma P.G.,  a₃  +  a₅  vale  90  e  a₄  +  a₆  vale  270,
então a razão vale:
a)  1  b)  2  c)  3  d)  5  e)  7

aₙ  =  a₁  ⋅  qn – 1

a₃  =  a₁  ⋅  q2
a₅  =  a₁  ⋅  q4

a₄  =  a₁  ⋅  q3
a₆  =  a₁  ⋅  q5

a₃  +  a₅  =  a₁  ⋅  q2  +  a₁  ⋅  q4
90  =  a₁  ⋅  q2  ⋅  (1  +  q2) (I)

a₄  +  a₆  =  a₁  ⋅  q3  +  a₁  ⋅  q5
270  =  a₁  ⋅  q3  ⋅  (1  +  q2)
270  =  a₁  ⋅  q2  ⋅  q  ⋅  (1  +  q2)  (II)

Dividindo   (II)   por   (I)   tem-se:
3  =  q

Alternativa  "c".

R10 — Calcule a soma dos  10  primeiros termos da P.G. :
(– 8,  16,  – 32,   .  .  . ,  aₙ)

Calculando a razão:
q  =  

q  =  

Calculando a soma:
Sₙ  =  

Portanto,  o  10º termo  é  2728.

R11 — Numa P.G. a soma é   S8  =  1530 e a razão   q  =  2. Calcule o quinto termo.

Neste caso:
A razão  é  q  =  2,   n  =  8 e S8  =  1530

Sₙ  =  

Logo,  o primeiro termo é   a₁  =  6

a₅  =  a₁  ⋅  24
a₅  =  6  ⋅  24
a₅  =  6  ⋅  16
a₅  =  96

Portanto,  o quinto termo é  96.

R12 — Calcule a soma: 8  +  16  +  32  +   .  .  .   +  32768.

A razão  é: 
q  =  

aₙ  =  a₁  ⋅  qn – 1
32768  =  8  ⋅  2n – 1

Logo,  n  =  13

Sₙ  =  

R13 — Determine a soma dos termos da P.G. infinita   (9,  3,  1,   .  .  . ).

Exercícios Propostos

P01 — Encontre o  8° termo da sequência:  (5,  10,  20,   .  .  . )

P02 — Qual o primeiro termo da P.G. em que:  a₃  =  24 e a₇  =  384?

P03 — Qual o primeiro termo da P.G. em que:  a₃  =  12 e a₇  =  192?

P04 — Obtenha o valor de  x  sabendo que a sequência:
2  –  x,  3,  8 x  +  1   é uma P.G.

P05 — Determine o primeiro termo da  P.G.  em que:
a₈  =  4374 e a razão é  q  =  3.

P06 — A soma de três termos consecutivos de uma P.G. é  21  e  o produto,  216.
Sabendo-se que a razão é um número inteiro,  calcule esses números.

P07 — Quantos termos tem a P.G.  (3,  6,  12,   .  .  . ,  3072)?

P08 — Insira sete meios geométricos entre  3  e  768.

P09 — Determine o valor de  x  para que:
( 2 x,  2 x  +  9,  

P10 — O preço de certa mercadoria aumenta anualmente em  100%.
Se o preço atual é de  R$ 100,00,  daqui a três anos,  o preço será:
a)  R$ 300,00  b)  R$ 400,00  c)  R$ 600,00  d)  R$ 800,00  e)  n.d.a

P11 — Determine a posição ocupada pelo termo de valor  13122  na  P.G.  onde:
a1  =  2  e a razão é  3.

P12 — O número de termos da P.G.   (

P13 — (FIA) Numa progressão geométrica,  tem-se  a₃  =  40   e a₆  =  – 320.
A soma dos oito primeiros termos é:
a)  – 1700  b)  – 850  c)  850  d)  1700  e)  750

P14 — Sabendo-se que a sucessão   (x  –  1,  x  +  2,  3 x,   .  .  . )   é  uma P.G. crescente.
Determine  x.

P15 — Qual é o valor de  x  na  P.G. (x  –  40,  x,  x  +  200)?

P16 — Qual o produto dos cinco primeiros termos da P.G.   (2,  4,   .  .  . )?

P17 — O produto dos  8  termos de uma P.G. é igual a  4096.   Qual é o quinto termo?

P18 — O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora.
Se inicialmente existem  8  bactérias no meio,  ao fim de  10  horas o número será:
a)  27  b)  28  c)  210  d)  212  e)  215

P19 — Qual é a soma dos termos da P.G.   (1,  3,  9,   .  .  .   ,  6561)?

P20 — Encontre a soma dos 9 primeiros termos da P.G.   4,  12,   .  .  . ,   aₙ.

P21 —  O sétimo termo de uma P.G. é igual a  1458  e  o nono é igual a  13122.
Qual a soma dos  6  primeiros?

P22 — Quanto é a soma dos termos da P.G. em que o 1º termo é  

P23 — A soma dos termos de uma P.G. infinita é  32  e  o primeiro termo,  16.
Encontre a razão.

P24 — A soma dos termos de uma P.G. infinita é  8  e a razão é  

P25 — O 1º membro da equação:  x  +  

P26 — Uma bola elástica cai de uma altura de  4  metros,  e  cada vez que bate no chão,
sobe metade do que caiu anteriormente.  Qual o espaço percorrido por essa bola?

P27 — A soma dos termos de ordem ímpar de uma  P.G.  infinita é  81  e,
a soma dos termos de ordem par é  27.  O primeiro termo dessa progressão é:
a)  9  b)  18  c)  54  d)  72  e)  81

P28 — Resolva a equação:   x  +  

P29 — O 1º termo e a soma dos termos de uma  P.G.  decrescente infinita são,
respectivamente,  4  e  12.  Escreva essa  P.G.

P30 — A soma dos termos de uma  P.G.  decrescente infinita é  128  e a razão é  

Qual a quantidade de elementos da PG 1 2 4 sabendo que a soma dos seus elementos é 1023?

Como calcular a soma de uma progressão geométrica?

Qual é a fórmula para calcular a soma dos n primeiros termos de uma PG finita?

Qual o número de termos de uma PG onde a1 1 64 2 eq 2?