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(em quilômetros) 1 2 3 4 Gasto de combustível (em litros) 7 14 21 28 a. Se Paulo percorrer 10 km com seu carro, quantos litros de combustível ele gastará? b. Indique a expressão algébrica que relaciona a distância percorrida (x) e a quantidade de combustível gasto (y). c. Pode-se afirmar que a quantidade de combustível gasta depende da distância percorrida? MATEMÁTICA | 61 2 | MATEMÁTICA Essa relação de dependência existente entre as duas grandezas envolvidas no problema é chamada função, pois y está em função de x, uma vez que depende do valor atribuído a x. Sendo assim, diz-se que x é uma variável independente e y uma variável dependente. Além disso, a equação encontrada no item “b”, que relaciona as duas grandezas, é a lei de formação dessa função. Considerando as distâncias percorridas presentes na tabela como o conjunto A e as quantidades de combustível gastas como conjunto B, podemos dizer que essa relação é uma função de A em B. Isso pode ser denotado por 𝑓𝑓𝑓𝑓: 𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐵𝐵𝐵𝐵 Assim, a lei de formação obtida no item “b”, que é dada pela expressão algébrica 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥𝑥𝑥, pode ser reescrita como 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥𝑥𝑥. Os conjuntos relacionados por uma função levam alguns nomes especiais: - O conjunto A, que contém os valores de x, é chamado domínio da função. - O conjunto B, que contém os valores de y, é chamado contradomínio da função. 2. Observe os conjuntos indicados em cada item e faça o que se pede. Em seguida, responda às questões propostas. a. Associe a cada elemento x do conjunto A o elemento y do conjunto B, de forma que y=2x. Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s.-2 -1 0 1 -4 -2 0 2 A B - Todos os elementos do conjunto A têm algum correspondente no conjunto B? Se não, qual não tem? - Algum elemento do conjunto A tem mais de um correspondente no conjunto B? Se sim, qual? - Algum elemento do conjunto B não tem correspondente no conjunto A? Se sim, qual? MATEMÁTICA | 3 b. Associe a cada elemento x pertencente a C o elemento y pertencente a D, de forma que x = y2. Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s.4 9 16 -2 2 3 C D - Todos os elementos do conjunto C têm algum correspondente no conjunto D? Se não, qual não tem? - Algum elemento do conjunto C tem mais de um correspondente no conjunto D? Se sim, qual? - Há algum elemento pertencente a D que não possui correspondência no conjunto C? Se sim, qual? c. Associe a cada elemento x do conjunto E o elemento y do conjunto F, de forma que y = x2. Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s.2 3 4 4 9 16 25 E F - Todos os elementos do conjunto E têm algum correspondente no conjunto F? Se não, qual não tem? - Algum elemento do conjunto E tem mais de um correspondente no conjunto F? Se sim, qual? - Há algum elemento pertencente a F que não possui correspondência no conjunto E? Se sim, qual? 62 | MATEMÁTICA 2 | MATEMÁTICA Essa relação de dependência existente entre as duas grandezas envolvidas no problema é chamada função, pois y está em função de x, uma vez que depende do valor atribuído a x. Sendo assim, diz-se que x é uma variável independente e y uma variável dependente. Além disso, a equação encontrada no item “b”, que relaciona as duas grandezas, é a lei de formação dessa função. Considerando as distâncias percorridas presentes na tabela como o conjunto A e as quantidades de combustível gastas como conjunto B, podemos dizer que essa relação é uma função de A em B. Isso pode ser denotado por 𝑓𝑓𝑓𝑓: 𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐵𝐵𝐵𝐵 Assim, a lei de formação obtida no item “b”, que é dada pela expressão algébrica 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 7𝑥𝑥𝑥𝑥, pode ser reescrita como 𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 7𝑥𝑥𝑥𝑥. Os conjuntos relacionados por uma função levam alguns nomes especiais: - O conjunto A, que contém os valores de x, é chamado domínio da função. - O conjunto B, que contém os valores de y, é chamado contradomínio da função. 2. Observe os conjuntos indicados em cada item e faça o que se pede. Em seguida, responda às questões propostas. a. Associe a cada elemento x do conjunto A o elemento y do conjunto B, de forma que y=2x. Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s.-2 -1 0 1 -4 -2 0 2 A B - Todos os elementos do conjunto A têm algum correspondente no conjunto B? Se não, qual não tem? - Algum elemento do conjunto A tem mais de um correspondente no conjunto B? Se sim, qual? - Algum elemento do conjunto B não tem correspondente no conjunto A? Se sim, qual? MATEMÁTICA | 3 b. Associe a cada elemento x pertencente a C o elemento y pertencente a D, de forma que x = y2. Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s.4 9 16 -2 2 3 C D - Todos os elementos do conjunto C têm algum correspondente no conjunto D? Se não, qual não tem? - Algum elemento do conjunto C tem mais de um correspondente no conjunto D? Se sim, qual? - Há algum elemento pertencente a D que não possui correspondência no conjunto C? Se sim, qual? c. Associe a cada elemento x do conjunto E o elemento y do conjunto F, de forma que y = x2. Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s.2 3 4 4 9 16 25 E F - Todos os elementos do conjunto E têm algum correspondente no conjunto F? Se não, qual não tem? - Algum elemento do conjunto E tem mais de um correspondente no conjunto F? Se sim, qual? - Há algum elemento pertencente a F que não possui correspondência no conjunto E? Se sim, qual? MATEMÁTICA | 63 4 | MATEMÁTICA Note que nos itens “a” e “c”, todos os elementos x de A e de E tem um y correspondente em B e F, respectivamente. Já no item “b”, o elemento 16 de C não tem nenhum y correspondente em D. Também, nenhum elemento de A e de E tem mais de um correspondente em B e F, enquanto o elemento 4 de C tem dois correspondentes em D. Isso significa que as relações entre conjuntos representadas nos itens “a” e “c” são funções e a relação representada no item “b” não é função. Assim, podemos dizer que no item “a” está representada a função 𝑓𝑓𝑓𝑓: 𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐵𝐵𝐵𝐵 , onde A é o domínio e B é o contradomínio, e no item “c” está representada a função 𝑔𝑔𝑔𝑔: 𝐸𝐸𝐸𝐸 → 𝐹𝐹𝐹𝐹 , onde E é o domínio e F o contradomínio. Resumindo: para que uma relação entre dois conjuntos seja uma função, é necessário que todos os elementos do domínio tenham um, e apenas um, correspondente no contradomínio. Mas e no caso do item “c”, em que um elemento do contradomínio não corresponde a nenhum elemento do domínio? Mesmo assim, pode-se afirmar que 𝑔𝑔𝑔𝑔: 𝐸𝐸𝐸𝐸 → 𝐹𝐹𝐹𝐹 é função? Para ser função, não é necessário que todos os elementos do contradomínio tenham um correspondente no domínio! Sendo assim, existe mais um conjunto importante quando se trata de função: é o conjunto imagem. Ele contém todos os elementos do contradomínio que tem um correspondente no domínio, isto é, ele é um subconjunto do contradomínio. Em alguns casos, eles coincidem, o que ocorre no item “a”, mas em outros casos eles são conjuntos diferentes, como no item “c”. d. Determine o conjunto imagem das funções 𝑓𝑓𝑓𝑓: 𝐴𝐴𝐴𝐴 → 𝐵𝐵𝐵𝐵 e 𝑔𝑔𝑔𝑔: 𝐸𝐸𝐸𝐸 → 𝐹𝐹𝐹𝐹 , dadas nos itens “a” e “c”. 3. Decida se as relações entre conjuntos representadas nos diagramas abaixo são ou não funções, justificando a sua resposta. Caso sejam, determine quem são seu domínio (Df), seu contradomínio (CD) e sua imagem (Im). Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s. Fo nt e: e la b o ra d o p ar a fin s d id át ic o s. a. -4 -2 0 5 7 10 30 A B b. 3 4 5 9 16 25 36 C D MATEMÁTICA | 5 Fo nt