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180° = 1 080° Octógono. Ao decompormos um polígono convexo em triângulos, cada triângulo obtido deve ser formado por exatamente 3 vértices do polígono. Note que a quantidade de triângulos em que um polígono convexo é decom- posto é igual à quantidade de lados desse polígono menos 2. Em um polígono convexo de n lados, a soma das medidas dos ângulos internos (S) é dada por: S = (n − 2) ⋅ 180° . Soma das medidas dos ângulos externos de polígonos convexos Observe como obter a soma das medidas dos ângulos externos de um quadri- látero convexo e de um pentágono convexo por meio de recorte. • Quadrilátero • Pentágono 3 ⋅ 180° = 540° quantidade de triângulos obtidos soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo Il u st ra çõ e s: R o n a ld o L u ce n a g20_scb_mp_8msm_c1_p012a033.indd 29 11/12/18 8:17 AM 30 • Ao término das expli- cações teóricas dessa página, pergunte aos alunos como é pos- sível determinar as medidas dos ângulos internos de um polígo- no regular, sabendo a soma dessas medi- das e a quantidade de lados. Espera-se que eles respondam que basta dividir a soma pela quantidade de ângulos (ou de lados), pois em polígonos re- gulares as medidas dos ângulos internos são iguais. Instigue-os também a obter uma fórmula para de ter minar a medida dos ângulos internos ‰ de um po- lígono regular qual- quer, dada a quantida- de n de lados, ou seja, med (â) = 180° (n − 2) _________ n . 30 e d f a c b 31. Desenhe os polígonos indicados, decomponha cada um deles em triângulos e calcule a soma das medidas dos ângulos internos. a ) Polígono convexo de 4 lados. b ) Polígono convexo de 8 lados. c ) Polígono convexo de 9 lados. d ) Polígono convexo de 13 lados. Assim, temos que a soma das medidas dos ângulos externos de um quadrilá- tero convexo ou de um pentágono convexo é 360° . A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360° . Isso pode ser demonstrado da seguinte maneira. • Considere o triângulo abaixo. ângulos internos: ̂ a , ̂ b e ̂ c ângulos externos: ̂ d , ̂ e e ̂ f Qual é a medida de cada ângulo externo de um retângulo? A soma das medidas dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é 360° . Atividades Anote no caderno O ângulo interno e o externo em cada vértice são suplementares, ou seja: med ( ̂ a ) + med ( ̂ d ) = 180° med ( ̂ b ) + med ( ̂ e ) = 180° med ( ̂ c ) + med ( ̂ f ) = 180° Assim: med ( ̂ a ) + med ( ̂ b ) + med ( ̂ c ) + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 3 ⋅ 180° = 540° Como a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é 180°, temos: med ( ̂ a ) + med ( ̂ b ) + med ( ̂ c ) 180° + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 540° 180° + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 540° 180° − 180° + med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 540° − 180° med ( ̂ d ) + med ( ̂ e ) + med ( ̂ f ) = 360° Portanto, a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo, assim como a do quadrilátero convexo e a do pentágono convexo, também é 360°. De maneira parecida, é possível demonstrar que a soma das medidas dos ân- gulos externos de qualquer polígono convexo é 360° . 90° 360° 1 080° 1 260° 1 980° R o n a ld o L u ce n a g20_scb_mp_8msm_c1_p012a033.indd 30 11/12/18 8:17 AM 31 • Caso os alunos apre- sentem dif iculdade em resolver a ativida- de 35, proponha que, com base na medida de cada ângulo exter- no, obtenham inicial- mente a quantidade de lados do polígono que, por ser regular, tem as medidas desses ângu- los iguais. • Para a resolução da atividade 36 , assim como outras que apa- recer ão pos ter ior- mente nesse capítulo, solicite que os alunos escrevam inicialmente uma equação. • Veja uma possível re- solução do desaf io proposto na atividade 39: Sendo n a quantidade de lados do polígono convexo, temos: 44 = n ⋅ (n − 3) ________ 2 n ⋅ (n − 3) = 88 Por tentativas, temos que n = 11 . Assim, se- gue que: S = (n − 2) ⋅ 180° = = (11 − 2) ⋅ 180° = 1 620° 31 A C D E H I B FG 150° 135° 145° 155° 120°145° 135° 150° a A D C B x + 40° x + 35° x − 15° 2x E F G H I J 4x + 25° 5x + 15° 105° − x 5x + 5° 4x − 5° 6x x + 15° 47° 83° 123° a e c b d 5 2 x x + 16° 7 3 x + 60° 2x − 94° 65° 74° 105° x E A B CD F 3x + 25° 3x + 10° 5x − 10° 2x + 75° 4x − 10° 4x a e c b df 32. Determine a soma das medidas dos ân- gulos internos e a quantidade de diago- nais de cada polígono. a ) 33. Qual é a medida do ângulo ̂ a no polígono a seguir? c ) b ) d ) 34. Calcule a soma das medidas dos ângu- los internos de um polígono regular de: a ) 15 lados. b ) 18 lados. c ) 25 lados. d ) 30 lados. 35. Determine a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é: a ) 40°. b ) 24°. c ) 18°. 36. Determine a medida de cada ângulo externo desconhecido, no polígono a seguir. b ) 41. No polígono a seguir, calcule o valor de x e determine a medida dos ângulos in- dicados em verde. 37. Realize os cálculos necessários e deter- mine a medida de cada um dos ângulos internos dos polígonos. a ) 38. Quantos lados tem um polígono con- vexo cuja soma das medidas dos ângu- los internos é: a ) 2 160° ? b ) 2 520° ? c ) 3 060° ? d ) 3 420° ? 39. Qual é a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que possui um total de 44 diagonais? 40. Calcule a medida de cada ângulo externo do polígono a seguir. 900° ; 14 diagonais 1 440° ; 35 diagonais 720° ; 9 diagonais 1 800° ; 54 diagonais 125° 2 340° 2 880° 4 140° 5 040° med ( ̂ A ) = 100° ; med ( ̂ B ) = 45° ; med ( ̂ C ) = 120° ; med ( ̂ D ) = 95° med ( ̂ E ) = 150° ; med ( ̂ F ) = 80° ; med ( ̂ G ) = 130° ; med ( ̂ H ) = 140° ; med ( ̂ I ) = 95° ; med ( ̂ J ) = 125° med ( ̂ a ) = 97° ; med ( ̂ b ) = 105° ; med ( ̂ c ) = 57° ; med ( ̂ d ) = 30° ; med ( ̂ e ) = 24° 1 620º med ( ̂ a ) = 70° ; med ( ̂ b ) = 45° ; med ( ̂ c ) = 60° ; med ( ̂ d ) = 65° ; med ( ̂ e ) = 40° ; med ( ̂ f ) = 80° x = 107° ; med ( ̂ A ) = 107° ; med ( ̂ C ) = 120° ; med ( ̂ E ) = 167° 6 diagonais 12 diagonais 17 diagonais 14 lados 19 lados 16 lados 21 lados Il u st ra çõ e s: R o n a ld o L u ce n a R o n a ld o L u ce n a Il u st ra çõ e s: R o n a ld o L u ce n a R o n a ld o L u ce n a R o n a ld o L u ce n a R o n a ld o L u ce n a g20_scb_mp_8msm_c1_p012a033.indd 31 11/12/18 8:17 AM 32 • A atividade 42 apre- senta uma relação com o componente curricu- lar Ciências, pois o es- tudo dos polígonos é associado a elementos que compõem comuni- dades biológicas, como a sociedade das abe- lhas. Nessa aborda- gem, mostra-se que os alvéolos dos favos são construídos com a base superior em formato hexagonal para arma- zenar mais mel com menos quantidade de cera em suas “paredes”. Diga aos alunos que a abelha-rainha é ali- mentada com uma ge- leia real produzida pe- las suas operárias e é a única fêmea fértil da colmeia, colocando de 2 000 a 3 000 ovos por dia, que podem se tor- nar rainhas apenas se estiverem na realeira (alvéolos de rainha) e nascerem primeiro, pois a primeira a nascer mata as demais, já que cada colmeia pode ter somente uma rainha. Relacionando saberes • Explique aos alunos que a formação de um mosaico com polígonos regulares do mesmo tipo somente é possível em três opções: triân- gulos equiláteros, qua- drados e hexágonos regulares. 32 120o 120o 120o Matemática em destaque 42. Na natureza podemos observar