Os juros simples são calculados com base no capital inicial (C), período a período. Por isso o valor dos juros simples é constante em cada período de tempo. Observe o exemplo a seguir:
Carlos aplicou R$ 500,00 a taxa de 3% no regime de juros simples. Qual será o montante no fim de 8 meses de aplicação?
Após 8 meses, Carlos terá um montante de R$ 620,00
Exemplo 2
Fernando aplicou R$ 1.200,00 em uma instituição bancária que paga juros simples de 2,5% ao mês. Qual será o montante no final de 10 meses?
O montante do juro simples e dado pela expressão: M = C + J
Fórmula para o cálculo de juros simples: J = C * i * t , em que:
J = juros
C = capital
i = taxa
t = tempo (período de aplicação)
M = montante
Dados do exercício:
J = ?
C = 1.200
i = 2,5% = 2,5/ 100 = 0,025
(taxa unitária)
t = 10 meses
Desenvolvendo
J = 1200 * 0,025 * 10
J = 300
M = 1200 + 300
M = 1500
O montante ao final de 10 meses será de R$1.500,00.
Exemplo 3
Um capital de R$ 2.000,00, aplicado no sistema de juros simples, produziu um montante de R$ 2.720,00 após 12 meses de aplicação. Qual foi a taxa de juros?
Dados:
C = 2.000
M = 2.720
J = M – C = 2720 – 2000 = 720
t = 12 meses
i = ?
J
= C * i * t
720 = 2000 * 12 * i
720 = 24000 * i
i = 720/24000
i = 0,03 ou 3%
A taxa de juros usada foi de 3%.
Exemplo 4
Um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 1.300,00 após certo tempo. Qual o tempo da aplicação?
C = 1.000
M = 1.300
J = 1300 – 1000 = 300
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = ?
J = C * i * t
300 = 1000 * 0,02 * t
300 = 20 *
t
t = 300/20
t = 15 meses
O tempo de aplicação foi de 15 meses.
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Os Juros Compostos são calculados levando em conta a atualização do capital, ou seja, o juro incide não apenas no valor inicial, mas também sobre os juros acumulados (juros sobre juros).
Esse tipo de juros, chamado também de “capitalização acumulada”, é muito utilizado nas transações comerciais e financeiras (sejam dívidas, empréstimos ou investimentos).
Exemplo
Uma aplicação de R$10.000, no regime de juros compostos, é feita por 3 meses a juros de 10% ao mês. Qual o valor que será resgatado ao final do período?
| 1 | 10% de 10000 = 1000 | 10000 + 1000 = 11000 |
| 2 | 10% de 11000 = 1100 | 11000 + 1100 = 12100 |
| 3 | 10% de 12100 = 1210 | 12100 + 1210 = 13310 |
Note que o juro é calculado usando o valor já corrigido do mês anterior. Assim, ao final do período será resgatado o valor de R$13.310,00.
Para compreendermos melhor, é necessário conhecer alguns conceitos utilizados em matemática financeira. São eles:
- Capital: valor inicial de uma dívida, empréstimo ou investimento.
- Juros: valor obtido quando aplicamos a taxa sobre o capital.
- Taxa de Juros: expressa em porcentagem (%) no período aplicado, que pode ser dia, mês, bimestre, trimestre ou ano.
- Montante: o capital acrescido dos juros, ou seja, Montante = Capital + Juros.
Fórmula: Como Calcular os Juros Compostos?
Para calcular os juros compostos, utiliza-se a expressão:
M = C (1+i)t
Onde,
M: montante
C: capital
i: taxa fixa
t: período de
tempo
Para substituir na fórmula, a taxa deverá estar escrita na forma de número decimal. Para isso, basta dividir o valor dado por 100. Além disso, a taxa de juros e o tempo devem se referir à mesma unidade de tempo.
Se pretendemos calcular somente os juros, aplicamos a seguinte fórmula:
J = M - C
Exemplos
Para entender melhor o cálculo, vejamos abaixo exemplos sobre a aplicação dos juros compostos.
1) Se um capital de R$500 é aplicado durante 4 meses no sistema de juros compostos sob uma taxa mensal fixa que produz um montante de R$800, qual será o valor da taxa mensal de juros?
Sendo:
C = 500
M = 800
t = 4
Aplicando na fórmula, temos:
Uma vez que a taxa de juros é apresentada na forma de porcentagem, devemos multiplicar o valor encontrado por 100. Assim, o valor da taxa mensal de juros será de 12,5 % ao mês.
2) Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$5.000,00, à taxa de 1% ao mês?
Sendo:
C = 5000
i = 1% ao mês (0,01)
t = 1 semestre = 6 meses
Substituindo, temos:
M = 5000 (1 + 0,01)6
M = 5000 (1,01)6
M = 5000 . 1,061520150601
M = 5307,60
Para encontrar o valor dos juros devemos diminuir do montante o valor do capital, assim:
J = 5307,60 - 5000 = 307,60
O juro recebido será de R$ 307,60.
3) Qual deve ser o tempo para que a quantia de R$20 000,00 gere o montante de R$ 21 648,64, quando aplicado à taxa de 2% ao mês, no sistema de juros compostos?
Sendo:
C = 20000
M = 21648,64
i = 2% ao mês (0,02)
Substituindo:
O tempo deverá ser de 4 meses.
Para saber mais, veja também:
- Exercícios de Juros Compostos
- Exercícios de Juros Simples
- Juros Simples e Compostos
- Porcentagem
- Exercícios de Porcentagem
Dica de Vídeo
Entenda melhor sobre o conceito de juros compostos no vídeo abaixo "Introdução aos Juros Compostos":
Juros Simples
Os juros simples é outro conceito utilizado em matemática financeira aplicado sobre um valor. Diferente dos juros compostos, eles são constantes por período. Nesse caso, ao final de t períodos temos a fórmula:
J = C . i . t
Onde,
J:
juros
C: capital aplicado
i: taxa de juros
t: períodos
No tocante ao montante, utiliza-se a expressão: M = C. (1+i.t)
Exercícios Resolvidos
Para compreender melhor a aplicação dos juros compostos, confira abaixo dois exercícios resolvidos, sendo um deles do Enem:
1. Anita resolve aplicar R$300 num investimento que rende 2% ao mês no regime de juros compostos. Nesse caso, calcule o valor que ela terá de investimento ao final de três meses.
Ver Resposta
Ao aplicar a fórmula dos juros compostos teremos:
Mn= C (1+i)t
M3 = 300.(1+0,02)3
M3 = 300.1,023
M3 = 300.1,061208
M3 = 318,3624
Lembre-se que no sistema de juros compostos o valor de rendimento será aplicado ao montante acrescido por cada mês. Sendo assim:
1°mês: 300+0,02.300 = R$306
2°mês: 306+0,02.306 = R$312,12
3° mês: 312,12+0,02.312,12 = R$318,36
Ao final do terceiro mês Anita terá aproximadamente R$318,36.
Veja também: como calcular porcentagem?
2. (Enem 2011)
Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
| n | 1,03n |
| 3 | 1,093 |
| 6 | 1,194 |
| 9 | 1,305 |
| 12 | 1,426 |
Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá:
A) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
B) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.
C) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de
36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
E) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.
Ver Resposta
Para encontrar a melhor forma de investimento, devemos calcular cada um dos investimentos no período de uma ano (12 meses):
Investimento A: 3% ao mês
1 ano = 12 meses
Rendimento de 12 meses = (1 + 0,03)12 − 1 = 1,0312 − 1 = 1,426 – 1 = 0,426 (aproximação fornecida na tabela)
Logo, o investimento de 12 meses (1 ano) será de 42,6%.
Investimento B: 36% ao ano
Nesse caso, já está dada a resposta, ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 36%.
Investimento C: 18% ao semestre
1 ano = 2 semestres
Rendimento nos 2 semestres = (1 + 0,18)2 − 1 = 1,182 − 1 = 1,3924 – 1 = 0,3924
Ou seja, o investimento no período de 12 meses (1 ano) será de 39,24%
Logo, ao analisarmos os valores obtidos concluímos que a pessoa deverá: “escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C”.
Alternativa C: escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.