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1 EXERCÍCIOS EXTRAS DE GEOMETRIA PRÉ - VESTIBULAR ACESSE PROFESSOR: CARLINHOS 4ª LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS TRIGONOMETRIA PARTE1 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. (G1) Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até o chão, o vicking usa uma escada medindo 2,4 m. Os degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus estão representados na figura. O degrau mais baixo eqüidista do chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apóia-se no plano superior do pedestal. a) A escada é composta por quantos degraus? b) A escada faz um ângulo š com o chão e sabe-se que: sen š = 4/5 cos š = 3/5 tg š = 4/3 Calcule a altura h do pedestal. 2. (Uem) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos ‘ = 30° e ’ = 60° e a medida do segmento BC = 5 m, conforme especificado na figura. Nessas condições, a altura da torre, em metros, é... 3. (Ufrj) Determine, em função de š, o perímetro da figura ABD, obtida retirando-se do triângulo retângulo ABC o setor circular BCD (de centro em C, raio 1 e ângulo š). Justifique. 4. (Unirio) Considere a figura anterior, que apresenta um rio de margens retas e paralelas, neste trecho. Sabendo-se que AC=6 e CD=5, determine: a) a distância entre B e D; b) a área do triângulo ABD. 5. (Faap) A seguir está representado um esquema de uma sala de cinema, com o piso horizontal. De quanto deve ser a medida de AT para que um espectador sentado a 15 metros da tela, com os olhos 1,2 metros acima do piso, veja o ponto mais alto da tela, que é T, a 30° da horizontal? Dados: sen 30° = 0,5 sen 60° = 0,866 cos 30° = 0,866 cos 60° = 0,5 Ë2 = 1,41 Ë3 = 1,73 tg 30° = 0,577 tg 60° = Ë3 a) 15,0 m b) 8,66 m c) 12,36 m d) 9,86 m e) 4,58 m 6. (Fatec) De dois observatórios, localizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é possível enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45° e 60°, conforme é mostrado na figura abaixo. 2 Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da Terra, é a) 30 - 15Ë3 b) 30 + 15Ë3 c) 60 - 30Ë3 d) 45 - 15Ë3 e) 45 + 15Ë3 7. (Fuvest) Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de ‘ = ™/3 radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de ’ radianos, com tg ’ = 3Ë3. É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é a) 4Ë3 b) 5Ë3 c) 6Ë3 d) 7Ë3 e) 8Ë3 8. (G1) Na figura abaixo, destacamos as medidas de BC = 10 m e SR = 2,3 m. Os valores de x e y são a) x = 5,4 m e y = 3,2 m b) x = 4,6 m e y = 2,7 m c) x = 4,6 m e y = 3,0 m d) x = 4,5 m e y = 3,7 m 9. (G1) Duas pessoas A e B, numa rua plana, avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30°, respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m, então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente igual a a) 34 b) 32 c) 30 d) 28 10. (G1) O acesso a um edifício é feito por uma escada de dois degraus, sendo que cada um tem 16 cm de altura. Para atender portadores de necessidades especiais, foi construída uma rampa. Respeitando a legislação em vigor, a rampa deve formar, com o solo, um ângulo de 6°, conforme figura. A medida c do comprimento da rampa é, em metros, igual a a) 1,8. b) 2,0. c) 2,4. d) 2,9. e) 3,2. 11. (Mackenzie) Na figura, tg ‘ vale: a) 1/3 b) 2/Ë3 c) 1/Ë3 d) 3/4 e) 2/3 12. (Puccamp) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal. 3 A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é a) 7 cm b) 11 cm c) 12 cm d) 14 cm e) 16 cm 13. (Pucrs) Uma bola foi chutada do ponto M, subiu a rampa e foi até o ponto N, conforme a figura a seguir. A distância entre M e N é, aproximadamente, a) 4,2 m b) 4,5 m c) 5,9 m d) 6,5 m e) 8,5 m 14. (Pucrs) Um campo de vôlei de praia tem dimensões 16 m por 8m. Duas jogadoras, A e B, em um determinado momento de um jogo, estão posicionadas como na figura abaixo. A distância "x", percorrida pela jogadora B para se deslocar paralelamente à linha lateral, colocando-se à mesma distância da rede em que se encontra a jogadora A, é: a) x = 5 tan (š) b) x = 5 sen (š) c) x = 5 cos (š) d) x = 2 tan (š) e) x = 2 cos (š) 15. (Pucsp) Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em construção, foi usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura a seguir, em que os pontos F e M representam os locais onde serão construídos os respectivos dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório. Se o escritório da Coordenação do acampamento deverá ser equidistante dos dormitórios feminino e masculino e, no sistema, sua representação é um ponto pertencente ao eixo das abscissas, quantos metros ele distará do refeitório? a) 10Ë3 b) 10 c) 9Ë3 d) 9 e) 8Ë3 16. (Udesc) Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria. Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano inclinado mede 280Ë3 cm, conforme mostra a figura, então a escada deverá ter: a) 10 degraus. b) 28 degraus. c) 14 degraus. d) 54 degraus. e) 16 degraus. 17. (Uel) Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60°, o marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90°, o marcador de quilometragem acusa 104,03 km. 4 Qual é, aproximadamente, a distância da torre à estrada? (Se necessitar, useË2 ¸1,41; Ë3¸1,73; Ë6¸2,45.) a) 463,4 m b) 535,8 m c) 755,4 m d) 916,9 m e) 1071,6 m 18. (Uel) Um engenheiro fez um projeto para a construção de um prédio (andar térreo e mais 6 andares), no qual a diferença de altura entre o piso de um andar e o piso do andar imediatamente superior é de 3,5 m. Durante a construção, foi necessária a utilização de rampas para transporte de material do chão do andar térreo até os andares superiores. Uma rampa lisa de 21 m de comprimento, fazendo ângulo de 30¡. com o plano horizontal, foi utilizada. Uma pessoa que subir essa rampa inteira transportará material, no máximo, até o piso do: a) 2¡. andar. b) 3¡. andar. c) 4¡. andar. d) 5¡. andar. e) 6¡. andar. 19. (Uerj) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica. Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm. De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor: a) 10° b) 12° c) 13° d) 14° 20. (Uerj) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura a seguir. No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um