O ponto médio entre dois pontos \(A\) e \(B\) é aquele que se localiza no meio do segmento de reta, com extremidades em tais pontos. Isto é, se \(M\) for o ponto médio: Então: $$AM=MB$$ Ou seja, ele divide o segmento de reta \(\bar{AB}\) em duas partes iguais. 📚 Você vai prestar o Enem 2020? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 Se \(M(x_{M},y_{M})\) for o ponto médio entre \(A(x_{A},y_{A})\) e \(B(x_{B},y_{B})\), então temos que as coordenadas de \(M\) são obtidas pelas médias aritméticas das coordenadas de \(A\) e \(B\): Por
exemplo, se \(A(1,2)\) e \(B(3,4)\), então o ponto médio entre eles é: $$M\left(\frac{1+3}{2},\frac{2+4}{2}\right)=M\left(\frac{4}{2},\frac{6}{2}\right)\Rightarrow M(2,3)$$ 🎓 Você ainda não sabe qual curso fazer? Tire suas dúvidas com o Teste Vocacional Grátis do Quero Bolsa 🎓 Uma aplicação importante do ponto médio consiste na determinação do comprimento de uma mediana qualquer de um triângulo. Por exemplo, vamos tomar o triângulo \(ABC\) exibido na figura abaixo: A mediana \(\bar{AM}\) é o segmento de reta que sai do vértice \(A\) e chega no ponto médio \(M\) do lado \(\bar{BC}\). Índice
Introdução
Coordenadas do ponto médio
Ponto médio em um triângulo
Mediana
Para determinar o seu comprimento, devemos, inicialmente, encontrar as coordenadas de \(M\). E, assim, o tamanho \(AM\) será a distância entre os pontos \(A\) e \(M\).
Por exemplo, se um triângulo \(ABC\) tiver vértices \(A(1,2),B(3,4)\) e \(C(1,6)\), então o ponto médio entre \(B\) e \(C\) tem coordenadas:
$$M\left(\frac{3+1}{2},\frac{4+6}{2}\right)=M(2,5)$$
Logo, a mediana \(\bar{AM}\) terá comprimento dado por:
$$d^{2}=(1-2)^{2}+(2-5)^{2}=(-1)^{2}+(-3)^{2}=1+9$$
$$\Rightarrow d^{2}=10$$
Ou seja:
$$AM=\sqrt{10}$$
Baricentro
O baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das medianas. Ele geralmente é denotado pela letra \(G\), pois coincide com o centro de gravidade do triângulo.
Se \(A(x_{A},y_{A})\), \(B(x_{B},y_{B})\) e (C(x_{C},y_{C})\) forem os vértices de um triângulo \(ABC\), então seu baricentro poderá ser calculado pela média aritmética dos vértices:
$$G(x_{G},y_{G})=G\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3},\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}\right)$$
Tomando como exemplo o triângulo do exemplo anterior, temos que seu baricentro tem coordenadas dadas por:
$$G\left(\frac{1+3+1}{3},\frac{2+4+6}{3}\right)=G\left(\frac{5}{3},4\right)$$
Fórmulas
Exercício de fixação
UECE
Se \((2,5)\) for o ponto médio do segmento de extremos \((5,y)\) e \((x,7)\), então valor de \(x+y\) é igual a:
O segmento de reta é um subconjunto da reta, é parte da reta.
Ao contrário da reta, o segmento é finito, possuindo começo e fim, podendo ser medido. Mesmo sendo finito, ele possui infinitos pontos e o ponto que divide o segmento de reta em duas partes de mesmo tamanho é chamado de ponto médio.
Vamos determinar as coordenadas do ponto médio do segmento PQ da figura.
Assim, o ponto médio tem coordenadas:
Exemplo 1. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB de extremos A(1, 9) e B(7, 5).
Solução: Temos que
Portanto, o ponto médio do segmento AB tem coordenadas M(4 , 7)
Exemplo 2. O ponto médio do segmento PQ tem coordenadas M(5, 5). Sabendo que o ponto P tem coordenadas P(3, 4), quais são as coordenadas do ponto Q?
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Solução: Sabemos que
Segue que
Portanto, o ponto Q tem coordenadas (7, 6).
Exemplo 3. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AM, sabendo que M é o ponto médio do segmento AB, sendo A(0, 0) e B(– 12, 20).
Solução: Primeiro determinaremos as coordenadas do ponto M. Como M é ponto médio do segmento AB, temos que:
Logo, M tem coordenadas (– 6, 10).
Queremos determinar o ponto médio do segmento AM. Vamos chamar esse ponto de N. Assim,
Portanto, o ponto médio do segmento AM tem coordenadas N(– 3, 5).
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