Dizemos que um polígono é inscrito em uma circunferência quando todos os seus vértices são pontos da circunferência. A partir dessa definição, pode-se perceber que todos os lados de um polígono inscrito são cordas da circunferência. Quando esse polígono é regular, podemos observar os seguintes elementos e suas propriedades.
Raio do polígono regular
O raio do polígono regular é também o raio da circunferência que o circunscreve (na qual ele está inscrito). Sendo assim, se o raio da circunferência mede r, então o raio do polígono regular inscrito nela também mede esse valor.
Com isso, podemos perceber que o raio do polígono inscrito é a distância do seu centro até um de seus vértices, que é equivalente ao raio da circunferência. A figura abaixo ilustra um dos raios de um polígono regular inscrito.
Ângulo central do polígono regular
O ângulo central do polígono regular é o ângulo central da circunferência que passa por dois vértices adjacentes (consecutivos) do polígono regular inscrito.
Em outras palavras, o vértice do ângulo central do polígono regular é o centro da circunferência e seus lados passam pelos vértices do polígono, como mostra a imagem a seguir:
Para calcular o valor do ângulo central, basta dividir o ângulo total do círculo pelo número de lados (n) do polígono. Sabendo que esse ângulo é de 360°, teremos:
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α = 360
n
Apótema do polígono
A apótema de um polígono é o segmento de reta que vai do ponto médio de um de seus lados até o centro da circunferência na qual ele está inscrito. Todas as apótemas de um polígono regular possuem o mesmo comprimento.
O segmento a é a apótema do polígono inscrito
Observe que os raios ao redor de uma apótema formam dois triângulos retângulos OBG e OAB. Pode-se mostrar que esses triângulos são congruentes da seguinte maneira:
1 – Os lados OA e OB são congruentes, pois são raios do círculo (e do polígono regular);
2 – Os dois triângulos possuem um ângulo reto;
3 – Os ângulos A e B são congruentes, pois esse triângulo é isósceles (possui dois lados congruentes) e os ângulos da base do triângulo isósceles são congruentes.
As três observações acima configuram o caso de congruência LAA (lado, ângulo e ângulo oposto). Portanto, podemos dizer que os dois triângulos são congruentes.
Além disso, como as apótemas e raios são do mesmo tamanho sempre que o polígono é regular, podemos afirmar que todo polígono regular pode ser dividido em triângulos congruentes a partir de seus raios. Assim, um hexágono regular, por exemplo, pode ser dividido em triângulos da seguinte maneira:
Todos os triângulos da figura acima são congruentes.
Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.
A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:
a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;
b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;
c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.
Definição de ângulo externo
Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:
Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.
Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos
Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:
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Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.
No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.
Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.
5·72 = 360°
Demonstração
Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:
Si + Ai = 180°
Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:
S + A = 180·n
A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:
S + A = 180n
(n – 2)180 + A = 180n
180n – 360 + A = 180n
Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:
180n – 360 + A = 180n
A = 180n + 360 – 180n
A = 360°
Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.