Por que os números racionais também são os números inteiros e números naturais?

O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro, mas não é negativo, ele também é um número natural.

Assim, a lista dos números naturais é a seguinte:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …

E assim por diante, seguindo esse mesmo padrão de formação.

Note que essa sequência numérica é a que usamos para contar. Cada um desses símbolos representa uma quantidade, portanto, partindo do nada, uma unidade, duas unidades etc. Uma outra maneira de representar esse conjunto é usando a notação específica para conjuntos, na qual as reticências significam que a sequência continua nessa mesma ordem e padrão de formação:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Nessa notação, N é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais.

A ideia de sucessor

O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros e não contém números repetidos, por isso, é possível escolher, entre dois números naturais distintos, aquele que é maior e aquele que é menor. Quando um número natural x é maior do que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é sucessor de y. Assim:

x é sucessor de y se x + 1 = y

Se olharmos na lista dos números naturais, colocada em ordem crescente, o sucessor de um número natural n é sempre o próximo número à sua direita. Logo:

O sucessor de 7 = 8

O sucessor de 20 = 21

etc.

Perceba também que todo número natural possui sucessor, assim, o sucessor do zero é 1, o sucessor de 1 é 2 …

Essa característica garante que, independentemente do número natural escolhido, e por maior que ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Portanto, o conjunto dos números naturais é infinito.

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A ideia de antecessor

Quando um número natural x é menor que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é o antecessor de y. Assim:

x é antecessor de y se x – 1 = y

Olhando a lista de números naturais em ordem crescente, verificamos que o antecessor de um número natural n é o número à sua esquerda. Logo:

O antecessor de 7 = 6

O antecessor de 20 = 19

etc.

Nem todo número natural possui antecessor. Na realidade, apenas o zero não possui, pois ele é o primeiro número natural e também porque 0 – 1 = – 1, que não é um número natural. Assim sendo, concluímos que o conjunto dos números naturais é limitado.

Sim, é possível que um conjunto seja limitado e infinito ao mesmo tempo. O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente pelo zero, mas ilimitado superiormente e, por isso, é infinito.

Subconjuntos dos números naturais

O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos muito conhecidos:

1 – Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas por 1 e por si mesmo.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

2 – Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos.

C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}

3 – Conjunto dos quadradosperfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de uma potência em que o expoente é 2.

Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …)

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Pertence ao conjunto dos números racionais, qualquer número que possa ser escrito na forma de fração, onde o numerador e o denominador são números inteiros.

Portanto, o Conjunto dos números Racionais engloba o conjunto dos inteiros, os números decimais finitos (Ex: 45,236) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma seqüência de algarismos da parte decimal infinitamente), como: “1,3333333”... ; “0,232323...” ; “1,5888...”, chamados também de dízimas periódicas.

A letra Q maiúscula é a representação do Conjunto dos Números Racionais.

Subconjuntos de

Q:

♦ Q* é o conjunto dos números racionais diferentes de zero.

♦ Q+ é o conjunto dos números racionais positivos e o zero.

♦ Q- é o conjunto dos números racionais negativos e o zero.

♦Q*+ é o conjunto dos números racionais positivos.

♦ Q*- é o conjunto dos números racionais negativos.

Publicado por Danielle de Miranda

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