Quais as condições que devem ser atendidas para que uma partícula seja dita em equilíbrio e para um corpo rígido?

1 [Ano] Equilíbrio de Corpos Rígidos Campus Virtual Cruzeiro do Sul2 Unidade - Equilíbrio de Corpos...

[Ano]

Equilíbrio de Corpos Rígidos

Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Unidade - Equilíbrio de Corpos Rígidos MATERIAL TEÓRICO

Responsável pelo Conteúdo: Prof. Dr. Jaime Sandro Veiga Revisão Textual: Profa. Ms. Alessandra Fabiana Cavalcante.

Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

1 1.1

Unidade- Equilíbrio de Corpos Rígidos Introdução: o que é um corpo rígido?

Dizer que uma partícula permanece em equilíbrio é equivalente a dizer que ela se encontra em repouso ou em um estado de movimento retilíneo e uniforme. Isto acontece sempre que a resultante de todas as forças que atuam sobre ela é igual a zero. Esta é a primeira lei de Newton. Esta condição de equilíbrio pode ser estendida para corpos maiores do que uma partícula sob uma de duas possíveis condições: se as forças atuando sobre o corpo forem concorrentes, ou seja, se elas forem dirigidas para um único ponto, o corpo pode ser tratado como se fosse uma partícula; se o corpo se move com movimento translacional uniforme, em que cada partícula presente no corpo se move em uma mesma direção …xa com velocidade uniforme, o corpo todo pode ser tratado como se fosse uma única partícula. Muitos dos problemas do equilíbrio de corpos extensos não preenchem estas condições. As forças atuando sobre o corpo não passam através de um único ponto e o movimento do corpo não é um movimento puramente translacional, mas pode incluir rotações também. O movimento de um corpo extenso é em geral complicado, como é o caso de uma raquete de tênis jogada para cima. A raquete é quase sempre lançada de modo a girar em torno de um de seus eixos, mas além disso, o próprio eixo de rotação pode girar e o movimento consequente é uma superposição de uma translação com uma rotação. Devemos manter nossa atenção no estudo do equilíbrio de um corpo em relação à rotação em torno de um eixo …xo. Embora todos os corpos materiais se deformem de alguma forma sob a ação de forças aplicadas, é conveniente pensar neles como corpos não deformáveis, isto é, rígidos. Assim, podemos de…nir um corpo rígido como aquele em que todas as dimensões permanecem as mesmas, constantes, não importando a natureza das forças aplicadas. No fundo, é o mesmo que dizer que escolhendo dois pontos quaisquer no corpo, eles permanecerão sempre com a mesma distância, não importando o estado de movimento. Com este conceito, a Estática de Corpos Materiais pode ser bastante simpli…cada, pois ao invés de se ter de estudar o corpo como se ele fosse uma vasta coleção de partículas para as quais as condições de equilíbrio devam ser aplicadas para somente uma única partícula de cada vez, o corpo inteiro pode ser tratado como um objeto único e seu equilíbrio pode ser estudado por intermédio da introdução de um novo conceito chamado torque, que é uma quantidade relativa a rotações de corpos ou a movimentos de partículas em torno de eixos.

1.2

Momento de uma Força ou Torque

O efeito de uma força, ao produzir uma rotação, é determinado por dois fatores: 1

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

1. a força em si; 2. a distância da linha de ação da força, a partir de alguma reta considerada como eixo de rotação. Suponha que a força F~ atue sobre um corpo rígido, como é mostrado na Figura 1; sua linha de ação é colinear ao vetor F~ :

~ em um ponto que está a Figura 1: A …gura apresenta a aplicação de uma força F uma distância r de um eixo.

Imagine um eixo passando através de um ponto O perpendicular ao plano da tela do computador ou do papel, no caso do texto impresso, tal que a distância a partir de O à linha de ação da força F~ seja igual a r: O efeito da força na produção da rotação em torno do eixo que passa por O, chamado momento da força ou torque, é de…nido como o produto da força pela distância perpendicular à linha de ação da força. Se (letra grega tau) representa a magnitude do torque, então: = Fr : (1) Como se pode ver na Fig.1, o torque tenderá a produzir uma rotação do corpo em um sentido anti-horário em torno de um eixo passando por O; o torque é dito estar no sentido anti-horário. A Fig.2 apresenta um corpo rígido sujeito a duas forças, F~1 e F~2 ; a distâncias r1 e r2 ; respectivamente, a partir de um eixo passando por O perpendicular ao plano da tela ou do papel, o que for utilizado. O torque produzido por F1 em torno de O é F1 r1 no sentido antihorário e o torque produzido por F2 em torno de O é F2 r2 no sentido horário. Por convenção, um torque no sentido anti-horário é costumeiramente de…nido

2

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

positivo e o no sentido horário oposto é de…nido negativo. Assim, o torque total produzido por estas forças em torno do eixo passando por O é: = F1 r 1

F2 r2 :

(2)

~1 e F ~2 em relação a um eixo Figura 2: A …gura apresenta a aplicação de forças F de rotação que se encontram em O a uma distância perpendicular r1 e r2 do ponto de aplicação, respectivamente.

Sempre que o torque produzido por uma força em torno de um eixo particular precisa ser determinado, é essencial descobrir a distância perpendicular à linha de ação da força. Na Fig.3, a força F~ é aplicada no ponto E na borda de um disco. Para encontrar o torque em torno de um eixo perpendicular ao plano da tela (ou papel) que passa pelo ponto O no centro do disco, é necessário estender o raio de ação da força F~ mostrada pela linha pontilhada e então descer uma perpendicular a partir de O sobre este raio para obter a distância perpendicular r: O torque de F~ ; em torno do eixo que passa por O; é F r; o sinal de menos indica que ele aponta no sentido horário. As unidades usadas para expressar o torque devem ser coerentes com o produto de uma força por uma distância. Assim, libraforça vezes pé ( lbf ft) é costumeiramente utilizada no sistema britânico, newton vezes metro ( N m) no sistema internacional ou dina vezes centímetro ( dyn cm) no sistema CGS, pois todas elas são unidades apropriadas para o torque.

3

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

~ aplicada no ponto E na borda de um Figura 3: Torque produzido por uma força F disco cujo eixo de rotação passa pelo centro O:

1.3

Representação Vetorial do Torque

Somente forças coplanares foram consideradas na discussão precedente. O eixo em torno do qual os momentos das forças foram determinados estavam sempre formando ângulos retos com os planos que continham as forças. Neste caso mais simples, o sentido de rotação e, por conseguinte, o sentido do torque foi especi…cado como sendo horário ou anti-horário. No caso mais geral, em que as forças são não coplanares e o eixo de rotação pode estar em qualquer direção arbitrária, é necessário que se tenha um método mais geral, consistindo em representar o torque por um vetor. Sistemas de coordenadas retangulares são ditos sistemas dextrógiros ou de mão direita quando eles têm a disposição representada pelo conjunto de vetores ~ B ~ eC ~ que aparecem na Fig.4. Pela …gura, se os dedos da mão direita estão A; ~) apontando no sentido positivo do eixo x (representados na …gura pelo vetor A e as partes dos dedos que estão dobradas de forma a apontar no sentido positivo ~ ), o polegar que está esticado apontará no do eixo y (representados pelo vetor B ~ ). A disposição dos dedos e sentido positivo do eixo z (representado pelo vetor C do polegar da mão direita são comumente usadas para representar quantidades vetoriais envolvendo rotações. Se os dedos da mão direita fossem usados para girar o disco representado na Fig.5, com os dedos apontando no sentido da rotação que a força aplicada em A pode produzir, o polegar estendido deve apontar na direção do eixo de rotação. Para representar o torque produzido pela força F~ em A por um vetor, temos de ~ F~ ; apontando ao longo desenhar um vetor de magnitude dada por j~ j = R da linha do eixo de rotação no sentido da esquerda da …gura.

4

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

~ aponta no Figura 4: Representação de um sistema de mão direita em que o vetor A ~ no sentido do eixo y e o vetor C ~ no do eixo z: sentido do eixo x; o vetor B

Figura 5: Figura apresentando a regra da mão direita para deduzir o sentido do torque.

5

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

1.4

Equilíbrio de um Corpo Rígido

Quando um corpo rígido permanece em repouso sob a ação de um sistema de forças, diz-se que o corpo está em equilíbrio estático. Porém, sob certas condições especiais, um corpo pode estar em equilíbrio até mesmo quando ele está em movimento e, neste caso, diz-se que este corpo está em equilíbrio dinâmico. Por exemplo, um corpo rígido está em equilíbrio se ele se move de tal forma que cada partícula no corpo se move com velocidade uniforme em uma reta. Outro tipo de equilíbrio é aquele de uma roda girando em torno de seu eixo com velocidade angular uniforme. Para um corpo rígido permanecer em equilíbrio, quando um conjunto de forças atua sobre ele, duas condições devem ser satisfeitas: 1. a soma vetorial de todas as forças agindo sobre o corpo deve ser nula. Esta condição assegura que não haverá variação no estado do movimento translacional. Escrevendo a condição na forma de uma equação, temos n P F~1 + F~2 + F~3 + : : : F~n = F~i = ~0 :

(3)

i=1

Notemos que esta é a mesma condição para o equilíbrio de uma partícula. Esta equação é conhecida como balanço de forças. 2. A soma vetorial de todos os torques agindo sobre um corpo em torno de qualquer eixo é nula. Em se tratando de problemas bidimensionais, isto é equivalente a dizer que a soma dos torques no sentido horário em torno de qualquer eixo deve ser igual a soma dos torque no sentido anti-horário em torno do mesmo eixo. Escrevendo esta condição, na forma de uma equação, temos: ~1 + ~2 + ~3 + : : :~n =

n P

~ i = ~0 :

(4)

i=1

Esta condição sobre os torques, a saber, que a soma dos torques deve se anular, é uma nova condição para o equilíbrio aplicável a um corpo rígido que não era pertinente ao equilíbrio de uma partícula, já que todas as forças agindo sobre a partícula tinham de se cruzar sobre a mesma. As forças agindo sobre um corpo rígido, não atuam em geral sobre um único ponto no corpo e, consequentemente, darão surgimento a um movimento rotacional, a menos que a eq.(4) seja satisfeita. Esta equação é conhecida como balanço de momentos ou balanço de torques.

1.5

Diagramas de Corpo Livre

Um diagrama de corpo livre consiste em primeiramente fazer um esboço do corpo em questão e colocar as ‡echas representando as forças aplicadas a ele. A seleção do corpo para o esboço pode ser a primeira decisão importante no processo de resolução de um problema. Por exemplo, para descobrir as forças sobre a juntapivô de um simples par de tenazes, como em uma pinça de cadinho siderúrgico 6

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

(ou químico) ou mesmo em um alicate, é útil que se faça um esboço do diagrama de corpo livre de uma das tenazes, não do sistema inteiro, substituindo a segunda metade pelas forças que deveriam ser aplicadas à primeira. 1.5.1

O que deve ser incluído

O desenho de um diagrama de corpo livre precisa incluir tão somente os detalhes necessários e importantes. Em geral, um simples esboço é su…ciente. Dependendo da análise a ser feita e do modelo que está sendo empregado, até mesmo um único ponto pode ser o mais adequado a ser representado por intermédio de um desenho. Se a rotação do corpo e o torque estão sendo levados em consideração, o melhor a fazer é desenhar o formato do corpo. Diagramas de corpo livre são chamados assim porque o diagrama isola o corpo - daí o "livre- de todos os outros corpos interagentes, de forma que o diagrama focaliza apenas o corpo especí…co. Desenhos de corpos em volta dos diagramas de corpo livre podem ser necessários a …m de considerar os outros corpos interagentes do sistema. Todos os contatos externos, vínculos e forças entre corpos são indicados por ‡echas com descrições apropriadas. As ‡echas mostram a direção, sentido e magnitude (ou módulo) das várias forças existentes no sistema em questão. Sempre que possível, para propósitos práticos, as ‡echas devem indicar o ponto de aplicação das forças que elas representam. Apenas as forças que atuam sobre um objeto são incluídas. Estes podem incluir forças tais como: a de atrito, a gravitacional, a força normal, a de arrasto, tensões em cordas ou outras tensões, ou uma força humana que irá empurrar ou puxar. Quando tratamos de um sistema que está em um sistema de referência não inercial, forças …ctícias, tais como a pseudoforça centrífuga, podem ser apropriadas. Um sistema de coordenadas é usualmente incluído, de acordo com a conveniência. Isto pode tornar a de…nição dos vetores mais simples no momento de escrever as equações de movimento. Por exemplo, a direção x pode ser escolhida de forma a apontar para baixo em uma rampa no problema do plano inclinado. No caso da força de atrito, se tiver apenas a componente x; a força normal só terá componente y: A força de gravidade terá ainda componentes em ambas as direções x e y: mg sin na direção x (sin é o seno do ângulo ) e mg cos na direção y; em que é o ângulo que a rampa faz com a horizontal. 1.5.2

O que não deve ser incluído

Todas as forças externas de contato e de vínculo escritas a partir dos objetos externos são deixadas de fora e substituídas por ‡echas de força sobre o corpo livre. As forças oriundas da aplicação do corpo livre sobre outros objetos não são incluídas. Por exemplo, se uma bola repousa sobre uma mesa, a bola aplica uma força sobre a mesa e a mesa aplica uma força sobre a bola igual e oposta. O diagrama de corpo livre da bola inclui apenas a força que a mesa faz sobre a bola.

7

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Forças internas, isto é, as forças entre as várias partes que compõem um sistema que está sendo tratado como um corpo simples, são omitidas. Por exemplo, se um andaime inteiro está sendo analisado para se descobrir as forças de reação no suporte, as forças entre as diversas partes individuais do andaime não são incluídas. Qualquer velocidade ou aceleração deve ser deixada de fora. Estas podem ser indicadas em um diagrama parecido, chamado de "diagrama cinemático", "diagrama de resposta inercial"ou algum termo equivalente, dependendo do autor. 1.5.3

Suposições

Um diagrama de corpo livre re‡ete as suposições e as simpli…cações feitas a …m de analisar o sistema. Se o corpo em questão é um satélite em órbita, por exemplo, e tudo o que se quer é encontrar sua velocidade, então um simples ponto pode ser a melhor representação. Por outro lado, a empinada traseira de uma moto, quando ela é brecada fazendo com que o motociclista seja jogado um pouco para a frente sobre o garfo dianteiro, não pode ser descrita a partir de um único ponto, e um esboço mais detalhado deve ser utilizado. Os vetores de força devem ser cuidadosamente localizados para evitar suposições que pressupõem um resultado. Por exemplo, em um diagrama de um bloco sobre uma rampa, a localização exata da força normal, resultante da rampa sobre o bloco, pode somente ser encontrada após analisar o movimento ou assumindo-se o equilíbrio do sistema. 1.5.4

Exemplos

Dois exemplos bastante simples serão apresentados a seguir. Um deles, o de uma bicicleta sendo brecada, cujo foco será a roda dianteira. O diagrama de corpo livre deverá apresentar o sistema de eixos (pode-se utilizar um sistema de mão direita com o eixo x orientado para baixo e o eixo y orientado para a direita ou um sistema de mão esquerda, com o eixo x orientado para a direita e o eixo y orientado para baixo), a força de atrito do breque sobre a roda, a força de atrito do chão sobre a roda e a força normal do chão sobre a roda. Dá para notar que as duas forças de atrito estão com suas maiores componentes dirigidas ao mesmo sentido. Outro exemplo é o de uma pessoa de pernas ligeiramente abertas mantendose em pé. Há o peso da pessoa para baixo, as duas normais atuando uma em cada pé e as duas forças de atrito recebidas no pé e aplicadas pelo chão em sentidos opostos, ambas do sentido externo para o interno ao eixo de simetria bilateral (aquele eixo imaginário que corta longitudinalmente uma pessoa ao meio, passando pelo nariz e boca e pelo umbigo). Este par de forças de atrito, atuando nos pés, permite que a pessoa se mantenha em pé; sem atrito, os pés escorregariam fazendo com que as pernas se abrissem e a pessoa caísse. Na Fig.7 há um esboço de cada sistema e na …gura seguinte o diagrama de corpo livre de cada um dos sistemas em questão.

8

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 6: Figura mostrando um bloco de massa m sujeita a aceleração da gravidade ~g em um plano inclinado de um ângulo .

Figura 7: Duas situações diferentes para representação em diagramas de corpo livre: uma bicicleta sendo brecada e uma pessoa em pé.

Figura 8: Respectivos diagramas de corpo livre para os sistemas da …gura anterior

9

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

1.5.5

O que mostrar e o que não mostrar em um diagrama de corpo livre?

Vamos falar um pouco mais acerca dos elementos de um bom diagrama de corpo livre. Alguns destes têm mais a ver com estilo, mas achamos que mesmo assim eles ajudarão na resolução de problemas. O sistema: Um diagrama de corpo livre é um desenho do sistema para o qual você gostaria de aplicar os balanços de forças e de torques ou o balanço de energia. Ele apresenta o sistema isolado (livre) de seu meio ambiente, ou seja, o diagrama de corpo livre não apresenta objetos que estão próximos ou tocando o sistema de interesse; A palavra corpo signi…ca sistema: Um diagrama de corpo livre pode mostrar uma ou mais partículas, objetos rígidos, objetos deformáveis ou partes componentes de tal máquina. Você pode desenhar um diagrama de corpo livre de qualquer coleção de materiais que você identi…car. A palavra corpo tem a conotação de um objeto padrão nas mentes das pessoas. O corpo em um diagrama de corpo livre pode ser um subsistema de um sistema global de interesse. Para um sistema de n partes, há 2n 1 coleções de partes. Para os alicates apresentados na Fig.12 há 4 partes e 15 diagramas de corpo livre possíveis (6 deles foram apresentados); As forças que enganam em um sistema: O diagrama de corpo livre de um sistema apresenta as forças e torques que o meio ambiente impõe ao sistema. Isto é, já que o único método de interação mecânica que a Natureza "inventou"é a força (e, por conseguinte, o torque para um corpo extenso), um diagrama de corpo livre apresenta o que deveria ser feito para "enganar"um sistema, se fôssemos literalmente isolar tal sistema. Assim, o movimento do sistema seria totalmente o mesmo se fôssemos isolá-lo e as forças mostradas em um diagrama de corpo livre fossem aplicadas em substituição a todas as interações externas; Cada força possui uma fonte e um alvo: Toda força mostrada em um diagrama de corpo livre atua sobre o sistema (o corpo) e a partir de outro objeto de acordo com alguma regra. Para cada força você deve ser capaz de denominar um alvo (o corpo "livre"), a fonte (isto é, o corpo que está em contato) e a regra (isto é, lei da gravidade, uma equação de mola, a força su…ciente para evitar interpenetração). Alguns índices podem ajudar, tais como FED que indica a força que atua a partir de E sobre D; Coloque forças em cortes: As forças e os torques são localizados em diagrama de corpo livre nos pontos onde eles são aplicados. Estes lugares estão onde você …zer os "cortes"para liberar o corpo; O movimento é causado ou evitado por forças: Em lugares onde o meio externo causa ou restringe a translação do sistema isolado, uma força de contato é desenhada sobre o diagrama de corpo livre; 10

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

A rotação é causada ou evitada por torques: Em conexões com o mundo exterior que causa ou restringe a rotação do sistema, um torque de contato (ou um binário) é desenhado. Desenhe este torque para fora do sistema para maior clareza; Desenhe forças de contato para fora do corpo: Desenhe a força de contato saindo do esboço do sistema para uma maior clareza. Um bloco preso por uma dobradiça como na Fig.9 ilustra como a força de reação sobre o bloco devido à dobradiça é melhor apresentada saindo do bloco.

Figura 9: Figura apresentando um bloco de massa m sendo mantido por uma dobradiça com atrito.

Desenhe as forças sobre o corpo (por exemplo, a força da gravidade) para dentro do corpo: O diagrama de corpo livre apresenta o corte do sistema livre da fonte de quaisquer forças de corpos aplicadas ao sistema. Forças de corpos são forças que atuam sobre o interior de um corpo a partir de objetos fora do corpo. É melhor desenhar as forças de corpos sobre o interior do corpo exatamente no centro de massa, se isto representar corretamente o efeito total dessas forças. A Fig.9 mostra a forma mais limpa de representar a força de gravidade sobre o bloco uniforme, atuando exatamente no centro de massa; As forças internas não são desenhadas: O diagrama de corpo livre mostra todas as forças externas atuando sobre o sistema, mas nenhuma 11

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

força interna, isto é, forças entre os objetos dentro de um corpo não são mostradas;

Figura 10: Diagramas de corpo livre com indicações de forças de forma errada.

Não desenhe velocidades e acelerações: O diagrama de corpo livre não apresenta nada acerca do movimento. Ele não mostra "forças centrífugas", "forças inerciais"etc. 1.5.6

Como desenhar as forças em um diagrama de corpo livre

Isto irá depender de: quanto você sabe acerca da força antes de fazer sua análise. Você conhece sua direção e sentido? seu módulo? e sua escolha de notação (que pode variar de vetor para vetor em um diagrama de corpo livre). Algumas das possibilidades são: 1. qualquer F~ é possível; 2. a direção e o sentido de F~ são conhecidos; e 3. tudo a respeito de F~ é sabido. Observe na Fig.11 o processo de construção de um diagrama de corpo livre. 12

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 11: Figura apresentando o corte e isolamento para um diagrama de corpo livre para o sistema envolvendo a roda de um ônibus espacial.

A Fig.12 apresenta o processo correto de introdução das forças no diagrama de corpo livre para um alicate que prende um lápis com a mão apertando esse alicate.

Figura 12: Figura apresentando um alicate que está sendo pressionado pela mão e comprimindo um lápis.

13

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 13: Representação correta de forças no alicate.

Figura 14: Detalhes do diagrama de corpo livre para o alicate pressionando o lápis.

14

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

1.6

Número de Equações e Número de Incógnitas

Em duas dimensões, as equações de equilíbrio perfazem três equações escalares independentes. Podemos ter: duas componentes do balanço de forças e uma componente não trivial do balanço de momentos ou torques; ou balanço de torques em torno de dois pontos quaisquer (exceto na direção ortogonal à linha que liga estes dois pontos); balanço de torques em torno de três pontos (três pontos quaisquer que não estejam alinhados são su…cientes). Note que o balanço de torques necessariamente é parte das equações de equilíbrio, mas o balanço de forças pode ser mais sutil. Com um diagrama 2D do corpo livre, as equações de equilíbrio podem ser resolvidas de forma a encontrar três incógnitas escalares; por exemplo, as magnitudes das três forças cujas direções são conhecidas a priori; ou um vetor força incógnita (as duas componentes, ou ângulo e módulo) e um módulo desconhecido; ou uma outra lista de três escalares associados com as forças em um diagrama de corpo livre. Além disso, componentes de força e módulos podem incluir um ângulo da força, ; um coe…ciente de atrito, ; ou o local de aplicação da força. Uma vez que você tenha três equações independentes, quaiquer equações adicionais que você venha a escrever, digamos o torque em torno de qualquer ponto imóvel, não contém qualquer informação extra. Uma quarta equação de equilíbrio pode aparentemente parecer diferente de qualquer outra equação que já foi escrita, mas certamente ela pode ser deduzida de combinações lineares das outras equações. Em alguns problemas, as forças apresentadas em um diagrama de corpo livre satisfazem automaticamente uma ou mais das equações de equilíbrio; ao fazer o desenho, você pode ter de implicitamente resolver algumas equações de equilíbrio. As equações de equilíbrio então oferecem menos (e até em algumas situações, nenhuma) informação nova. Em 3-D, as equações de equilíbrio produzem 6 equações escalares indenpendentes: 3 são para as componentes da força e 3 para as componentes do momento ou torque. Mas há muitas combinações diferentes de equações de equilíbrio que produzem 6 equações escalares independentes. 1.6.1

Resolução de alguns problemas simples

Exemplo Ilustrativo #1: Vamos analizar as forças associadas com a operação de uma alavanca. Essencialmente, uma alavanca consiste em uma barra rígida AB; como na Fig.15, capaz de rodar em torno de um ponto de apoio O; chamado 15

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 15: Figura mostrando uma alavanca com um peso W e uma força aplicada na extremidade oposta a …m de manter o equilíbrio da alavanca.

de fulcro ou sustentáculo, que de…ne o eixo de rotação. Suponha que um peso ~ seja colocado na extremidade A e que uma força F~ seja aplicada para baixo W na extremidade B para manter a alavanca em equilíbrio na posição horizontal. ~ e F~ Aplicando a eq.(2) ao equilíbrio da barra AB; uma vez que as forças W estão ambas na direção y; a única outra força possível, a força exercida pelo apoio em O; deve estar também na direção y: Chamando esta força de P~ ; a equação vetorial para essas forças deve ser: ~ + F~ + P~ = 0 : W

(5)

Re-escrevendo a equação com os símbolos W; P e F representando a magnitude das três forças, seus respectivos sentidos são tomados a partir dos sentidos das ‡echas na …gura, de forma que: W +P

F = 0;

(6)

logo, P =W +F :

(7)

Para aplicar a segunda condição para o equilíbrio, vamos determinar os momentos das forças em torno do ponto O em relação a um eixo que aponta para fora da tela (ou do papel, caso seja uma cópia de impressão em papel). Se considerarmos O com a origem de um sistema de coordenadas com o eixo x positivo apontando à direita do ponto B; a direção y positiva como a direção dada pelo vetor P~ ; então o sentido positivo de z aponta na direção normal para fora da tela ou do papel, como dada pela convenção de sistemas de eixos de 16

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

~ em torno de O é W AO; já que a rotação que mão direita. O momento de W seria gerada por W estaria no sentido anti-horário, e o vetor torque apontaria na direção positiva de z: O momento de F~ em torno de O é F OB; já que este está no sentido horário; o momento de P~ em torno de O é zero. Todos os torques estão no sentido de z positivo, de forma que aplicaremos as condições para o equilíbrio na forma da eq.(3) X = W AO F OB = 0; (8) de modo que:

W

AO = F

OB;

(9)

em que, …nalmente, temos: W OB = : F AO

(10)

As distâncias AO e OB são chamadas de braços de alavanca das respectivas ~ e F~ : Assim, no caso de uma alavanca, W e F estão na razão inversa forças W ~ ; deveremos de seus braços de alvanca. Colocando-se o fulcro mais próximo a W ~ ~ precisar de uma força menor F para erguer W : O fulcro pode ser colocado em ~ e F~ podem ser movidas de qualquer ponto ao longo da barra e as posições de W forma a obter quase que qualquer resultado desejado consistente com a aproximação que a barra permanece um corpo rígido. Muitas ferramentas comuns são aplicações do princípio da alavanca, como pode ser visto a partir da análise do uso da tesoura, do alicate, do cortador de unhas e do quebranozes. Exemplo Ilustrativo #2: Uma barra de aço de 5 ft (pés) de comprimento é suportada em suas duas terminações, conforme mostrada na Fig.16. Um peso de 160 lbf (libras-força) é colocado a 2 ft (pés) da extremidade A: Desprezando o peso da barra, determine as forças exercidas pelos suportes. As forças atuando sobre a barra de aço são mostradas na Fig.16. As forças exercidas pelos suportes são apresentadas como F~A e F~B : A partir da condição de equilíbrio, obtemos: F~A + F~B 160 = 0 : (11) Aplicando a segunda condição para o equilíbrio, …camos com a liberdade de escolher qualquer eixo de rotação. Vamos escolher um eixo que passa através do ponto A dirigido para a normal que sai da tela (ou do papel, caso se faça uma cópia impressa). Seguindo o exemplo prévio, de…nimos esta como a direção z positiva. A soma dos momentos de todas as forças em torno de A é zero, produzindo: FA 0 160 2 + FB 5 = 0; (12) a partir da qual: FB = 64 lbf :

(13)

Substituindo esta na primeira equação resulta: FB = 96 lbf :

17

(14)

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 16: Figura mostrando uma barra de aço com uma massa sobre ela e as forças atuando em suas extremidades.

Este exemplo realmente representa a solução de muitos problemas em estática. Se a linha AB representa uma simples ponte, então FA e FB representam as forças exercidas pelos piers da ponte, e resolvemos o problema da carga suportada pelos piers sob uma distribuição particular de cargas. Se a linha AB representa o chassis de um caminhão, como bem poderia ser com a ~ substituição de números um pouco diferentes para a distância e peso, então W poderia representar o peso do motor e as duas forças poderiam representar a carga suportada pelos pneus da frentes e de trás. Exemplo Ilustrativo #3: Um bastão de 8 ft de comprimento e que pode ser considerado sem peso, é preso a uma parede em uma ponta, como é mostrado na Fig.17a. Para suportar o bastão horizontalmente, uma corda de 10 ft de comprimento é esticada, puxando a ponta de fora do bastão para cima até chegar à parede a uma distância de 6 ft acima do pino em que o bastão está preso. Encontre a tensão na corda e a força exercida pelo pino sobre o bastão. Observemos que estamos tratando do equilíbrio de um corpo rígido, isto é, de um bastão. A partir das dimensões dadas, trata-se de um triângulo retângulo 3-4-5, e o ângulo ACD é de 37 : Vamos isolar o bastão AC e rotular todas as forças atuando sobre ele, assim como é apresentado na Fig.17b. Uma vez que não sabemos nem a magnitude nem a direção da força exercida pelo pino ~x e A ~y e em A; iremos rotular também as componentes dessa força como A desenhá-las nos sentidos em que esperamos que essas forças atuem. Embora conheçamos a direção da tensão na corda, é mais conveniente trabalhar em termos das componentes da tensão T~x e T~y : As forças sobre o bastão são Ax , Ay ; W; Tx e Ty ; cujos símbolos sem as ‡echas representam as magnitudes das forças, as direções sendo dadas no diagrama. Seguindo tal procedimento, se

18

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 17: Uma barra suportando um peso é presa por uma corda em (a); em (b) está representada o diagrama de corpo livre deste sistema.

uma das forças se mostra negativa para a solução do problema, a direção da força particular será oposta àquela mostrada na …gura. Nós aplicaremos na forma de componentes a equação para o balanço de forças para o equilíbrio translacional de um corpo rígido: X Fx = Ax Tx = 0; (15) X Fy = Ay W + Ty = 0 : (16) Já que Tx e Ty são componentes de uma força T~ ; podemos escrever: 3 Ty = tan 37 = : Tx 4

(17)

Neste estágio, temos três equações e quatro incógnitas, Ax ; Ay ; Tx e Ty : Desta forma, necessitamos de uma relação adicional entre essas quantidades para obter a solução do problema. A segunda condição de equilíbrio, a Eq.(4), fornece a relação necessária. Mais uma vez, a direção z positiva é mantida, apontando para fora da tela (ou do papel). O eixo de rotação será tomado na direção z e a localização do eixo de rotação será escolhida passando pelo pino A: As linhas de ação de todas as ~x; A ~ y e T~x passam pelo ponto A; consequentemente, essas forças não forças A produzem torque em torno do eixo que passa por A: Foi por essa razão que o ponto A foi escolhido para a localização do eixo de rotação e não porque o pino estava localizado em A: O ponto C teria sido igualmente uma boa escolha para a localização do eixo de rotação. 19

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Substituindo a eq.(4) para os torques em torno do eixo que passa por A; obtemos: X = 0; (18) A Ax 0 + Ay 0

64 3 + Tx 0 + Ty 8

=

0:

(19)

Logo, Ty = 24 lbf :

(20)

Com este resultado o problema inteiro é reduzido a manipulações algébricas. Da eq.(17) obtemos: Tx =

Ty 24 lbf = = 32 lbf : tan 37 0:75

(21)

Das equações (16) e (20), encontramos: Ay

64 + 24 = 0

ou Ay = 40 lbf :

(22)

E das equações (15) e (21), encontramos: Ax = Tx = 32 lbf :

(23)

Por conseguinte, a tensão na corda T possui o módulo: q p T = Tx2 + Ty2 = 322 + 242 = 40 lbf :

(24)

A direção e sentido de T~ são conhecidos a partir da declaração do problema. O módulo da força no pino A é dado por: q p A = A2x + A2y = 322 + 402 = 51:2 lbf ; (25)

a direção da força pode ser de…nida em termos do ângulo barra considerada como eixo x e, assim, = tan

1.7

1

Ay Ax

= tan

1

40 32

= 51:4 :

que ela faz com a

(26)

Interações

A forma com que os objetos interagem mecanicamente é pela transmissão de uma força ou um conjunto de forças. Se você quer apresentar o efeito que um corpo B exerce sobre outro corpo A, no caso mais geral, você pode esperar que uma força ou um torque serão equivalentes a um sistema complexo inteiro de forças e torques. A interação mais geral entre dois corpos requer o conhecimento de: 20

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

três números em duas dimensões (duas componentes da força e uma componente do torque); ou seis números em três dimensões (três componentes da força e três componentes do torque). É comum que os objetos não interajam da forma a mais geral possível e, com isto, menos números serão necessários. Algumas das formas mais comuns em que os objetos mecânicos interagem, pelo menos de forma idealizada, serão descritas a seguir.

1.8

Movimento Vinculado e Movimento Livre

Um princípio geral das forças de interação e dos torques diz respeito aos vínculos "geométricos". Onde quer que um movimento A seja causado ou evitado por B há uma força correspondente mostrada no ponto de interação sobre o diagrama de corpo livre de A: Similarmente, se B causa ou evita rotação há um torque mostrado sobre o diagrama de corpo livre de A no ponto da interação. O inverso também é verdadeiro. Muitos tipos de artefatos de acoplamentos mecânicos são especialmente projetos para permitir o movimento. Se um acoplamento permite movimento livre em uma certa direção (diz-se que possui um grau de liberdade), então o diagrama de corpo livre não apresenta força naquela direção. Se um acoplamento permite rotação livre em torno de um eixo, então o diagrama de corpo livre não apresenta torque em torno daquele eixo. Você pode pensar em cada ponto de acoplamento como tendo uma variedade de tarefas a fazer. Para cada possível grau de liberdade de translação ou rotação, o acoplamento ou tem de permitir movimento livre ou restringir o movimento. De qualquer forma, o movimento é restringido (ou causado) pela conexão com uma força ou com um torque. O movimento de um corpo A é causado e restringido por forças e torques que atuam em A: O movimento é livremente permitido pela ausência de tais forças ou torques. Assim, demonstrando as ideias acima estão algumas das conexões mais comuns. 1.8.1

Cortes em Conexões "Rígidas"

Algumas vezes o corpo que você irá desenhar em um diagrama de corpo livre está preso …rmemente a outro corpo. A Fig.18 mostra uma estrutura de alavanca em um edifício. 21

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 18: Diagrama de corpo livre para o corte de uma alavanca presa a um edifício.

O diagrama de corpo livre da alavanca tem de mostrar todas as possíveis forças e componentes de carga. Já que temos usado a notação vetorial para a ~ C ; pode haver ambiguidade força F~ e para o momento da força (ou torque) M acerca de estarmos fazendo uma análise bi ou tridimensional. A gravidade está apontando para baixo, então por que mostramos uma força de reação horizontal em C? Esta é uma questão razoável porque uma análise rápida da Estática mostra que, para um edifício e alavanca estacionários, F~C deve ser vertical. Há duas razões para apresentar a força horizontalmente: 1. A Mecânica inclui tanto Estática quanto a Dinâmica. Em Dinâmica, as forças sobre um corpo não têm resultante zero. De fato, esquecemos de lhe dizer que o edifício mostrado na Fig.18 está sofrendo uma rápida aceleração para a direita, devido a movimentos de um violento terremoto que está acontecendo no instante em que foi desenhada a …gura; 2. Seja ou não um terremoto, o acoplamento da alavanca ao edifício em C na Fig.18 é seguramente feito para ser rígido e evitar que a alavanca se mova para cima ou para baixo (queda) e mover-se para os lados e girar em torno do ponto C: Na maior parte da vida dos edifícios, a reação horizontal em C é pequena. Mas, uma vez que a conexão em C evita claramente o movimento horizontal relativo, é provavelmente melhor desenhar uma

22

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 19: Diagrama de corpo livre para cortes em 2-D e 3-D de uma conexão rígida presa a um corpo rígido.

força de reação horizontal no diagrama de corpo livre. Desse modo, o mesmo diagrama de corpo livre …ca bom durante os terremotos e durante os dias normais. Quando você sabe que uma força está caindo a zero, como as forças laterais neste exemplo se tratadas como um problema de Estática, é uma questão de gosto mostrar ou não as forças laterais no diagrama de corpo livre. Nosso conselho é melhor prevenir do que remediar; se você não sabe que uma força ou torque está diminuindo a zero, mantenha-o no diagrama de corpo livre. A situação com conexões rígidas, como a já comentada alavanca, é mostrada de forma mais abstrata em 3D e 2D na Fig.19: 1.8.2

Cortes em Dobradiças

Uma dobradiça, mostrada na Fig.20, permite que se faça rotação e não deixa que se faça translação. Assim, o diagrama de corpo livre de um corte de objeto em uma dobradiça não apresenta torque em torno do eixo da dobradiça, mas mostra a força ou suas componentes que evitam que se faça translação. Há uma certa ambiguidade acerca de como modelar as juntas pinadas (dobradiças) em três dimensões. A ambiguidade é mostrada em relação à porta com a dobradiça (Fig.21) e discutida a seguir. Claramente, uma dobradiça, se é o único acoplamento, evita a rotação da porta em torno do eixos x e y apresentados. Assim, é natural mostrar um torque na direção x; Mx , e um torque na direção y; My : Mas, a dobradiça não evita resistências muito …rmes a rotações nessas direções comparadas à resistência da outra dobradiça. Ou seja, 23

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 20: Representação do diagrama de corpo livre para uma junta pinada.

até se ambas as dobradiças são modeladas com juntas de bola e soquete (veja a seguir), que não oferecem nenhuma resistência à rotação, a porta ainda não poderá rodar em torno dos eixos x e y: Quando o vínculo opositor vence: Se uma conexão entre objetos evita a translação relativa ou rotação que já é evitada por outra conexão opositora, então a reação da conexão mais vinculativa é sempre desprezada. Até mesmo sem vínculos rotacionais, os vínculos translacionais nas dobradiças A e B restringem a rotação da porta mostrada na Fig.21. Assim cada uma das duas dobradiças são provavelmente bem modeladas, ou seja, elas nos conduzirão a cálculos razoavelmente acurados de forças e movimentos - por juntas de bola e soquete em A e B: Em 2-D, uma junta de bola e soquete é equivalente a uma dobradiça ou junta de pino (com o eixo da dobradiça ortogonal à tela ou à pagina impressa). Fazendo o alinhamento: Se duas conexões fazem a mesma tarefa, por exemplo, as duas dobradiças de porta apresentadas na Fig.21, elas podem não fazer a tarefa exatamente da mesma forma. Assim, por exemplo, dobradiças de porta precisam ser bem alinhadas a …m de que a porta se abra de forma livre e evite que se faça grandes forças e torques em uma batalha entre as fechaduras. 1.8.3

Junta de Bola e Soquete

Algumas vezes se deseja prender dois objetos de forma a não permitir movimento translacional relativo, porém que seja livre para se fazer rotações. O aparelho que é usado para este propósito é chamado de "junta de bola e soquete"(con…ra

24

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 21: Representação do diagrama de corpo livre para uma dobradoça de porta.

25

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 22: Representação do diagrama de corpo livre para a junta de soquete e bola em 2-D e 3-D.

a Fig. 22). Ele é construído ligando-se rigidamente uma esfera (a bola) a um dos objetos e prendendo rigidamente uma cavidade esférica parcial (o soquete) ao outro objeto. A junta do quadril humano é uma junta de bola e soquete (veja Fig.23). Na extremidade superior do osso chamado "fêmur"está a cabeça femural, uma esfera perfeita dentro de uma tolerância de vários centésimos de milímetro. O osso do quadril possui uma capa esférica que de forma muito acurada se ajusta à cabeça femural. A junta do quadril humano não é muito diferente de juntas usinadas de bola e soquete. Suspensões de carros são construídas a partir de um mecanismo tipo suporte tridimensional. Algumas das partes necessitam de uma rotação relativa livre em três dimensões e assim deve-se usar uma junta chamada "junta de bola"ou "ponta de haste"que é uma junta de bola e soquete. Já que a junta de bola e soquete permite todas as rotações, nenhum torque é mostrado em um corte de junta de bola e soquete. Uma vez que a junta de bola e soquete evita translação relativa em todas as direções, a possibilidade de forças em qualquer direção é mostrada.

1.9

Barbantes, Cordas, Fios Metálicos e Correntes Leves

Uma maneira de manter uma torre de rádio para não cair é prendê-la com …os, como mostrado na Fig.24. Se o peso dos …os são pequenos e a resistência do ar é desprezível, é uma prática comum assumir que eles podem transmitir forças somente ao longo da linha que ligam suas pontas. Os torques não são mostrados porque cordas, barbantes e …os metálicos em geral são tão ‡exíveis

26

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui

Figura 23: Junta de soquete e bola.

Figura 24: Antena de rádio presa por …os de sustentação.

que os momentos de enverga são desprezíveis. Para …os metálicos, a tensão é a força puxando para fora em um corte no diagrama de corpo livre.

27

Unidade: Corpos Rígidos Unidade:Equilíbrio Colocar ode nome da unidade aqui Anotações

_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br

www.cruzeirodosul.edu.br Campus Liberdade Rua Galvão Bueno, 868 01506-000 São Paulo SP Brasil Tel: (55 11) 3385-3000

Campus Virtual Cruzeiro do Sul | www.cruzeirodovirtual.com.br

Quais as condições para que um corpo rígido esteja em equilíbrio?

Quais são as condições de equilíbrio de uma partícula?

O que é equilíbrio de um corpo rígido?

Quais forças atuam sobre um corpo rígido?