Qual a probabilidade de sair duas caras e duas coroas?

A fra��o foi constru�da para mostrar a rela��o entre a parte e o todo. A experi�ncia mais conhecida � com o n�mero fracion�rio, para resolver o problema de repartir ou dividir determinadas quantidades.

Para retomar essa importante id�ia da matem�tica, vamos imaginar o cl�ssico problema de dividirmos duas ma��s entre tr�s crian�as. Nessa situa��o, dividimos cada ma�� em tr�s partes iguais, dando um total de seis peda�os. Logo depois, dividimos esses seis peda�os em tr�s partes, tendo como resultado dois peda�os para cada crian�a. Assim, a parte para cada crian�a fica sendo de dois peda�os, em um total de seis. Ent�o, registramos que cada crian�a recebeu duas partes em seis. Numericamente, 2/6.

Esse importante conceito produziu o n�mero fracion�rio - e pode ser aplicado em outras situa��es, como � o caso da probabilidade. Conhecida como ci�ncia do acaso, o estudo da probabilidade motivou a investiga��o de v�rios problemas e experi�ncias. O jogo � uma dessas experi�ncias que causa bastante curiosidade e ajuda a entender com facilidade essa forma de investigar o mundo.

Em um �nico lan�amento de um dado podemos obter face 1, face 2, face 3, face 4, face 5 ou face 6. No entanto, s� � poss�vel obter uma dessas faces como resposta. De todas as possibilidades que o dado oferece, o n�mero de respostas para este caso ser� 1. A fra��o das respostas poss�veis em rela��o ao total de possibilidades que s�o oferecidas nessa experi�ncia ser� de 1 por 6, de 1 em 6, ou um sexto. Al�m disso, todas as faces ter�o a mesma chance, descritas pela mesma fra��o, se n�o houver nada de errado com o dado.

O conceito de fra��o � aplicado na probabilidade para indicar a rela��o entre a parte e o todo, registrando a quantidade de fatos ou eventos que s�o poss�veis de acontecer diante de um determinado conjunto de possibilidades.

Outros exemplos

Podemos fazer tamb�m o lan�amento, ao mesmo tempo, de duas moedas. Cada moeda possui duas faces, definidas como "cara" e "coroa". E como s�o duas, as respostas s�o analisadas em pares, tendo como possibilidades: (cara, cara) - (cara, coroa) - (coroa, cara) - e - (coroa, coroa).

Da forma como o problema est� estruturado, a probabilidade de dar uma cara e uma coroa � de 2/4 ou, se voc� preferir, 1/2. Essa simplifica��o retoma o conceito de fra��o equivalente e possibilita reescrever a resposta na forma de porcentagem igual a 50%.

Explorando um pouco mais esse problema, num �nico lan�amento de duas moedas, qual � a probabilidade de obtermos duas caras? A resposta ser� igual a 1/ 4 - ou 25%:

A porcentagem passa, assim, a ser um tipo de linguagem aplicada � probabilidade. � uma forma de falar ou registrar a chance de que um determinado fen�meno possa ocorrer.

Qual � a chance de obtermos tr�s coroas em um �nico lan�amento de tr�s moedas? E de duas coroas?

Conjunto de possibilidades no lan�amento de tr�s moedas:
(cara, cara, cara), (cara, cara, coroa), (cara, coroa, cara), (coroa, cara, cara), (coroa, coroa, cara), (coroa, cara, coroa), (cara, coroa, coroa), (coroa, coroa, coroa)

N�mero de possibilidades de dar tr�s coroas= 1
N�mero de possibilidades de dar duas coroas= 3
N�mero de possibilidade de dar duas caras= 3
N�mero de possibilidades de dar tr�s caras= 1

A chance de obtermos tr�s coroas � de 1/8, enquanto que, para duas coroas, � de 3/8. Percentualmente, escrevemos:

A probabilidade � uma rela��o entre a parte e o todo, concentrada no mundo das possibilidades. Representada por um n�mero fracion�rio, podendo ser transformada em porcentagem, transformou-se em uma das ferramentas mais importantes para ci�ncia no nosso s�culo, permitindo descrever numericamente o que antes era simplesmente o acaso e a incerteza.

*Antonio Rodrigues Neto, professor de matem�tica no ensino fundamental e superior, � mestre em educa��o pela USP e autor do livro "Geometria e Est�tica: experi�ncias com o jogo de xadrez" (Editora da UNESP).

Os textos publicados antes de 1� de janeiro de 2009 n�o seguem o novo Acordo Ortogr�fico da L�ngua Portuguesa. A grafia vigente at� ent�o e a da reforma ortogr�fica ser�o aceitas at� 2012

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1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.

Solução:

Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k.
A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.
Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.
Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.

2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.

Resposta: 5/6 = 83,33%

3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.

Solução:

Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos:
p(A) = p(B) = 2.p(C).

Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.
Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.

Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo).

Assim, substituindo, vem:

k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.
Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.

A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5.

4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA.

Resposta: 1/4.

5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.

Solução:

Pelo enunciado, podemos escrever:
p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5).
Seja p(2) = k. Poderemos escrever:
p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.

Então, substituindo, vem:
k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.

Assim, temos:

p(2) = p(4) = p(6) = 2/9
p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.

O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo,
p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar.

Resposta: 1/3

7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.

Solução:

Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos.
Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5.

Resposta: 1/5.

9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?

Solução:

Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:

P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15.

Comentários sobre o cálculo de Cn,p.

Como já sabemos da Análise Combinatória,

Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p.

Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p  possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator.

Exemplos:

C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.

C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.

C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560.

C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.

C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.

10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis.

Resposta: 7/15.

Dica: como nenhuma das alunas deve ter olhos azuis, restam 10 – 3 = 7 alunas. Portanto, ...

Paulo Marques, 30 de dezembro de 2000.

Qual e a probabilidade de saírem duas caras e uma coroa?

Qual a chance de sair cara ou coroa em cada lançamento?

Qual a probabilidade de uma pessoa obter exatamente duas caras?

Qual a probabilidade de ao jogar uma moeda três vezes até duas coroas?