Qualquer número é múltiplo de si mesmo

Do latim multĭplus, múltiplo é um adjetivo que se utiliza na matemática e na gramática. Na matemática, trata-se do número ou da quantidade que contém um ou outra várias vezes de maneira exata.

Um número inteiro r é múltiplo de um número inteiro s quando existe outro número natural que, multiplicado por s, nos dá como resultado r. Por exemplo: 12 é múltiplo de 3 já que 3 x 4 = 12. Concluímos portanto que se multiplicarmos 3 por 4, obteremos 12, o que significa que 12 é múltiplo de 3.

Se quisermos saber se um número é múltiplo de outro, devemos realizar uma operação de divisão entre ambos. Quando o quociente é um número inteiro (e, por conseguinte, o resto da operação é 0), estamos perante um número múltiplo do outro. No nosso exemplo anterior, 12 / 3 = 4.

Diz-se que o divisor de um número é qualquer número que, quando divido por eles mesmo, tem resto zero, como aconteceu aqui no caso do 12/3 = 4, não restando, então, números quebrados. E isso é importante para o estudo dos múltiplos.

O conjunto dos múltiplos de um número natural é infinito. Por outras palavras, existem tantos múltiplos de um número como números naturais. Os múltiplos de 3 são {3, 6, 9, 12, 15. 18, 21…}. É importante destacar que todo número natural é múltiplo de si mesmo, que 0 é múltiplo de qualquer número e que todo número natural é divisível por 1.

Se quisermos verificar se um número é múltiplo de outro basta realizar o seguinte cálculo:

– Se, por exemplo, quisermos saber se o número 125 é múltiplo de 5, caso haja um número multiplicado 5 que dê 125, então 125 será múltiplo de 5. Basta aqui que 5 seja multiplicado por 25 e teremos o número 125, assim: 5 x 25 = 125.

Caso não exista um número que dê esse resultado, então um número não será múltiplo do outro em questão. Por exemplo: “será que 132 é múltiplo de 5?”, para isso teremos que encontrar um número que seja multiplicado por 5 e resulte em 132, contudo, esse número não existe.

Logo, podemos concluir que 132 não é múltiplo de 5, pois não há um número que quando multiplicado por 5 dê 132.

Outros exemplos:

30 é múltiplo de 15, pois 15 x 2 = 30

45 é múltiplo de 5, pois 5 x 9 = 45

100 é múltiplo de 10, pois 10 x 10 = 100

No âmbito da gramática, um adjetivo ou um substantivo numeral múltiplo é aquele cujo significado se gera a partir da multiplicação de uma quantidade. Dobro, triplo, quádruplo e quíntuplo são exemplos de múltiplos: “O meu quarto tem o dobro do tamanho da tua”, “O músico foi submetido a um triplo bypass”.

Há o uso do termo “múltiplo” em “múltiplos canais de atendimento” que é quando há mais de uma forma de atendimento aos clientes numa empresa, por exemplo: “ofereceremos múltiplos canais de atendimento aos clientes a fim de que ele escolha o que lhe for mais prático e cômodo”.

Citação

Equipe editorial de Conceito.de. (14 de Janeiro de 2014). Conceito de múltiplo. Conceito.de. https://conceito.de/multiplo

M�ltiplos e divisores

Dado um certo n�mero natural, os seus m�ltiplos (no conjunto dos n�meros naturais) s�o todos os n�meros que se obt�m multiplicando esse n�mero por \(1, 2, 3, 4, 5, �\) , ou seja, por cada um dos n�meros naturais. Dizer que um n�mero � m�ltiplo de outro � equivalente a dizer que o segundo � divisor do primeiro. Com o mesmo sentido, tamb�m se diz que o primeiro � divis�vel pelo segundo.

O conjunto dos múltiplos de um número é, portanto, um conjunto infinito.

Por exemplo, os múltiplos de \(12\) obtêm-se multiplicando \(12\) por \(1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , k, ...\) (\(k\) natural qualquer).

Podemos representar o conjunto dos múltiplos de \(12\) como se segue: \[M_{12} = \{12, 24, 36, 48, 60, 72, � , 12 \times k, ... \}\;\;(k\mbox{ natural qualquer}).\]

Assim, podemos, por exemplo, afirmar que \(48\) é múltiplo de \(12\), porque há um inteiro — \(4\) — que multiplicado por \(12\) dá \(48\). A afirmação "\(48\) é múltiplo de \(12\)" equivale a \(48\) é divisível por \(12\) ou, ainda, a \(12\) é um divisor de \(48\). Os múltiplos de \(2\) são os também chamados números pares \(2, 4, 6, 8, 10, 12, ...\).

Note-se que se um número é múltiplo de outro e este último é múltiplo de um terceiro, então o primeiro também é múltiplo do terceiro. Isto equivale a dizer que se um número é divisível por outro e este último é divisível por um terceiro, então o primeiro também é divisível pelo terceiro. Esta propriedade pode também ser enunciada usando o termo "divisor" em vez de "divisível" ou "múltiplo". Tente fazê-lo.

Por exemplo, um múltiplo de um múltiplo de \(10\) também é múltiplo de \(10\). Analogamente para os múltiplos de um múltiplo de \(3\) (ou de \( 2\)). Em particular, qualquer múltiplo de um par é par: \(14\) é par (porque \(14 =7 \times 2\)), portanto \(5 \times 14\) também é par (porque é \(= 5 \times (7 \times 2) = (5 \times 7) \times 2\) ).

Repare-se que a propriedade anterior garante que se um número não é divisível por outro, então não poderá ser divisível por nenhum múltiplo deste. Por exemplo, se um número não for divisível por \(3\), então não poderá ser divisível por nenhum múltiplo de \(3\), porque, de acordo com a que acabámos de ver, se um número fosse divisível por um qualquer múltiplo de \(3\), também teria de ser divisível por \(3\).

Note-se que um número natural é divisor de outro quando e só quando o resto da divisão inteira do segundo número pelo primeiro for igual a zero. Repare-se que se isto acontecer, a divisão inteira do segundo número pelo quociente que se obtém na divisão anterior tem necessariamente resto igual a zero e portanto esse quociente também é divisor do número. Por exemplo, \(5\) é divisor de \(40\) porque \(40:5=8\) (resto \(0\)), o que significa que \(40=5 \times 8\) e, portanto, \(8\) é também divisor de \(40\), tendo-se \(40:8=5\) (resto \(0\)).

Ao contrário do conjunto dos múltiplos, o conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, pois nenhum divisor pode exceder o número.

É importante notar que o \(1\) é divisor de todos os números, pois qualquer número dividido por \(1\) dá o próprio número (e resto zero). Pelo mesmo motivo, qualquer número é divisor de si próprio.

Vejamos, a partir de exemplos, como determinar o conjunto dos divisores de um número natural.

Qual número é múltiplo de si mesmo?

Quem é múltiplo de qualquer número?

É verdade que o número 1 é múltiplo de todos os números?

O que quer dizer quando um número é múltiplo de outro?