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24. Quantos graus percorrem o ponteiro dos minutos de um relogio e= 2 44 a 90 ° bj 120 ° c 124 ° d 135 ° 6
Question
Gauthmathier0229
Grade 12 · 2021-10-16
YES! We solved the question!
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24.
Quantos graus percorrem o ponteiro dos minutos de um relogio e
24. Quantos graus percorrem o ponteiro dos minutos - Gauthmath 44
a)
90^{\circ } bj
120^{\circ }
c)
124^{\circ }
d)
135^{\circ } 6
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Um rel�gio marca 5 horas; determine a hora na qual se dar� a primeira superposi��o dos ponteiros das horas e dos minutos. Expresse a resposta em horas, minutos e segundos.Solu��o:
Considere a figura a seguir:
1) o intervalo entre cada marca��o num rel�gio corresponde a 30� . Isto � verdadeiro pois a circunfer�ncia completa representa 360� e existem 12 intervalos iguais (1 a 12).
Logo, 360� /12 = 30� .
2) o ponteiro das horas percorre 30� em 60 minutos.
3) o ponteiro dos minutos percorre 30� em 5 minutos.
Nota: o ponteiro dos minutos � ent�o, 12 vezes mais r�pido que o ponteiro das horas!
� claro que exatamente �s 5 horas, o ponteiro dos minutos (M)
vai estar na posi��o 12 e o ponteiro das horas (H) na posi��o 5, conforme indicado na figura acima. A partir deste momento (exatamente 5 horas), os ponteiros v�o avan�ar, de forma que em algum instante os mesmos estar�o superpostos, ou seja, ocupar�o a mesma posi��o.
Exatamente neste momento, o ponteiro das horas (H) ter� avan�ado um �ngulo
Podemos montar as seguintes regras de tr�s:
a) ponteiro das horas
30� ............................ 60 minutos
q ............................... Dt minutosDa�, vem que: 30 .
Dt = 60 . qDividindo ambos os membros por 30, fica: Dt = 2q .
Nota:
q = letra teta (min�scula) do alfabeto grego;D = letra delta (mai�scula) do alfabeto grego; Dt = (delta t) - intervalo de tempo.
b) ponteiro dos minutos
30� ....................... 5 minutos
q + 150� ............... Dt minutosDa�, vem que: 30 .
Dt = 5 (q + 150�)Dividindo ambos os membros por 5, fica: 6 Dt = q + 150
Temos ent�o um sistema de equa��es do primeiro grau com duas inc�gnitas, ou seja:
6
Dt = 2q
onde as inc�gnitas s�o Dt e q .
Para resolver o problema proposto basta calcular
Ora, substituindo o valor de
Dt = 2q na primeira equa��o, vem:6 . 2q = q + 150
12q = q + 150
12q - q = 150
11q = 150
q = 150 / 11 graus
Como Dt = 2q , vem imediatamente: Dt = 2 . (150 / 11) = (300 / 11) minutos.
Efetuando a divis�o de 300 por 11, encontraremos 27,27 27 27 27... minutos.
Portanto, o
encontro dos ponteiros se dar� �s 5h + 27,27 27 27... minutos.
Vamos expressar o resultado acima em horas, minutos e segundos? Vamos.
Observe que 5h 27,27 27 27 27... min = 5h + 27,27 27 27 27 27... min
5h + 27,27 27 27 27 27 ... = 5h + 27 min + 0,27 27 27 27 27... min
Ocorre que 0,27 27 27 27 27 ... � uma d�zima peri�dica simples. Vamos transform�-la numa fra��o ordin�ria.
Seja x = 0,27 27 27 27 27 ...
Multiplicando ambos os membros por 100, vem:
100x = 27,27
27 27 27 ...
100x = 27 + 0,27 27 27 27 27 ...
Mas, como 0,27 27 27 27 27 ... = x, vem, substituindo:
100x = 27 + x
100x � x = 27
99x = 27
x = 27 / 99 = 3 / 11 minutos
Logo, a resposta pode ser melhorada para: 5h 27 min + 3 / 11 min
Vamos transformar 3 / 11 min em segundos?
Como 1 min = 60 segundos (60 s), vem:
3 / 11 min = (3 / 11) . 60 s = (180 / 11) s = 16,36 36 36 36 ... s
Novamente ca�mos numa d�zima peri�dica simples. Vamos transform�-la
numa fra��o ordin�ria.
Nota: o problema, na sua ess�ncia, j� est� resolvido h� muito tempo. Estamos apenas adequando a resposta ao que foi solicitado no enunciado, ou seja, expressar a resposta em horas, minutos e segundos.
Teremos ent�o:
16,36 36 36 36 ... s = 16 s + 0,36 36 36 36 ... s
Fazendo a d�zima peri�dica 0, 36 36 36 ... igual a y, vem:
y = 0, 36 36 36 36 ...
Multiplicando ambos os membros por 100, fica:
100y = 36, 36 36 36 36 ...
100y = 36 +
0,36 36 36 36 ...
Mas, 0,36 36 36 36 ... = y
Substituindo, teremos:
100y = 36 + y
99y = 36
y = 36 / 99 = 12 / 33 = 4 / 11
Portanto, a resposta do problema ser�:
Os ponteiros ficar�o superpostos �s 5h 27 min 16,36 36 36 ... s, ou, mais precisamente:
5 horas 27 minutos 16 4/11 segundos
Claro que o resultado poderia ser aproximado para 5h 27 min 16,4 s, mas o hor�rio exato �:
5 horas 27 minutos 16 4/11
segundos = 5:27: 6 4/11 h .
Determine o intervalo de tempo entre duas superposi��es consecutivas dos ponteiros das horas e dos minutos de um rel�gio.
Coment�rio: Este problema pode parecer mais dif�cil do que o resolvido acima.
Mera ilus�o. Basta voc� partir do hor�rio 12 h (no qual os ponteiros das horas e dos minutos ficam coincidentes) e a partir da�, considerar que os ponteiros voltar�o a coincidir ap�s as 13h, ou seja, quando os ponteiros estiverem entre as marca��es 1 e 2 do rel�gio. Fa�a um desenho, siga a metodologia aplicada no problema acima e conclua inevitavelmente que a resposta procurada �:1hora 5 minutos 27 3/11segundos = 1: 05 : 27 3/11 h .
Recomendo enfaticamente que voc� fa�a o desenho do rel�gio para ajudar a visualiza��o e solu��o do problema.
Paulo Marques, 17 de maio de 2003, Feira de Santana – Bahia.