Quantos quadrados tem na figura 6x6?

Elizabeth Belfort
Instituto de Matemática − UFRJ 37

Quantos quadrados há em um tabuleiro de xadrez? Você muito provavelmente vai ouvir 64 quadrados como resposta. Mas você já pensou sobre essa afirmativa? É claro que, do ponto de vista de quem está jogando xadrez nesse tabuleiro, os 64 quadrados correspondem às 64 casas que podem ser ocupadas pelas peças do jogo, e são os que interessam.

Quantos são eles? É o que pretendemos investigar neste artigo. Mas não vamos nos restringir a tabuleiros "convencionais" de xadrez, com o lado medindo oito unidades. Vamos buscar uma solução para contar o número total de quadrados em um tabuleiro "generalizado", ou seja, com o lado de medida n, sendo n um número natural e n ≠ 0.

Mais do que apenas encontrar uma resposta, neste artigo o que se busca é ilustrar diversas explorações matemáticas que podem ser feitas enquanto procuramos uma solução para esse problema e levar o professor a refletir sobre a possibilidade de discutir argumentos como esses com seus alunos no ensino médio. É a diversidade de argumentos possíveis de serem aplicados que torna esse problema interessante.

Sugerimos que você acompanhe a leitura deste trabalho com uma folha de papel quadriculado ao seu lado, pois algumas tarefas (espera-se que agradáveis) serão deixadas para os leitores.

A formulação do problema

Assim, o enunciado do nosso problema deve ser modificado: Considere os quadrados com vértices coincidentes com os dos quadrados unitários de uma malha quadriculada e lados paralelos aos lados dos quadrados da malha. Quantos desses quadrados encontramos em um tabuleiro generalizado de xadrez, de tamanho n × n?

Para enfrentar um problema como esse, uma boa estratégia é iniciar a procura de soluções em casos simples (no problema proposto, isso se traduz em procurar a solução para tabuleiros "pequenos"). Essa investigação pode nos levar a perceber regularidades que nos permitam resolver o problema no caso geral.

O caso n = 3

Vamos analisar o que acontece quando n = 3. No tabuleiro de tamanho 3 × 3, contaremos os "totais parciais", isto é, quantos quadrados de lados 1, 2 e 3, respectivamente, podemos encontrar. Duas dessas contagens são muito simples de serem feitas (não só para o caso n = 3, mas para qualquer valor de n): existem exatamente n2 quadrados de lado unitário (na figura representamos apenas um deles), e existe apenas um quadrado de lado n.

O problema se reduz a encontrar quantos quadrados de lado 2 estão "disfarçados" no interior do tabuleiro. A figura acima ilustra a solução: existem 4 quadrados de lado 2 no quadriculado de um tabuleiro de tamanho 3 × 3. Assim, encontramos um total de 14 quadrados nas condições estabelecidas. Esse total foi obtido pela soma dos "totais parciais": 1+ 4 + 9 (uma soma de parcelas fortemente relacionadas com os números 1, 2 e 3).

Primeiro passo: procurando por uma conjectura

Vamos agora sistematizar um pouco mais nosso trabalho, procurando descobrir quantos quadrados há em um tabuleiro generalizado. Neste primeiro momento, estamos apenas tentando verificar se encontramos qualquer tipo de regularidade quando contamos o número de quadrados. Ou seja, procuramos por uma conjectura. Para isso, podemos investigar livremente, usando diversos exemplos numéricos. Só após observar alguma espécie de regularidade, vamos nos preocupar em encontrar argumentos que nos convençam de que essa ocorre para quadrados de qualquer valor de lado, mesmo que não possamos construí-los.

Já vimos o que acontece quando n = 3. Propomos agora sua primeira tarefa: resolva o problema num tabuleiro n × n para n = 1, 2 e 4.

Após resolver a tarefa, você tem em suas mãos o "mapa" da página seguinte, que pode ajudá-lo a conjecturar uma solução para o problema: Observando a regularidade dos resultados, tudo indica que temos que somar os quadrados dos números entre 1 e n para encontrar o total de quadrados. n = 3 medida do lado número total de quadrados.

Mas como podemos ter certeza de que essa ideia se generaliza? Quem garante, por exemplo, que no interior de um quadrado de lado 857 existem exatamente 9 quadrados de lado 855? Como você vê, ainda precisamos trabalhar bastante...

Se desejamos entender o porquê do problema poder ser resolvido dessa forma, precisamos encontrar um meio de justificar nossas suspeitas de que os "totais parciais" são sempre quadrados de números naturais. (Para isso, vamos precisar também encontrar uma forma generalizada de nos referir aos valores que desejamos calcular, ou seja: precisaremos encontrar uma forma algébrica para expressar o número de quadrados de tamanho k × k em um tabuleiro de tamanho n × n.)

Justificando geometricamente os resultados parciais

Para que o resultado final seja a soma de todos os quadrados dos números de 1 até n, é necessário que cada resultado parcial (ou seja, quantos quadrados de lado k existem em um quadrado de lado n) seja um quadrado perfeito. Se pudermos justificar os resultados parciais, teremos feito a parte mais difícil no caminho para justificar o resultado final. Vamos usar argumentos geométricos nessa justificativa.

Antes de iniciar uma argumentação mais geral, vamos resolver o problema de encontrar um resultado parcial em um exemplo numérico. Não vamos fazer isso por simples contagem direta, mas sim de forma a que a solução possa nos ajudar a encontrar uma forma geral de contar quantos quadrados de lado k existem em um tabuleiro n × n.

Vamos considerar como exemplo n = 5 e k = 3. Para cada quadrado 3 × 3, vamos considerar o problema de encontrar quais as posições no quadrado 5 × 5 que podem ser ocupadas por um de seus vértices. Para fixar ideias, vamos pensar no vértice superior esquerdo (VSE).

Observe que, como estamos usando o quadriculado do próprio tabuleiro de lado n, apenas os (n + 1)2 pontos marcados na figura (a) poderiam ser usados para vértices de algum quadrado.

Voltemos ao nosso exemplo numérico: embora os pontos marcados na figura (a) possam ser vértices de algum quadrado, alguns deles não podem ser os VSE de quadrados de lado 3, pois parte da figura (ou mesmo ela toda) ficaria fora do tabuleiro, como ilustrado na figura (b). Logo, nos restam apenas os pontos assinalados na figura (c) para serem usados como VSE de quadrados de lado 3 contidos no tabuleiro 5 × 5.

É claro que cada um dos pontos assinalados na figura (c) pode ser usado como VSE de apenas um quadrado de lado 3, e que cada um dos quadrados de lado 3 possíveis tem o seu VSE em um só desses pontos (acabamos de estabelecer uma correspondência biunívoca − a estratégia fundamental de contagem − entre o número de quadrados e o número de pontos que podem ser usados como VSE). Assim, basta contar os pontos em (c) e teremos o número de quadrados: temos exatamente 9 quadrados de lado 3 em um tabuleiro 5 × 5.

Agora pense o que aconteceria se os quadrados tivessem lado 4. Você obteria mais ou menos pontos que pudessem ser usados como VSE? Quais seriam eles? E se os quadrados tivessem lado 2? Faça as figuras no seu papel quadriculado.

Observe que quanto menor for o lado do quadrado, um maior número deles pode ser encontrado inteiramente contido no tabuleiro.

Observe o lado superior de um dos quadrados que você desenhou. Nele encontramos (n + 1) vértices possíveis. Quando retiramos desse total os k vértices mais à direita, obtemos todos os (n + 1 − k) pontos que podem ser usados com VSE posicionados sobre esse lado de quadrados de lado k.

Dependendo do tamanho k, podemos repetir o processo para a linha imediatamente inferior do quadriculado, e assim por diante, exatamente por (n + 1 − k) linhas (por quê?), cada uma delas com (n + 1 − k) pontos que podem ser usados com VSE.

Usando a correspondência biunívoca que estabelecemos, podemos dizer que existem exatamente (n + 1 − k)2 quadrados de lado k em um tabuleiro de lado n, obedecida a restrição k < n. Esse resultado foi justificado geometricamente e esperamos que você esteja convencido da validade da fórmula que acabamos de obter.

Podemos agora obter o total de quadrados em um tabuleiro de dimensões n × n. Somamos todos os valores obtidos, quando k varia de 1 até n. A tabela abaixo apresenta esses valores, e justifica a resposta que já tínhamos intuído para o problema no início da investigação.

Temos agora um novo problema: como fazer o cálculo dessa soma e obter nossa resposta final? Uma possível solução seria utilizar uma planilha eletrônica para o cálculo da soma desses quadrados. Outra seria valer-se de outros artigos publicados na RPM que enfocam esse tema e estabelecem a seguinte igualdade:

Provas de cunho geométrico dessa fórmula encontram-se, por exemplo, no artigo Usando Geometria para somar (RPM 39). No artigo Como calcular 1p + 2p + 3p + ... + n p (RPM 7), a demonstração desse resultado é feita algebricamente.

Quantos quadrados existem em um tabuleiro 6x6?

Como resolver quadrado mágico 6x6?

Quantos quadrados tem na figura 8x8?

Como saber quantos quadrados?