Com base nas respostas aos itens aeb responda ao primeiro item da atividade

f(x) = x² – 2

a)
f(–1) = (–1)² – 2
f(–1) = 1 – 2
f(–1) = –1

b)
f(1) = 1² – 2
f(1) = 1 – 2
f(1) = – 1

c)
f(0) = 0² – 2
f(0) = – 2
 

f(x) = ax + b

f(2) = 2a + b
2a + b = 0

f(0) = 0 * a + b
b = –4

Sistema de equações:

2a + b = 0
2a – 4 = 0
2a = 4
a = 2
Os valores de a e b são 2 e –4 respectivamente, formando a função f(x) = 2x – 4.

f(x) = x² – 4x + 6
f(x) = 3
x² – 4x + 6 = 3
x² – 4x + 6 – 3 = 0
x² – 4x + 3 = 0

∆ = b² – 4ac
∆ = (–4)² – 4 * 1 * 3
∆ = 16 – 12
∆ = 4 

Os valores de x são: x = 1 ou x = 3.

f(x) = 3x² – 4x + 7

f(1) + f(–1) = 2 * f(0)

f(1) = 3 * 1² – 4 * 1 + 7
f(1) = 3 – 4 + 7
f(1) = 6

f(–1) = 3 * (–1)² – 4 * (–1) + 7
f(–1) = 3 + 4 + 7
f(–1) = 14

2 * f(0) = 2 * [3 * (0)² – 4 * 0 + 7]
2 * f(0) = 2 * [ 7 ]
2 * f(0) = 14

f(1) + f(–1) = 2 * f(0)
6 + 14 = 14
20 = 14 (impossível)
A expressão f(1) + f(–1) = 2 * f(0) não é válida para a função f(x) = 3x² – 4x + 7.
 

a)

f(x) = 2x – 3
f(–1) = 2 * (–1) – 3
f(–1) = –2 –3
f(–1) = –5

b)

f(x + 1) = 2x – 3
f(x + 1) = 2 * (x + 1) – 3
f(x + 1) = 2x + 2 – 3
f(x + 1) = 2x – 1

c)

g(x) = 4 – x
g(4) = 4 – 4
g(4) = 0

d)

g(x) = 4 – x
g(x – 2) = 4 – (x – 2)
g(x – 2) = 4 – x + 2
g(x – 2) = 6 – x
 

A)

f(x – 1) = 2x + 3, para f(1)

x – 1 = 1
x = 1 + 1
x = 2

f(2 – 1) = 2 * 2 + 3
f(1) = 4 + 3
f(1) = 7

B)

f(x – 1) = 2x + 3, para f(3)

x – 1 = 3
x = 3 + 1
x = 4

f(4 – 1) = 2 * 4 + 3
f(3) = 8 + 3
f(3) = 11
 

f(x) = 54x + 45

f(2541) – f(2540) = (54 * 2541 + 45) – (54 * 2540 + 45)
f(2541) – f(2540) = 137 214 + 45 – (137 160 + 45)
f(2541) – f(2540) = 137259 – 137205
f(2541) – f(2540) = 54

Resposta: item b.

f(–1) = 3
f(–1) = (–1) * a + b
–a + b = 3

f(1) = –1
f(1) = 1 * a + b
a + b = – 1

Sistema de equações

Isolando b na 1ª equação:

–a + b = 3
b = 3 + a

Substituindo b na 2ª equação:

a + b = – 1
a + 3 + a = – 1
2a = – 1 – 3
2a = – 4
a = –4/2
a = –2

Calculando b
b = 3 + a
b = 3 – 2
b = 1

Determinando a função de acordo com f(x) = ax + b → f(x) = –2x + 1.

Calculando f(3)

f(x) = –2x + 1
f(3) = –2 * (3) + 1
f(3) = – 6 + 1
f(3) = – 5

O valor de f(3) na equação é igual a –5.

Resposta: item e.
 

O conhecimento acerca dos conjuntos numéricos é algo básico para que se possa avançar nos estudos matemáticos, por isso exercícios sobre o tema são essenciais.

Publicado por: Raul Rodrigues de Oliveira em Exercícios de Matemática

Questão 1

(UFBA) 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e, desses 5, 3 visitaram também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:

A) 29.

B) 24.

C) 11.

D) 8.

E) 5.

Questão 2

(UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

A) venceu A, com 120 votos.

B) venceu A, com 140 votos.

C) A e B empataram em primeiro lugar.

D) venceu B, com 140 votos.

E) venceu B, com 180 votos.

Questão 3

(Enem - 2004) Um fabricante de cosméticos decide produzir três diferentes catálogos de seus produtos, visando a públicos distintos. Como alguns produtos estarão presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas. Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica que C1 e C2 terão 10 páginas em comum; C1 e C3 terão 6 páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum, das quais 4 também estarão em C1. Efetuando os cálculos correspondentes, o fabricante conclui que, para a montagem dos três catálogos, necessitará de um total de originais de impressão igual a:

A) 135.

B) 126.

C) 118.

D) 114.

E) 110.

Questão 4

Dado o conjunto A = {1,2,5, 10, 15, 28}, o número de subconjuntos possíveis para esse conjunto é:

A) 2.

B) 8.

C) 16.

D) 32.

E) 64.

Questão 5

Dado o conjunto U = números naturais de 0 até 20. Sabendo que B = números múltiplos de 3, podemos afirmar que o conjunto Bc (complementar de B) é igual ao conjunto:

A) {3,6,9,12,15,18}

B) {1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20}

C) {0,2,4,6,12,15}

D) {1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

E) {3}

Questão 6

Sobre os conjuntos numéricos, marque a alternativa incorreta.

A) Todo número natural é também um número racional.

B) Um número racional não pode ser irracional.

C) Todo número negativo é um número inteiro.

D) O conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais e irracionais.

E) As dízimas periódicas são consideradas números racionais, portanto são também números reais.

Questão 7

Em uma escola, 300 alunos foram entrevistados sobre as práticas esportivas. Os estudantes foram questionados sobre a prática de exercícios fora da escola. Com esse questionário, foi possível dividir os estudantes em grupos:

• 110 alunos afirmaram que fazem musculação fora da escola;
• 140 alunos afirmaram que jogam futebol fora da escola; e
• 80 estudantes afirmaram que praticam outros tipos de atividade física, como corrida e natação.

Sabendo que 40 alunos praticam futebol e musculação, 33 praticam futebol e outra atividade física,  24 praticam musculação e outra atividade física e que 8 estudantes praticam os três, o número de estudantes sedentários, ou seja, que não praticam nenhuma das três modalidades, é:

A) 35.

B) 42.

C) 59.

D) 74.

E) 95.

Questão 8

Seja A = {2,5}, B = {2,5,6} e C = {6,10}, determine os elementos da operação (A U B) ∩ (B U C).

A) {2,5,6}

B) {2,5}

C) {6,10}

D) {2,5,6,10}

E) {2,10}

Questão 9

Sobre os conjuntos numéricos, julgue as afirmativas a seguir.

I – A diferença entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos números racionais é igual ao conjunto dos números irracionais.

II – Zero pertence ao conjunto dos números irracionais.

III – O resultado de | -7,5 | é um número natural.

Marque a alternativa correta.

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Questão 10

A quantidade de subconjuntos do conjunto (A – B) U C, em que A = {2,4,6,8,10,12,14} B = {3,6,8,12} e C = {0,4,7}, é:

A) 22

B) 23

C) 24

D) 25

E) 26

Questão 11

(IFPE 2016) Em uma cooperativa de agricultores do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma consulta em relação ao cultivo de cana-de-açúcar e do algodão. Constatou-se que 125 associados cultivavam a cana-de-açúcar, 85 cultivavam o algodão e 45 cultivavam ambos. Sabendo que todos os cooperativados cultivavam pelo menos uma dessas duas culturas. Qual é o número de agricultores da cooperativa?

A) 210

B) 255

C) 165

D) 125

E) 45

Questão 12

Sobre os conjuntos numéricos, podemos afirmar que:

I – a soma de dois números racionais é sempre um número racional.

II – a divisão de dois números naturais é sempre um número natural.

III – a diferença entre dois números inteiros é sempre um número inteiro.

IV – o produto entre dois números reais é sempre igual a um número real.

Julgando as afirmativas, temos que:

A) somente a afirmativa I é falsa.

B) somente a afirmativa II é falsa.

C) somente a afirmativa III é falsa.

D) somente a afirmativa IV é falsa

E) todas as afirmativas são verdadeiras.

Respostas

Resposta Questão 1

Alternativa A.

Analisando as quantidades dadas, queremos saber quantos visitaram Manaus ou São Paulo. Para isso, sabemos que 16 visitaram Manaus e 16 visitaram São Paulo, somando 32; porém, estamos contando duas vezes os estudantes que visitaram as duas cidades ao mesmo tempo, que nesse caso é igual a 3.

Fazendo 32 – 3, encontramos o total de estudantes que visitaram uma cidade ou a outra, 32 – 3 = 29.

Resposta Questão 2

Alternativa E.

Analisando o total de votos, temos que:

A = 100 + 20 = 120 votos

B = 100 + 90 = 180 votos

C = 80 + 20 = 100 votos

Logo, o vencedor é o candidato B, com 180 votos.

Resposta Questão 3

Alternativa C

Temos que:

C1  → 50 páginas

C2 → 45 páginas

C3 → 40 páginas

Além disso, há as intersecções, ou seja, páginas em comum:

C1 e C2 → 10 páginas

C1 e C3 → 6 páginas

C2 e C3 → 5 páginas

C1, C2 e  C3 → 4 páginas.

Para realizar a contagem, temos:

• 4 páginas que pertencem a C1, C2  e C3;

• 5 – 4 = 1 → 1 página que pertence somente a C2 e C3;

• 6 – 4 = 2 → 2 páginas que pertencem somente a C1 e C3;

• 10 – 4 = 6 → 6 páginas que pertencem somente a C1 e C2.

→ C1  → 50 – 4 – 2 – 6 = 38  → 38 páginas que pertencem somente a C1.

→ C2 → 45 – 4 – 1 – 6 = 34 → 34 páginas que pertencem somente a C2.

→ C3 → 40 – 4 – 1– 2 = 33 → 33 páginas que pertencem somente a C3.

Realizando a soma, temos que:

33 + 34 + 38 + 6 + 2 + 1 + 4 = 118

Resposta Questão 4

Alternativa D.

Para calcular o número de subconjuntos que um conjunto possui, basta calcular 2n, em que n é o número de elementos do conjunto. Nesse caso, o conjunto possui 5 elementos, então temos que:

25  = 32.

Resposta Questão 5

Alternativa B.

O conjunto complementar são todos os elementos que estão em U e não estão em B. Primeiro vamos listar os elementos de U e de B.

U = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

B ={0,3,6,9,12,15,18}

Então, o complementar de B em relação a U é igual ao conjunto:

Bc = {1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20}

Resposta Questão 6

Alternativa C.

Estamos procurando a alternativa incorreta.

a) Correta, pois o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números racionais.

b) Correta, um número racional não pode ser irracional, pois a intersecção entre esses conjuntos é vazia.

c) Incorreta, pois, por mais que o conjunto dos números inteiros seja o acréscimo dos números negativos, vale ressaltar que números decimais negativos não são inteiros, como – 2,5, ou até mesmo números irracionais, como o  - π.

d) Correta, pois essa é a definição dos números reais.

e) Correta, pois as dízimas periódicas podem ser representadas por frações, logo são racionais, e todo número racional é também um número real.

Resposta Questão 7

Alternativa C.

Sabemos que há um total de 300 alunos e temos os seguintes dados:

• Musculação → 110 alunos;
• Futebol → 140 alunos;
• Outros → 80 alunos;

Porém, há intersecções, ou seja, alunos que pertencem a dois conjuntos ao mesmo tempo.

• Musculação e futebol → 40 alunos
• Futebol e outros → 33 alunos
• Musculação e outros → 24 alunos
• Musculação, futebol e outros → 8 alunos

Agora vamos subtrair 8 dos alunos que praticam musculação e futebol, futebol e outros, musculação e outros.

• 40 – 8 = 32 alunos praticam somente musculação e futebol.
• 33 – 8 = 25 alunos praticam somente futebol e outros.
• 24 – 8 = 16 alunos praticam somente musculação e outra atividade física.

Agora vamos calcular a quantidade de estudantes que praticam só uma modalidade, subtraindo do total as intersecções.

• Musculação → 110 – 32 – 16 – 8 = 54
• Futebol → 140 – 25 – 32 – 8 = 75
• Outros → 80 – 25 – 16 – 8 = 31

Realizando a soma, temos que:

54 + 75 + 31 + 25 + 8 + 32 + 16 + 31 = 241

Como há um total de 300 alunos, então temos que:

 300 – 241 = 59

Logo, 59 alunos não praticam nenhuma das modalidades.

Resposta Questão 8

Alternativa A.

Primeiro vamos calcular as uniões:

A U B = {2,5,6}

B U C = {2,5,6,10}

Então:

(A U B) ∩ (B U C) = {2,5,6}

Resposta Questão 9

Alternativa A.

I → verdadeira, pois, se tirarmos os números racionais do conjunto dos números reais, restará somente o conjunto dos números irracionais.

II → falsa, 0 é um número racional, portanto não é irracional.

III → |-7,5| = 7,5, que é um número racional.

Resposta Questão 10

Alternativa E.

Primeiro vamos listar os termos de A – B:

A – B = {2,4,10,14}

Agora faremos (A – B) U C  = {2,4,7,9,10,14}.

Como esse conjunto possui 6 elementos, então o número de subconjuntos possíveis é 26.

Resposta Questão 11

Alternativa C.

Para calcular o total, faremos:

n(A) + n(B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

n(A) + n(B) = 125 + 85 – 45 = 165

Resposta Questão 12

Alternativa B.

A) Verdadeira, pois, dados dois números racionais, a soma também será um número racional.

B) Falsa, pois a divisão de dois naturais pode gerar um número racional, por exemplo 7: 2 = 3,5.

C) Verdadeira, pois a diferença de dois inteiros sempre será um número inteiro.

D) Verdadeira, pois a multiplicação de dois números reais será um número real.