Como calcular a intensidade da força gravitacional entre dois corpos?

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, p. 28 ex. 4

Duas esferas uniforme, cada uma com massa M e raio R, estão em contato. Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre elas?

Passo 1

Aprendemos a concentrar toda a massa de esferas em seus centros, portanto, o problema se transformaria em duas cargas pontuais de massa M , e com uma distância 2 R uma da outra.

Aplicando a fórmula da força gravitacional, temos:

F = G M 2 2 R 2 → F = G M 2 4 R 2

Resposta

Exercício Resolvido #2

UFRJ-PF-2015.1-ME7

Duas partículas, cada uma de massa m, separadas por uma distância d interagem com força gravitacional de módulo F. Duas outras partículas, cada uma de massa 2 m, separadas por uma distância 2 d interagem com força gravitacional de módulo

(a)   F

(b) F / 4

(c) F / 2

(d) 2 F

(e) 4 F

Passo 1

A fórmula geral da força gravitacional entre 2 partículas de massa M e m que são separadas por uma distância R é:

F g r a v = G M m R 2 ,

onde G é a constante gravitacional.

Passo 2

Então, já que as duas primeiras partículas têm massa m e são separadas por uma distância d , o módulo da força gravitacional F entre elas é:

F = G m 2 d 2

Passo 3

Sendo F ' o módulo da força gravitacional entre as partículas de massa 2 m separadas por uma distância 2 d , temos: F ' = G 2 m 2 2 d 2 = 4 G m 2 4 d 2 = G m 2 d 2 = F

É o mesmo que pras outras partículas!

Resposta

Exercício Resolvido #3

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 1, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 393 – Pare e Pense 13.3

Um planeta tem massa quatro vezes maior do que a da Terra, mas a aceleração da gravidade em sua superfície é a mesma que na superfície da Terra. O raio do planeta é:

1. 4 R T
2. 2 R T
3. R T
4. 1 2 R T
5. 1 4 R T

Passo 1

Podemos assumir direto a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, mas se ainda não está decorado, vamos deduzi-la de acordo com a fórmula da gravidade (esta é a mais importante!).

F T = m g

F g = G M m R 2

F T = F g

m g = G M m R 2

g = G M R 2

Passo 2

Tendo, agora, a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, basta aplicarmos os valores dados no enunciado.

Para a Terra:

g = G M T R T 2

Para o planeta:

g = G 4 M T R 2

Igualando as fórmulas, visto que a gravidade é a mesma, temos:

G M T R T 2 = G 4 M T R 2

R 2 = 4 R T 2

R = 2 R T

Resposta

Exercício Resolvido #4

Lista 11, questão 2 – Gravitação, Universidade Federal Fluminense, 2014

Sabendo que a aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 9,8 m / s 2 , desprezando o efeito da latitude, qual deve ser a altura acima da superfície terrestre na qual a aceleração da gravidade é igual a 9,00 m / s 2 ?

Passo 1

Normalmente o enunciado diz o valor da massa e do raio da Terra, e o valor da constante gravitacional. Pois bem, assumiremos os valores:

G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

M = 5,98 ∙ 10 24 k g

R = 6,37 ∙ 10 6 m

g = G M R 2 = 9,8   m / s 2

Quando estamos a uma distância h  da superfície da terra a aceleração da gravidade será g ' = 9,00 m / s 2 .

Com isto, para achar a distância acima da superfície da Terra basta assumirmos um crescimento do raio:

g ' = G M ( R + h ) 2

Passo 2

Agora, vamos fazer as contas!

Botando o R em evidencia no denominador, temos:

g ' = G M R 1 + h R 2 ⇒

g ' = G M R 2 1 + h R 2

Mas sabemos que G M / R 2 = g, é a gravidade no superfície da Terra, então

g ' = g 1 + h R 2

Agora temos que isolar h. Pra isso vamos primeiro multiplicar cruzado

g ' 1 + h R 2 = g

1 + h R 2 = g g '

Aí vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados

1 + h R = g g ' → h R = g g ' - 1

h = R g g ' - 1

Substituindo os valores, vamos ter o seguinte

h = 6,37 ∙ 10 6 9,8 9,00 - 1 = 6,37 ∙ 10 6 1,0435 - 1

h = 6,37 ∙ 10 6 ∙ 0,04 35

h = 277   084   m

h ≈ 277   K m

Show de bolinhas! :D

Resposta

Exercício Resolvido #5

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 397 ex. 7

Na superfície da Lua, a aceleração da gravidade vale a. A uma distância do centro da Lua igual a quatro vezes o raio da Lua, a aceleração da gravidade vale:

1. 16 a
2. a / 4
3. a / 3
4. a / 16
5. Nenhuma dessas respostas

Passo 1

Sabemos que a fórmula que temos que usar para encontrar a aceleração da gravidade é:

g = G M R 2

Portanto, pelo enunciado, temos:

a = G M R l 2  

E para encontrar o que queremos, temos que usar que:

r = 4 R l

E então:

a ' = G M 4 R l 2

Simplificando:

a ' = a 16

Resposta

Exercício Resolvido #6

Elaboração própria

Você foi contratado por uma agência espacial para estudar sobre um novo planeta recém descoberto, e sua primeira função é calcular a gravidade na superfície do planeta. Já é conhecida sua massa de 8,3 ∙ 10 24 k g e seu raio de 7,28 ∙ 10 6 m. De acordo com seus cálculos, qual é o valor da gravidade em questão?

Dado: G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

Passo 1

O primeiro passo é ficar muito feliz! Ser contratado para trabalhar numa agência espacial é de um reconhecimento ímpar! E uma conta bancária par, né rs.

Passo 2

Vamos lá, já nos foi dado a massa, o raio e a constante gravitacional. Podemos aplicar diretamente na fórmula da gravidade na superfície de um planeta qualquer, mas vamos deduzí-la mais uma vez para você nunca mais esquecer.

Para dar uma lembrada, primeiro usamos a força convencional de atração de um corpo, a força peso.

F p l a n e t a = m g

Em seguida, usamos a força gravitacional de atração de um corpo.

F g r a v i t a c i o n a l = G M m R 2

E como elas são a mesma força calculada de forma diferente, basta igualá-las.

m g = G M m R 2

g = G M R 2

Passo 3

Pronto, agora podemos substituir os valores dados na questão:

g = 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 8,3 ∙ 10 24 7,28 ∙ 10 6 2

g = 10 m / s 2

Resposta

Exercício Resolvido #7

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 63

Uma partícula pontual de massa m está sobre o eixo x em x = L e uma partícula idêntica está sobre o eixo y em y = L. (a) Qual é a orientação do campo gravitacional da origem? (b) Qual é a magnitude deste campo?

Passo 1

A gente precisa calcular o campo gravitacional aqui, já que o problema nos pede a orientação e a magnitude dele em relação a origem O, na nossa língua quer dizer que ele quer o valor do campo e pra onde ele aponta. Temos duas partículas idênticas que tem a mesma distância da origem.

Vamos desenhar o problema:

Repara que a gravidade pra cada uma das partículas aponta pra um sentido diferente. O campo gravitacional depende da massa e também da distância L quanto mais distante menor é a influencia do campo e nesse caso todas as componentes são iguais pra cada partícula. Vetorialmente falando a fórmula que descreve o campo gravitacional é essa aqui:

g → = G m L 2   i ^ + G m L 2   j ^   N / k g

Passo 2

Quando ele fala em orientação a gente pode pensar em duas coisas, na orientação vetorial ou no ângulo da resultante desse campo. A gente viu como funciona na fórmula e só vamos precisar ali mudar o sentido, que é negativo.

g → = G m L 2 - i ^ + G m L 2 ( -   j ^   ) N / k g

E pra encontrar o ângulo dessa resultante a gente pode desenhar a resultante dos vetores e calcular a tangente do triângulo.

Que vai ser dada por cada módulo aqui, já que os vetores ortogonais possuem só uma direção:

t g θ = G m L 2 G m L 2 = 1

E aí a gente faz a inversa:

  θ = a r c t g 1 = 45 °

Passo 3

E o módulo do vetor é só fazer o Pitágoras daquele mesmo triângulo com as compontenes em módulo, se liga:

g → = g 1 2 + g 2 2

Substituindo geral a gente tem:

g → = G m L 2 2 + G m L 2 2 = G m 2 L 2   N / k g

Resposta

1.   θ = 45 °
2. g → = G m 2 L 2   N / k g

Exercício Resolvido #8

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 27

Duas esferas uniformes, cada uma com massa igual a 0,260   k g, estão fixas nos pontos A e B. Determine o módulo, a direção e o sentido da aceleração inicial de uma esfera uniforme com massa 0,010   k g quando ela é liberada do repouso no ponto P e sofrendo apenas atrações gravitacionais das esferas situadas em A e B.

Passo 1

A massa da esfera que está no ponto P não vai interferir, porque? Lembra que a aceleração da gravidade é

g = G M R 2

Basta assumirmos R sendo a distância entre as esferas, e M sendo a massa da esfera verde e pronto temos as acelerações do ponto P . Pois bem, assumiremos os valores:

G = 6,67 ∙ 10 - 11 N m 2 / k g 2

Como os corpos tem a mesma massa a intensidade da gravidade é igual, vamos calcular?

g = 6,67   .     10 - 11   .     0,260 10   .   10 - 2 2 = 1,7342   .   10 - 9   m / s 2

Passo 2

As acelerações vão ser assim

Repara que os ângulos são iguais porque os triângulos são iguais. Como as acelerações são iguais vamos ter apenas componente vertical, ambas apontando para baixo. Usando a “regra do COlado/SEparado” vamos ter

g y = g   . cos ⁡ θ

Mas quem é cosseno de θ ? Olha no triângulo da figura inicial, o cosseno não é cateto adjacente sobre hipotenusa? Então

cos ⁡ θ = 6 10 = 3 5

Vamos ter

g y = g   . cos ⁡ θ = 1,7342   .   10 - 9   . 3 5 = 1,04   .   10 - 9   m / s 2

Passo 3

Essa é a COMPONENTE de cada gravidade a aceleração total vai ser

a t o t = 2 g y = 2,08 .   10 - 9   m / s 2

Resposta

a t o t = 2,08 .   10 - 9   m / s 2

Exercício Resolvido #9

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 401 ex. 64

Cinco corpos, cada um de massa M, estão igualmente espaçados sobre um arco de semicírculo de raio R, como na Figura 11-25. Um corpo de massa m está localizado no centro de curvatura do arco. (a) Se M é 3,0   k g, m é 2,0   k g e R é 10   c m, qual é a força gravitacional sobre a partícula de massa m devida aos cinco corpos? (b) Se o corpo de massa m é removido, qual é o campo gravitacional no centro de curvatura do arco?

Passo 1

a) Sabemos que para encontrarmos o a força gravitacional resultante, basta somarmos vetorialmente todas as forças exercidas na massa m . Se liga na figura:

Percebe-se que todas as componentes horizontais se anulam, portanto:

F → = f + 2 f c o s π 4   j ^

Onde f é a força gravitacional entre uma massa M e a massa m , logo:

F → = G M m R 2 1 + 2 cos ⁡ π 4   j ^

Substituindo os valores:

F → = 6,67   .   10 - 11   .   3   .   2 0,1 2   1 + 2 j ^

F → = 9,67   .   10 - 8   N   j ^

Passo 2

b) Para achar o campo gravitacional, nós aprendemos a fazer o seguinte:

F = G M m R 2 = m g

Portanto, o campo gravitacional g NÃO DEPENDE da massa m .

Então, concluímos que, podemos manter o mesmo vetor encontrado para a força, divindo-o somente pelo valor da massa m :

g → = 4,83   .   10 - 8   m / s ²   j ^

Resposta

1. F → = 9,67   .   10 - 8   N   j ^
2. g → = 4,83   .   10 - 8   m / s ²   j ^

Exercício Resolvido #10

UNICAMP-P1-2012-Q2

Uma esfera de chumbo de raio R = 10   c m possui uma cavidade esférica cuja superfície passa pelo centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A massa da esfera, antes de a cavidade ser aberta, era M = 4   k g. Com que força gravitacional a esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,5   k g que se encontra a uma distância d = 20   c m do centro da esfera de chumbo, sobre a reta que liga os centros da esfera e da cavidade?

G = 6,7   .   10 - 11   N   m 2 / k g 2 .

Passo 1

Vamos primeiramente calcular a força que a esfera de chumbo faz na esfera menor, sem ter a cavidade.

F 1 = G M m r 2

F 1 = 6,7   .   10 - 11   .   4   .   0,5 0,2 2

F 1 = 3,35   .   10 - 9   N

Passo 2

Agora vamos imaginar a cavidade como sendo uma esfera de raio R / 2 , cujo o centro de massa está a uma distância de d - R / 2 da esfera pequena. Agora vamos calcular a força gravitacional que essa cavidade esférica exerceria na esfera pequena.

F 2 = G M m r 2

Entretanto, não temos a massa dessa cavidade esférica. Mas podemos descobrir utilizando a fórmula da densidade:

ρ = M 1 V 1

Para a esfera sem a cavidade, temos que M 1 = 4   k g e o volume será:

V 1 = 4 π r 3 3

V 1 = 4 π 10 3 3 = 4,19   .   10 3   c m 3

Logo, substituindo:

ρ = 4 4,19   .   10 3 = 9,5   .   10 - 4   k g / c m 3

Agora é só utilizar a densidade para a cavidade:

ρ = M 2 V 2

Entretanto, ainda temos que calcular o volume da cavidade. Mas sabemos que o raio da cavidade é a metade do raio da esfera, ou seja, é 5   c m .

V 2 = 4 π r 3 3

V 2 = 4 π 5 3 3 = 5,23   .   10 2   c m 3

Substituindo na fórmula:

9,5   .   10 - 4 = M 2 5,23   .   10 2

M 2 = 0,5   k g

Agora é só substituir na fórmula

F 2 = 6,7   .   10 - 11   .   0,5   .   0,5 ( 0,2 - 0,05 ) 2 = 7,4   .   10 - 10   N

Passo 3

Agora para calcular a força que a esfera com a cavidade faz, é só diminuir as duas forças:

F = F 1 - F 2

F = 3,35   .   10 - 9 - 7,4   .   10 - 10

F = 33,5 - 7,4 . 10 - 10

F = 2,61   .   10 - 9   N

Resposta