 Probabilidade é um conceito matemático, que agora se tornou uma disciplina completa e é uma parte vital da estatística. Experimento aleatório em probabilidade é um desempenho que gera um certo resultado, puramente baseado no acaso. Os resultados de uma experiência aleatória são chamados de evento. Em probabilidade, existem vários tipos de eventos, como em simples, compostos, mutuamente exclusivos, exaustivos, independentes, dependentes, igualmente prováveis, etc. Quando eventos não podem ocorrer ao mesmo tempo, eles são chamados de mutuamente exclusivos. Show
Por outro lado, se cada evento não for afetado por outros eventos, eles serão chamados de eventos independentes . Faça uma leitura completa do artigo apresentado abaixo para ter uma melhor compreensão da diferença entre eventos mutuamente exclusivos e independentes. Gráfico de comparação
Definição de evento mutuamente exclusivoEventos mutuamente exclusivos são aqueles que não podem ocorrer simultaneamente, isto é, onde a ocorrência de um evento resulta na não ocorrência do outro evento. Tais eventos não podem ser verdadeiros ao mesmo tempo. Portanto, o acontecimento de um evento faz com que o acontecimento de outro evento seja impossível. Estes também são conhecidos como eventos disjuntos. Vamos dar um exemplo do lançamento de uma moeda, onde o resultado seria a cabeça ou a cauda. A cabeça e a cauda não podem ocorrer simultaneamente. Tomemos outro exemplo, suponha que se uma empresa quer comprar maquinário, para o qual tem duas opções, Máquina A e B. A máquina que é rentável e a produtividade é melhor, será selecionada. A aceitação da máquina A resultará automaticamente na rejeição da máquina B e vice-versa. Definição de Evento IndependenteComo o nome sugere, eventos independentes são os eventos, nos quais a probabilidade de um evento não controla a probabilidade da ocorrência do outro evento. O acontecimento ou não-acontecimento de tal evento não tem absolutamente nenhum efeito sobre o acontecimento ou não-acontecimento de outro evento. O produto de suas probabilidades separadas é igual à probabilidade de que ambos os eventos ocorrerão. Vamos dar um exemplo, suponha que se uma moeda é lançada duas vezes, cauda na primeira chance e cauda na segunda, os eventos são independentes. Outro exemplo para isso, Suponha que se um dado for lançado duas vezes, 5 na primeira chance e 2 na segunda, os eventos sejam independentes. Diferença chave entre eventos mutuamente exclusivos e independentesAs diferenças significativas entre eventos mutuamente exclusivos e independentes são elaboradas como abaixo:
ConclusãoEntão, com a discussão acima, está claro que ambos os eventos não são iguais. Além disso, há um ponto a lembrar, e isto é, se um evento é mutuamente exclusivo, então ele não pode ser independente e vice-versa. Se dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, então eles podem ser expressos como P (AUB) = P (A) + P (B), enquanto se as mesmas variáveis são independentes, então elas podem ser expressas como P (A∩B) = P (A) P (B). TeoriaFala Aíí!! Pensa comigo na seguinte situação: Imagine que uma moeda é lançada duas vezes. Aí eu vou e te pergunto qual a probabilidade de cair coroa no segundo lançamento? Você piraria??? Calmaaaa!!!! Vamos tentar entender melhor a situação: Vamos supor que você lance essa moeda uma vez, e tenha como resultado coroa. Se você lançar essa moeda novamente, após esse primeiro lançamento, essa coroa que você tirou no primeiro lançamento vai ter alguma influência sobre o próximo resultado? Não! É aqui que vai entrar os eventos independentes!! Como o nome já diz, eventos independentes são aqueles que não dependem um do outro, ou seja, o fato de um deles acontecer não altera a probabilidade do outro ocorrer. Mas como calcular? Voltando ao exemplo: Vamos chamar nosso evento de evento A: A : o b t e r c o r o a n o s e g u n d o l a n ç a m e n t o Temos as seguintes possibilidades: Ou seja, nosso espaço amostral é 4. Queremos as possibilidades do segundo laçamento ser coroa, certo? Então, temos as seguintes opções: Ou seja, temos dois casos possíveis. Vamos calcular P(A): P ( A ) = 2 4 = 0,5 Essa foi fácil, né? Humm.. mas como vamos saber se dois eventos são independentes ou não? É exatamente isso que vamos descobrir agora. Vem comigo! Se dois eventos são independentes, então: P A ∩ B = P A ⋅ P ( B ) Ou seja, a probabilidade do evento A e do evento B ocorrer é exatamente a probabilidade de A multiplicada pela probabilidade de B. Por exemplo, vamos acrescentar um evento B no nosso primeiro exemplo: A : o b t e r c o r o a n o s e g u n d o l a n ç a m e n t o B : o b t e r c a r a n o p r i m e i r o l a n ç a m e n t o Qual a probabilidade dos dois eventos ocorrerem? Sabemos que o fato de um evento ocorrer não tem ligação com o outro, certo? Então, são eventos independentes e queremos calcular P A ∩ B . Vamos começar calculando P A : P A = 1 2 Calculando P B : P B = 1 2 Então: P A ∩ B = P A ⋅ P ( B ) P A ∩ B = 1 2 ∙ 1 2 = 1 4 Prontinho! Vamos verificar na tabela se isso é verdade? Show de bola?! Eventos Mutuamente ExclusivosDizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando eles são disjuntos, ou seja, quando não possuem interseção. E tudo volta à Teoria dos Conjuntos... ExemploEm um único lançamento de dado, qual a probabilidade de obter um número que seja par e ímpar ao mesmo tempo? Deu ruim, né? Calma que já vai fazer sentido. Vamos chamar os dois eventos do exemplo de A e B: A : O n ú m e r o s e r p a r B : O n ú m e r o s e r í m p a r Queremos calcular a probabilidade dos dois eventos ocorrerem, ou seja, P A ∩ B Mas ao lançar um dado é IMPOSSÍVEL obter um número par e ímpar ao mesmo tempo, certo? Isso porque não existe interseção entre esses dois eventos, ou seja: A ∩ B = ∅ Quando isso acontece, dizemos que os eventos são mutuamente exclusivos! Tá, mas o que isso quer dizer na prática? Com isso podemos concluir outras coisas. Por exemplo, se queremos calcular a união de probabilidades temos a seguinte fórmula: P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, logo P A ∩ B = 0, portanto: P A ∪ B = P A + P B Ou seja, a probabilidade da união de eventos mutuamente exclusivos é a soma das probabilidades de cada evento! Além disso, quando dois eventos não tiverem interseção a probabilidade condicional também irá mudar. Vamos dar uma olhada na fórmula: P B / A = P A ∩ B P A Como P A ∩ B = 0 teremos: P B / A = 0 P A = 0 Ou seja, quando falamos de eventos mutuamente exclusivos podemos afirmar que a probabilidade de B ocorrer tal que A ocorreu é ZERO. Isso faz sentido no nosso exemplo, certo? Se quiséssemos calcular P B / A , estamos calculando a probabilidade do número do dado ser ímpar dado que o número do dado é par, e isso é impossível de acontecer, logo: P B / A = 0 Importante! Não podemos confundir eventos MUTUAMENTE EXCLUSIVOS com eventos INDEPENDENTES. Eventos independentes são aqueles que: P A ∩ B = P A . P ( B ) Nada podemos afirmar sobre eles serem mutuamente exclusivos ou não. E vice versa! Partiu exercício para fixar melhor esses paranauês todos aí! Eventos Mutuamente ExclusivosExemploExercícios ResolvidosExercício Resolvido #1Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,115-21 Na tabela abaixo, os números que aparecem são as probabilidades relacionadas com a ocorrência de A , B e A ∩ B etc. Assim P A = 0,10, enquanto P A ∩ B = 0,04. Verifique se A e B são independentes. Passo 1Vamos lá! O que significa dois eventos serem independentes? Te digo agora: Para serem considerados independentes, deve valer a seguinte igualdade: P A ∩ B = P A ⋅ P ( B ) Beleza?! Precisamos encontrar então quem é P A e P B . Passo 2Vamos analisar a tabela para encontrar os valores de P A e P B : Da mesma forma, a primeira coluna em P(B) e a segunda coluna em P ( B c ). Temos então que P ( A ) = 0,10 P ( B ) = 0,12 Se fizermos as continhas, teremos P A ∩ B = P A . P B = 0,10.0,12 = 0,012 Tá... mas eles serão independentes ou não? Se você reparar, na tabela temos que P A ∩ B = 0,04. Ou seja, A e B não são independentes. Beleza?! RespostaExercício Resolvido #2Marcos N. Magalhães e Antonio Carlos P. Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ªed. São Paulo: Edusp, 2004, 48-02 Se P A ∪ B = 0,8; P A = 0,5 e P B = r, determine o valor de r no caso de: (a) A e B serem mutuamente exclusivos. Passo 1(a) Para eventos mutuamente exclusivos, a gente sabe que: P A ∪ B = P A + P ( B ) Então, substituindo os valores do problema: 0,8 = 0,5 + r r = 0,3 RespostaExercício Resolvido #3Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 49-03 Verifique se é válida a afirmação abaixo Se P A = 1 3 e P B A = 3 5 então A e B não podem ser disjuntos. Passo 1Eventos disjuntos? O que é isso mesmo? Disjuntos → Interseção igual a zero → Mutualmente Exclusivos Se eles fossem disjuntos, teríamos que: P A ∩ B = 0 E assim P B A = P B ∩ A P A = 0 Certo? Dessa forma se P B A ≠ 0 → não podem ser disjuntos! RespostaEi, a resposta está no passo a passo :) Exercício Resolvido #4Marcos Nascimento Magalhães e Antonio Carlos Pedroso de Lima, Noções de Probabilidade e Estatística, 6ª ed. São Paulo: Edusp, 2004, 48 - 01 Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A)=0,3 e P(B) =0,5. Calcule: a) P ( A ∩ B ) b) P ( A ∪ B ) c) P ( A c ) d) P ( A ∪ B c ) Passo 1Mutuamente exclusivos → Interseção igual a zero! Assim, P A ∩ B = 0 Passo 2b) P ( A ∪ B ) Sabemos que podemos escrever P A ∪ B = P A + P B - P A ∩ B Como P A ∩ B = 0 P A ∪ B = P A + P B = 0,3 + 0,5 = 0,8 Passo 3c) P ( A c ) Opa, o que significa A c mesmo? É o complementar de A, ou seja, tudo que pertence ao meu espaço amostral mas NÃO pertence a A. P A c = 1 - P A = 1 - 0,3 = 0,7 Passo 4d) P ( A ∪ B c ) Seguindo a mesma linha de raciocínio da letra (c) P A ∪ B c = 1 - P A ∪ B = 1 - 0,8 = 0,2 Respostaa) 0 b) 0,8 c) 0,7 d) 0,2 Exercício Resolvido #5UFRJ, ProbEst, P1/2012.2, 1 Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:
Passo 1(a) Vamos chamar de: A : Alberto participar da regata B : Bernardo participar da regata No exercício ele quer a probabilidade de A ou B → P ( A ∪ B ). A gente sabe que: P A ∪ B = P A + P B - P ( A ∩ B ) E que: P A = 0,5 P B = 0,7 Passo 2O exercício nos indica também que A e B são eventos independentes, então: P A ∩ B = P A . P ( B ) Com isso: P A ∪ B = P A + P B - P A . P ( B ) Substituindo os valores: P A ∪ B = 0,5 + 0,7 - 0,5 × 0,7 = 0,85 RespostaExercício Resolvido #6Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 115-19 As probabilidades de que dois eventos independentes ocorra são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade: a) de que nenhum desses eventos ocorra? b) de que pelo menos um desses eventos ocorra? Passo 1Vamos começar dando nome aos bois... Seja A o evento cujo P(A) = p e B o evento cujo P(B) = q. Se o enunciado afirma que ele são independentes, concluímos que: P A ∩ B = P A . P B = p . q Passo 2a) Qual a probabilidade de que nenhum desses eventos ocorra? Vamos interpretar isso: A probabilidade de que nenhum ocorra é 1 – (probabilidade de pelo menos um ocorrer) certo? E teremos por sua vez, a probabilidade de pelo menos um ocorrer é P ( A ∪ B ). Mas quem é A ∪ B? Sabemos que: A ∪ B = A + B - A ∩ B ou seja P A ∪ B = P ( A ) + P ( B ) - P A ∩ B . Substituindo teremos: P A ∪ B = p + q - p q Então a probabilidade de que nenhum evento ocorra será: 1 - p - q + p q Passo 3b) Qual a probabilidade de que pelo menos um desses eventos ocorra Essa probabilidade nós já calculamos na letra (a). É P A ∪ B = p + q - p q Respostaa) 1 - p - q + p q b) p + q - p q Exercício Resolvido #7PUCRIO-P1-2015.1-1B b) Considere a seguinte afirmação: Se A e B são dois eventos mutuamente exclusivos, então P A B = P ( A ), indicando que a ocorrência do evento B não traz informação sobre a probabilidade de ocorrência do evento A. Esta afirmativa é verdadeira ou falsa? Passo 1Então, a gente até usou essa ideia no conteúdo pra simplificar. Mas isso confunde muito, dizer que dois eventos são mutuamente exclusivos não significa que eles são independentes, só significa que a interseção deles é vazia. De acordo com o enunciado, usando a fórmula a probabilidade condicional, a gente teria: P A B = P A ∩ B P B → P A ∩ B = P A B × P B Usando P A B = P ( A )... P A ∩ B = P ( A ) × P ( B ) Que é a ideia de eventos independentes. Ou seja, a afirmação está erraaada. Porque uma coisa não implica na outra. Passo 2Na realidade, ao dizer que os eventos são mutuamente exclusivos, a gente diz que a interseção deles é zero. Então: P A B = P A ∩ B P B = 0 P B P A B = 0 RespostaEi, a resposta está no passo a passo :) Exercício Resolvido #8Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 126-55 (a) Se A, B e C são independentes, prove que A e B ∩ C são independentes. (b) Nas mesmas condições, prove que A ∪ B e C são independentes. Passo 1Vamos lá! O que significa dizer que A, B e C são independentes? Quer dizer que P A ∩ B ∩ C = P A . P B . P ( C ) Pelas propriedades de conjuntos posso dizer que: A ∩ B ∩ C = ( A ∩ B ∩ C ) Assim, P A ∩ B ∩ C = P A ∩ B ∩ C Como B e C são independentes podemos falar que P B . P C = P ( B ∩ C ) Assim do lado esquerdo da igualdade teremos: P A ∩ B ∩ C E do lado direito da igualdade teremos: P A . P ( B ∩ C ) Assim concluímos que P A ∩ B ∩ C = P A . P ( B ∩ C ) Passo 2Agora queremos mostrar que A ∪ B e C são independentes. Ou seja, queremos mostrar que: P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B . P ( C ) Essa é a nossa hipótese A ideia agora é desenvolver cada lado da igualdade separadamente e comparar as respostas. Se forem iguais nossa hipótese é verdadeira, se não é falsa. Ok? Lado esquerdo: 1º passo: Vamos chamar A ∪ B = D ok? P A ∪ B ∩ C = P ( D ∩ C ) 2º passo: Sabemos que: P D ∪ C = P D + P C - P D ∩ C → P D ∩ C = P D + P C - P ( D ∪ C ) Substituindo teremos: P D ∩ C = P D + P C - P ( D ∪ C ) 3º passo: Voltando com A e B na expressão teremos: P A ∪ B ∩ C = P A ∪ B + P C - P ( A ∪ B ∪ C ) 4º passo: Sabemos pelo 2º passo que podemos escrever P ( A ∪ B ) de outra forma, assim P A ∪ B ∩ C = P A + P B - P ( A ∩ B ) + P C - P ( A ∪ B ∪ C ) 5º passo: Agora vamos olhar para o P ( A ∪ B ∪ C )... Lembra que podemos “abrir” ele? P A ∪ B ∪ C = P A + P B + P C - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C ) 6º passo: Substituindo tudo na expressão e fazendo as contas P A ∪ B ∩ C = P A + P B - P ( A ∩ B ) + P C - [ P A + P B + P C - P ( A ∩ B ) - P ( A ∩ C ) - P ( B ∩ C ) + P A ∩ B ∩ C ] P A ∪ B ∩ C = P A ∩ C + P B ∩ C - P A ∩ B ∩ C ] Agora guarda esse resultado e vamos olhar pro lado direito da nossa igualdade! Lado direito: 1º passo: Podemos “abrir” o P A ∪ B né? P A ∪ B . P C = P A + P B - P A . P B . P ( C ) 2º passo: Fazendo a distribuitiva teremos P A ∪ B . P C = P A . P C + P B P C - P A . P B . P C P A ∪ B . P C = P ( A ∩ C ) + P B ∩ C - P ( A ∩ B ∩ C ) Opa! Percebe que chegamos a um resultado igual ao anterior? Ou seja, o resultado o lado direito é IGUAL ao resultado do lado esquerdo, o que significa que a nossa hipótese é verdadeira! RespostaEi, a resposta está no passo a passo :) Exercícios de Livros Relacionados
Seis tecidos são extraídos de uma hera infestada por aranhas. A planta está infestada em 20 % de sua área. Algumas amostras são escolhidas de áreas selecionadas aleatoriamente das heras. Considere que Ver Mais Verifique que o número de condições impostas pela Eq. (3.8) é dado por 2 n - n - 1 . Ver Mais Oito cavidades de uma ferramenta de moldagem por injeção produzem conectores de plástico que caem em um fluxo comum. Uma amostra é continuamente escolhida a cada intervalo de vários minutos.Considere Ver Mais Um dado é lançado e, independentemente, uma carta é extraída de baralho completo (52 cartas). Qual será a probabilidade de que: a O dado mostre um número par e a carta seja de um naipe vermelho? b O d Ver Mais Ver Também Ver tudo sobre Cálculo de ProbabilidadesManuseio de Expressões com Probabilidade CondicionalTeoria da ConfiabilidadeLista de exercícios de Eventos Independentes & Mutuamente ExclusivosComo calcular probabilidade de eventos mutuamente exclusivos?Resumo da probabilidade da união de dois eventos
A probabilidade da união de dois eventos é a chance do primeiro ou do segundo evento ocorrer. Quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é calculada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
O que são eventos não mutuamente exclusivos?Eventos não mutuamente exclusivos: Se dois eventos possuem elementos em comum, eles não são mutuamente exclusivos, ou seja, A ∩ B = ∅.
Qual a diferença entre eventos mutuamente exclusivos é eventos independentes?expressões querem dizer a mesma coisa: que os eventos não se sobrepõem. Entretanto, eventos mutuamente exclusivos – se ocorre um, o outro não pode ocorrer – não são independentes.
Quais os seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos?Quais dos seguintes pares de eventos são mutuamente exclusivos: (a) chover / não chover - Mutuamente exclusivos (b) grau B em estatística /grau C no mesmo teste - Mutuamente exclusivos (c) dirigir um carro / andar a pé - Mutuamente exclusivos (d) dirigir um carro / falar (e) nadar / sentir frio (f) ganhar num jogo / ...
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Como saber se dois eventos são mutuamente exclusivos?
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