O que acontece com as energias potencial e cinética de uma bola que é jogada para cima e depois cai no chão?

A Energia Cinética de Um Corpo Rolando

Quando discutimos um processo de colisão, é comum ilustrarmos o fenômeno através da colisão entre bolas de bilhar. Quando afirmamos que esse tipo de colisão é elástica e portanto usamos a equação da conservação da energia cinética,

não estamos levando em conta que as bolas estão rolando! No entanto, como as bolas estão rolando, é preciso contabilizar a energia cinética de rotação das bolas.

Embora não seja tão comum, as vezes utilizamos uma bolinha rolando ladeira abaixo para ilustrar a conservação da energia total (mecânica) do sistema. Se uma bola de massa

Sem hesitar, fazemos

O movimento de uma bola rolando é uma combinação de movimento de translação, que é o movimento do centro de massa da bola, e de rotação, com a bola girando em torno de um eixo que passa pelo centro de massa. Neste caso, o eixo de rotação sofre uma translação. Em suma, trata-se de um movimento combinado.

De acordo com o discutido na seção anterior, a energia cinética de rotação é dada por

Se o corpo de raio

Antes de responder a essa pergunta, temos que entender o que é a velocidade

Seguindo a análise, é razoável esperar que o centro de massa da bola, que descreve um movimento retilíneo, da bola rolando em linha reta, deva possuir velocidade

Por outro lado, se a bola só gira, com o seu centro de massa em repouso,  as velocidades nas extremidades de baixo e de cima estão na mesma direção, mas em sentidos opostos.

Posto isto, podemos entender o movimento de rolamento como sendo uma combinação de dois movimentos: translação pura e rotação pura. A figura abaixo nos ajuda a compreender a velocidade nos três pontos principais: no centro de massa, no topo e na base:

Temos portanto que a energia cinética de rolamento é a soma das energias cinéticas de rotação e translação, ou seja,

onde

Como

A Competição dos Cilindros Rolando 

Vamos supor dois objetos cilíndricos de mesma massa

Se colocarmos os dois cilindros a uma altura

Pela conservação da energia total do sistema (mecânica), temos que

Estamos tomando a energia potencial em relação ao centro de massa dos objetos e que

Como os momentos de inércia do cilindro sólido e da casca cilíndrica com respeito ao eixo que passa pelo centro de massa são

podemos escrever

Como o cilindro maciço possui

O vídeo abaixo testa se a predição teórica de fato é observada.

Vídeo: Inércia de rotação