Quais as condições necessárias para que um campo magnético produza força em um fio condutor?

Quais são as características do campo magnético gerado por um fio reto e longo percorrido por uma corrente elétrica?

Ouça em voz altaPausarQuando um fio retilíneo é percorrido com uma corrente elétrica i, ele gera ao seu redor um campo magnético, cujas as linhas do campo são circunferências concêntricas pertencentes ao plano perpendicular ao fio e com centro comum em um ponto dele. ...

Que condições são necessárias para que um campo magnético produz tensão em um fio?

Ouça em voz altaPausarO campo magnético produz uma força sobre o fio, diretamente proporcional à corrente. A força magnética sobre um pequeno segmento de fio depende também da orientação do fio em relação ao campo magnético; se o fio for paralelo ao campo magnético, a força é nula, e se o fio for perpendicular ao campo, a força é máxima.

Qual a relação da corrente elétrica com o campo magnético?

Ouça em voz altaPausarApós diversos estudos, verificou-se que a corrente elétrica produz um campo magnético proporcional à intensidade da corrente, isto é, quanto mais intensa for a corrente elétrica que percorre o fio, maior será o campo magnético produzido a sua volta.

Como saber o sentido do campo magnético?

Ouça em voz altaPausarO seu sentido é determinado pela regra da mão direita, de acordo com ela, quando apontamos o polegar no sentido da corrente elétrica, os demais dedos da mão fecham-se no sentido do campo magnético.

Onde o campo magnético é nulo?

Ouça em voz altaPausarQuando esse condutor é percorrido por uma corrente elétrica, também terá um campo magnético associado a ele e, praticamente, uniforme em seu interior. ... E, dessa forma, teremos um campo magnético resultante nulo na parte externa do solenoide.

Qual a intensidade do campo magnético do fio condutor?

• A intensidade do campo magnético gerado ao redor do fio condutor retilíneo é dada pela seguinte equação: Onde μ é a grandeza física que caracteriza o meio no qual o fio condutor está imerso. Essa grandeza é chamada de permeabilidade magnética do meio. A unidade de μ, no SI, é T.m/A (tesla x metro/ampere).

Qual a força do campo magnético sobre o fio?

• O campo magnético produz uma força sobre o fio, diretamente proporcional à corrente. A força magnética sobre um pequeno segmento de fio depende também da orientação do fio em relação ao campo magnético; se o fio for paralelo ao campo magnético, a força é nula, e se o fio for perpendicular ao campo, a força é máxima.

Qual o campo magnético produzido pela corrente elétrica?

• Após diversos estudos, verificou-se que a corrente elétrica produz um campo magnético proporcional à intensidade da corrente, isto é, quanto mais intensa for a corrente elétrica que percorre o fio, maior será o campo magnético produzido a sua volta.

Como determinar o sentido do campo magnético?

• Podemos determinar o sentido do campo magnético em torno do fio condutor através de uma simples regra conhecida como regra da mão direita. Nesta regra usamos o polegar para indicar o sentido da corrente elétrica e os demais dedos indicam o sentido do campo magnético.

Eletromagnetismo - Parte 2 - Cap�tulo 6

Eletromagnetismo - Parte II

Eduardo Fontana, PhD

Professor Titular

Departamento de Eletr�nica e Sistemas

Universidade Federal de Pernambuco

 
1a. Edi��o - Vers�o 1.0: 16/03/2011
Vers�o Atual - 1.9: 22/05/2013

Recife, 2011/2012/2013

Copyright by Eduardo Fontana 2011/2012/2013

�ndice

• 
  
• Cap�tulo 6 - Lei de Faraday, Corrente de Deslocamento e as Eqs. de Maxwell
  • 6.1 Lei de Faraday e aplica��es
    
  • 6.2 Energia magn�tica
  • 6.3 Indut�ncia
  • 6.4 Corrente de Deslocamento
  • 6.5 Eqs. de Maxwell
    • 6.5.1 Formula��es diferencial e integral
    • 6.5.2 Condi��es de contorno
  • 6.6 Teorema de Poynting
  • Problemas

Cap�tulo 6 - Lei de Faraday, Corrente de Deslocamento e as Eqs. de Maxwell

6.1 Lei de Faraday e aplica��es

Pouco mais de uma d�cada ap�s a descoberta de Oersted relacionada � produ��o de efeitos magn�ticos por correntes el�tricas, o ingl�s Michael Faraday, no in�cio do s�culo 19, teve a curiosidade de realizar experimentos que pudessem resultar no efeito inverso, ou seja, a produ��o de uma corrente el�trica a partir da aplica��o de um campo magn�tico. Realizou assim v�rios experimentos, que consistiam basicamente em circular corrente em uma bobina, produzindo assim um campo magn�tico e verificar se uma corrente el�trica poderia ser induzida em uma outra bobina colocada nas proximidades da primeira.

Experimentos com bobinas conc�ntricas, conforme ilustrado na Fig.6.1, entre outras configura��es, foram concebidos, e em nenhum destes, Faraday p�de confirmar a gera��o de corrente el�trica a partir de um campo magn�tico. Observou, no entanto, a perturba��o na agulha magn�tica de seu galvan�metro apenas durante os breves intervalos de tempo em que ligava e desligava a bobina alimentada por sua bateria.  Estava assim Faraday diante de uma das grandes descobertas da humanidade que, propriamente interpretada, implicaria no efeito bem estabelecido atualmente, de um campo magn�tico variante no tempo induzir, em sua vizinhan�a, um campo el�trico.

Fig. 6.1 � Ilustra��o de um dos experimentos de Faraday com bobinas conc�ntricas.  A bateria alimenta a bobina A e na ocorr�ncia de uma corrente induzida na bobina  B, ocorre uma pequena deflex�o na agulha magn�tica do galvan�metro C.

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Esse efeito tamb�m foi demonstrado simultaneamente e independentemente por Joseph Henry nos Estados Unidos e por isso � tamb�m denominado por alguns autores de lei de Faraday-Henry. Neste texto, ser� adotada a terminologia lei de Faraday,  mais comumente utilizada pela maioria dos autores. A lei de Faraday estabelece que uma for�a eletromotriz � gerada em um circuito el�trico fechado submetido a um fluxo magn�tico vari�vel no tempo. 

            A lei de Faraday, pode ser expressa em termos das grandezas de campo, com base na Fig. 6.2. O caminho C delimita a �rea aberta S. O caminho � orientado de acordo com a regra da m�o direita, de forma que a normal � superf�cie � orientada no sentido do polegar,

Fig. 6.2 � Configura��o de circuito para a lei de Faraday.

relativamente ao sentido do percurso C, simulado pela m�o direita. A fem induzida no circuito � definida como o trabalho que seria realizado pela for�a el�trica do campo induzido para transportar uma carga de teste no percurso C mostrado na Fig. 6.2, por unidade de carga, i.e.,

em que

com

ou equivalentemente,

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            O sinal negativo nas Eqs. (6.3) e (6.4) implica que uma corrente i seria observada no sentido indicado na Fig. 6.3, se houvesse uma taxa de varia��o positiva do fluxo magn�tico Ψ no sentido indicado na figura. � importante observar que nessas condi��es, a corrente no circuito produziria um fluxo magn�tico induzido Ψind, no sentido oposto �quele  do fluxo Ψ.  Isso � na realidade conseq��ncia da lei de Lenz. O campo induzido se op�e ao aumento do campo aplicado, de forma que a energia do sistema n�o tenda a aumentar espontaneamente. 

            Esse princ�pio pode ser melhor elucidado com base na Fig. 6.4. Uma barra magnetizada com o p�lo norte do lado esquerdo da Fig. 6.3 (a), ao se aproximar de um circuito fechado, induz uma circula��o de corrente que produz um campo magn�tico orientado para a direita. Isso equivale, como ilustrado na Fig. 6.3 (b) a um dipolo induzido com o p�lo norte no lado direito. Isso produziria uma repuls�o entre p�los, ou seja, o campo induzido tende a impedir a aproxima��o da barra magnetizada. Alternativamente, se a barra fosse movida para a direita, a corrente induzida no circuito produziria um campo cujo p�lo sul estaria agora do lado direito, o que resultaria em uma atra��o entre os p�los de forma a impedir o afastamento da barra magn�tica. 

Fig. 6.3 � Orienta��o da corrente induzida em um circuito, conforme previsto pela lei de Lenz

Fig. 6.4 � Ilustra��o da lei de Faraday para uma barra magn�tica interagindo com um circuito fechado.

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            � importante observar que a derivada temporal no segundo membro da lei de Faraday pode ocorrer tanto devido ao deslocamento do caminho de integra��o, caso em que o caminho corresponde a um circuito f�sico, ou devido a varia��es no tempo do campo

uma vez que o elemento de �rea dS n�o depende da velocidade do circuito. O termo entre par�ntesis da express�o anterior pode ser posto na forma

em que o s�mbolo de somat�rio foi omitido para simplificar o desenvolvimento.  Da Eq.(6.6), tem-se, como decorr�ncia da regra da cadeia,

ou equivalentemente

ou ainda

donde

Inserindo essa �ltima express�o no segundo membro da Eq.(6.4) resulta em

Fig. 6.5 Aplica��o da lei de Faraday para um circuito em movimento.

A Eq.(6.7) pode ser colocada em uma forma diretamente interpret�vel com o emprego da identidade vetorial

Fazendo

Comparando-se as Eqs.(6.7) e (6.9) pode-se escrever

Aplicando-se o teorema de Stokes no primeiro termo do segundo membro da Eq. (6.10) obt�m-se

e a lei de Faraday assume a forma

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            O primeiro termo da Eq.(6.12) corresponde � for�a magn�tica por unidade de carga que atua em portadores de carga livres no circuito em movimento. Isso porqu� uma carga q sendo transportada com velocidade

Sob a��o dessa for�a, a carga q circula no circuito dando origem a uma corrente el�trica ou equivalentemente, tudo se passa como se a carga estivesse sob a a��o de uma for�a eletromotriz dada pelo primeiro termo do segundo membro da Eq.(6.12). Note-se que esse resultado seria previsto, independentemente da lei de Faraday, ou seja, � um resultado esperado como conseq��ncia da intera��o entre cargas em movimento e um campo de origem magn�tica. O segundo termo da Eq.(6.12) � a contribui��o para a for�a eletromotriz, decorrente das varia��es no tempo do campo

            A lei de Faraday n�o requer a exist�ncia de um circuito para que o efeito de indu��o ocorra. Na aus�ncia de um circuito f�sico, o que a lei de Faraday prev� � a gera��o de um campo el�trico no espa�o pela a��o de um campo magn�tico variante no tempo. Assim, se os vetores campo el�trico e densidade de fluxo magn�tico s�o observados no sistema de coordenadas do laborat�rio, a Eq.(6.5) pode ser posta na forma

Aplicando o teorema de Stokes no primeiro membro e rearranjando vem

A express�o anterior � valida sobre qualquer �rea de integra��o S. Em particular se a �rea for diferencial, i.e.,

Uma vez que essa express�o � v�lida independentemente da orienta��o do vetor

que � a forma diferencial da lei de Faraday.

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            Em resumo, na presen�a de um campo magn�tico variante no tempo, o campo el�trico n�o � mais conservativo, i.e., tem circula��o n�o nula, diferentemente do que se observa no regime est�tico, ou equivalentemente, tem rotacional n�o nulo H� assim uma conex�o entre as grandezas el�trica e magn�tica. O rotational do campo el�trico em cada ponto do espa�o � dado, a menos do sinal, pela derivada temporal do vetor densidade de fluxo magn�tico. As implica��es da Eq.(6.15) ser�o analisadas no Cap�tulo 7.

6.2 Energia magn�tica

            Voltando a discuss�o um pouco para o regime de campos est�ticos, uma quest�o ainda n�o analisada � aquela relacionada � energia armazenada no campo magn�tico. Essa quest�o  ficou em aberto no Cap�tulo 5, pois o processo que leva ao estabelecimento de um estado final de distribui��o de corrente em uma regi�o do espa�o, que leva � exist�ncia de um campo magn�tico na vizinhan�a dessa distribui��o, ocorre perante varia��es do fluxo enla�ado pelo circuito de corrente. Essas varia��es produzem fem induzida no circuito de corrente, conforme previsto pela lei de Faraday. 

            Considere-se, por exemplo, a situa��o ilustrada na Fig. 6.6, em que uma corrente I � mantida no circuito alimentado por uma fonte de tens�o V0

Fig.6.6 � Circuito el�trico em que circula corrente I alimentado por tens�o V0.

            Se o estado do circuito � atingido a partir de um valor inicial de corrente, h� de se considerar que qualquer incremento de corrente produz uma varia��o de fluxo magn�tico e conseq�ente fem induzida. Essa fem induzida tende a produzir uma corrente de rea��o. Para que o circuito mantenha a mesma corrente, � necess�rio que haja um ajuste na tens�o aplicada.  Se h� uma varia��o de fluxo enla�ado pelo circuito, ent�o

� a fem adicional que aparece no circuito. Ou seja, a tens�o efetivamente que surge no circuito �

 Para que a corrente retorne ao valor original, a fonte tem de suprir uma tens�o adicional

e a tens�o se torna

e a pot�ncia suprida pela fonte para manter a corrente  �

ou equivalentemente

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            Com essa express�o b�sica � poss�vel determinar o trabalho necess�rio ao estabelecimento de um estado final de distribui��o de corrente e correspondente campo

            Seja portanto a determina��o da energia W, no volume V cuja corrente esteja distribu�da com densidade

Da Fig.6.7b tem-se

Dado que

com C representando o caminho fechado que define o micro-circuito da Fig. 6.7b.  Equivalentemente

Essa � a contribui��o do circuito como um todo.  Dessa express�o, podemos identificar que o volume

Fig.6.7 (a) Volume de corrente distribu�da de acordo com a densidade J. (b) Micro-circuito de corrente do volume V.

mostrado na figura, contribui com uma varia��o de energia

Assim, um volume macrosc�pico V sofre uma varia��o de energia

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            A Eq.(6.18) � a express�o b�sica, expressa no ponto de vista da fonte do campo, que permite obter a energia magn�tica armazenada no volume V seja o meio material linear ou n�o-linear.  A energia necess�ria para que um estado final

            Note-se que a integral de linha cujo elemento diferencial �

            Alternativamente, pode-se escrever

e a Eq.(6.19) pode ser re-escrita na forma

Fig. 6.8 � Trajet�ria no espa�o de estados do vetor A.

o que fornece

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Agora, a integral de linha no segundo membro da Eq.(6.21) � realizada no espa�o de estados em que as coordenadas s�o as componentes do vetor J, e requer o conhecimento da fun��o

            Para meio linear, pode-se expressar o vetor densidade de corrente como uma fra��o de seu valor final, ou seja,

com

e portanto

e a integral de linha na Eq.(6.21) pode ser realizada com a mudan�a de vari�veis para o par�metro k, assumindo a forma

ou equivalentemente

em que o subscrito f foi removido.

            A Eq.(6.22) representa a energia magn�tica em um volume V de corrente em que a densidade de corrente �

            Para obter a rela��o geral no ponto de vista do campo, considere-se a express�o original de varia��o de energia no volume V, dada pela Eq.(6.18).  Note-se que essa integra��o pode ser realizada em todo o espa�o, incluindo por��es do espa�o em que n�o haja corrente, uma vez essas por��es n�o contribuem para a integral. Assim, a Eq.(6.18) ser� escrita na forma mais geral, em que o volume de integra��o � todo o espa�o, ou seja,

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            No regime quase-est�tico,

Com o emprego da identidade vetorial

ou equivalentemente,

tem-se

Portanto

            Observe-se que a Eq.(6.24) � realizada em todo o espa�o, uma vez que os campos de uma distribui��o de corrente, mesmo que localizada, permeiam todo o espa�o. O volume de integra��o pode ser assim considerado como uma esfera de raio

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Uma vez que a contribui��o de mais baixa ordem de qualquer distribui��o localizada de corrente � aquela de um dipolo magn�tico, nessa condi��es,

e portanto,

Portanto, a integral de superf�cie na Eq.(6.24) n�o contribui para a energia e dessa equa��o obt�m-se

A energia magn�tica no estado final � portanto

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            Conforme mencionado anteriormente, a integral de linha da Eq.(6.26) � realizada no espa�o de estados em que as coordenadas s�o as componentes do vetor B, conforme ilustrado na Fig.6.9. O resultado envolve o conhecimento da fun��o

            Na Eq.(6.27) a integra��o de linha � realizada no espa�o de estados do vetor H e requer o conhecimento da fun��o

            Para meios lineares, seguindo o procedimento que levou � Eq. (6.22) pode-se mostrar que o resultado obtido � a express�o cl�ssica para a energia armazenada no campo magn�tico, i.e.,

em que o subscrito f foi removido.

Fig. 6.9 � Trajet�ria no espa�o de estados do vetor B.

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6.3 Indut�ncia

            Considere-se um conjunto de N circuitos conforme mostrado na Fig.6.10. Cada circuito � formado por um fio delgado.  Sendo o meio de imers�o o v�cuo, portanto linear,  a energia do sistema no ponto de vista da fonte do campo � dada por

Dado que

vem

            O  campo total no espa�o � obtido por superposi��o, i.e.,

com

Fig.6.10 Circuitos de corrente.

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Portanto

com

representando o fluxo enla�ado pelo circuito i devido ao campo do circuito j.

            Note-se que o campo produzido pelo j-�simo circuito depende apenas da corrente que nele circula, e portanto

com Lij   (Weber/Amp�re = Henry) representando a indut�ncia m�tua entre os circuitos i e j.

            Inserindo a Eq.(6.31), com emprego da Eq.(6.33) na Eq.(6.29) fornece

ou alternativamente

ou ainda

            O termo de auto-acoplamento Lii � denominado de auto-indut�ncia do circuito i. O termo de acoplamento m�tuo Lij� denominado de indut�ncia m�tua entre os cicuitos i e j.

            Express�es integrais podem ser obtidas para as indut�ncias notando que o fluxo acoplado no i-�simo circuito devido ao j-�simo � da forma

e da express�o para o potencial vetor de um circuito de corrente,

vem

Inserindo a Eq.(6.36) na Eq.(6.35) fornece

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e essa express�o com o emprego da Eq.(6.33) permite identificar

Da Eq.(6.38) pode-se facilmente verificar que  Lij= Lji. 

Exemplo 6.1 � C�lculo da auto-indut�ncia por unidade de comprimento de um cabo coaxial

Considere-se o cabo coaxial mostrado na figura,  com uma distribui��o uniforme de corrente dada por

Fig. 6.11 � Se��o transversal de um cabo coaxial percorrido por corrente.

A aplica��o da lei circuital de Amp�re permite obter diretamente,

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6.4 Corrente de Deslocamento

            Uma segunda conex�o importante entre campos el�tricos e magn�ticos existe, e de fato foi discutida no Cap�tulo 4 quando se derivou o princ�pio da conserva��o da carga. Apesar de se ter analisado o princ�pio da conserva��o da carga do ponto de vista dos mecanismos de condu��o el�trica, n�o se aprofundou a discuss�o quanto as suas conseq��ncias O princ�pio da conserva��o da carga em forma integral estabelece uma conex�o entre a corrente que flui atrav�s de uma superf�cie fechada e a taxa de varia��o da carga q contida no volume limitado por essa superf�cie, conforme ilustrado na Fig.6.12.  Essa conex�o � dada pela rela��o simples

em que i � a corrente que flui para o exterior da regi�o (sendo negativa caso contr�rio). Essa equa��o, expressa em termos das fun��es densidade, assume a forma da Eq.(4.23), i.e.,

em que

Fig.6.12. Geometria ilustrativa do princ�pio da conserva��o da carga.

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            Para uma superf�cie

e com o emprego do teorema de Gauss, conforme derivado no Cap�tulo 4, obt�m-se a equa��o  da continuidade, i.e.,

            A Eq.(6.48) � a forma diferencial do princ�pio da conserva��o da carga e imp�e novas restri��es �s rela��es entre grandezas el�tricas e magn�ticas. Para analisar as implica��es impostas pela Eq.(6.48), considere-se a lei circuital de Amp�re em forma diferencial, dada para campos est�ticos pela Eq.(5.40), cuja validade fica temporariamente assumida para o caso variante no tempo, i.e.,

Observe-se que a identidade vetorial, obtida de Eq.(1.38),

aplicada na Eq.(6.49) implica em

ou seja,

o que viola a Eq,(6.48).  Portanto, a Eq.(6.49) n�o pode ser v�lida quando a densidade de carga varia no tempo.  Essa inconsist�ncia foi observada por Maxwell em meados do s�culo 19 que postulou a exist�ncia de uma densidade de corrente de deslocamento

propriedades da densidade de corrente de deslocamento podem ser obtidas, impondo-se a validade da Eq.(6.48). Ou seja, calculando-se a diverg�ncia da Eq.(6.50) vem

Utilizando-se nessa express�o a Eq.(6.48), obt�m-se

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            Essa � a equa��o que deve ser satisfeita pela corrente de deslocamento. Para relacionar essa grandeza com uma das grandezas de campo, pode-se utilizar a equa��o de Maxwell para a diverg�ncia do vetor densidade de fluxo magn�tico, dada pela Eq.(2.48), i.e.,

que inserida na Eq.(6.51) fornece

A solu��o geral da Eq.(6.52) pode ser posta na forma

 

, em vista da identidade vetorial dada pela Eq.(1.38).  Maxwell postulou simplesmente que a corrente de deslocamento seria dada apenas pelo primeiro termo nessa express�o uma vez que qualquer que fosse a escolha do vetor

, o princ�pio da conserva��o da carga permaneceria v�lido. Assim, a densidade de corrente de deslocamento reduz-se � expressao

            A validade desse postulado tem sido verificada experimentalmente por um grande n�mero de investigadores, e em conjun��o com a lei de Faraday leva � previs�o de exist�ncia de ondas de natureza eletromagn�tica, um fen�meno confirmado experimentalmente por Hertz no final do s�culo 19.  Al�m disso, a introdu��o da corrente de deslocamento nas equa��es que governam as grandezas el�tricas e magn�ticas representou um marco na unifica��o das teorias que tratavam separadamente a eletricidade, o magnetismo e a �ptica.

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            Maxwell foi levado a postular a Eq.(6.54) uma vez que essa escolha tamb�m resolveria o paradoxo do capacitor, ilustrado na Fig.6.13.  Para uma corrente invariante no tempo, n�o h� corrente no circuito, devido ao isolamento el�trico entre as armaduras do capacitor. No entanto, para uma corrente variante no tempo fluindo no circuito, esse fluxo n�o � interrompido pelo isolamento el�trico. A corrente de deslocamento, segundo Maxwell, seria a componente, n�o material, que completaria o processo, al�m de garantir a unicidade da circula��o do campo magn�tico.

Fig.6.13 Diagrama ilustrativo do paradoxo do capacitor.

            Isso � melhor compreendido com base na forma integral da Eq.(6.50), obtida por integra��o com o aux�lio do teorema de Stokes, i.e.,

            Note-se que a aplica��o da Eq.(6.55) para as �reas S1 ou S2 da Fig.(6.13) tem de fornecer o mesmo valor, uma vez que a circula��o do campo magn�tico est� sendo calculada sobre o mesmo caminho C, nos dois casos. Note-se que sobre S1,

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            Ou seja, na aus�ncia da corrente de deslocamento, a primeira integral acima seria nula o que geraria um resultado inconsistente para a circula��o do campo magn�tico.

6.5 Eqs. de Maxwell

6.5.1 Formula��es diferencial e integral

            Com a introdu��o da lei de Faraday e da corrente de deslocamento, as eqs. de Maxwell em forma diferencial se tornam

e as grandezas de campo em um meio material obedecem �s rela��es constitutivas

            As denomina��es e unidades SI das grandezas de campo e par�metros que aparecem nas Eqs.(i) a (iv) est�o listadas na Tabela 6.1.

Tabela 6.1 Denomina��es e unidades SI das grandezas e par�metros eletromagn�ticos.
Grandeza	Denomina��o	Unidade SI
	Vetor campo el�trico	V/m
	Vetor densidade de fluxo el�trico (deslocamento el�trico)	C/m2
	Vetor densidade de fluxo magn�tico (indu��o magn�tica)	Wb/m2
	Vetor campo magn�tico	A/m
	Vetor polariza��o	C/m2
	Vetor magnetiza��o	A/m
	Densidade de cargas livres	C/m3
	Densidade de corrente livre	A/m2
	Permissividade el�trica do v�cuo	F/m
	Permeabilidade magn�tica do v�cuo	H/m

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            Em algumas situa��es envolvendo meios condutores pode-se definir uma rela��o constitutiva semelhante � lei de Ohm, dada pela Eq.(4.19) e reproduzida abaixo

            Essa rela��o, no entanto, s� � rigorosamente v�lida para meios lineares no regime de correntes estacion�rias. Uma discuss�o mais detalhada da resposta de materiais condutores � aplica��o de um campo eletromagn�tico ser� feita oportunamente. Assim, as rela��es constitutivas v�lidas em geral e que s�o necess�rias � solu��o das Eqs. de Maxwell s�o aquelas dadas pelas Eqs. (v) e (vi).

            As formas diferenciais dadas pelas Eqs.(i) a (iv) podem ser convertidas em rela��es integrais, com o emprego dos teoremas de Gauss e Stokes, conforme j� mostrado em cap�tulos anteriores. As formas integrais dessas equa��es, na forma mais geral poss�vel, devem levar em considera��o o movimento do caminho de integra��o na lei de Faraday ou varia��es no tempo da superf�cie de integra��o, na equa��o que governa o princ�pio da conserva��o da carga.  Com essas considera��es, as formas integrais correspondentes �s Eqs.(i) a (iv) s�o:

Fig 6.14 Regi�es de integra��o para as Eqs. de Maxwell em forma integral.

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            Nas Eqs. (I) e (IV) C � um caminho que limita a �rea aberta S, e nas Eqs.(II) e (III)

            A a��o do campo eletromagn�tico em um volume V, cuja densidade de cargas livres em cada ponto �

com

representando a for�a por unidade de volume.  Inserindo (6.57) em (6.56) tem-se a forma integral da for�a de Lorentz

Fica como exerc�cio demonstrar que para uma carga puntiforme q com velocidade

Fig 6.15 Volume de cargas livres submetido a um campo eletromagn�tico.

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6.5.2 Condi��es de contorno

            Para a an�lise de campos eletromagn�ticos que permeiam meios materiais distintos, � necess�rio estabelecer de que forma as grandezas de campo se relacionam na fronteira entre esses meios.  As condi��es de contorno para as grandezas de campo podem ser obtidas da forma integral das equa��es de Maxwell.  Para que se obtenham as condi��es de contorno de forma mais direta, duas equa��es integrais ser�o utilizadas no lugar das Eqs. (I) e (IV). Assume-se que os caminhos ou superf�cies de integra��o estejam em repouso de forma que as derivadas temporais que aparecem nas Eqs. de Maxwell se apliquem diretamente �s grandezas de campo. 

            Para estabelecer as duas novas rela��es integrais, considere-se inicialmente a Eq.(i), na forma diferencial. Integra��o em um volume V fornece

Aplicando a rela��o integral dada pela Eq.(1.49), reproduzida abaixo,

em que

            Desenvolvimento semelhante aplicado � Eq. (IV) fornece

            Para a deriva��o das condi��es de contorno, ser�o utilizadas as Eqs. (I�), (II), (III) e (IV�). As Eqs.(II) e (III) s�o da forma geral

em que

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em que

            Para o caso do campo

que confirma a condi��o de continuidade da componente normal do vetor densidade de fluxo magn�tico, obtida no regime est�tico, tamb�m para o caso din�mico. Esse resultado era esperado, uma vez que a inexist�ncia de monopolos magn�ticos continua valendo tamb�m para campos variantes no tempo. 

Fig.6.16 � Configura��o da interface entre meios materiais distintos para aplica��o das condi��es de contorno.

            Para o caso do campo

O limite do segundo membro da equa��o anterior, se for n�o nulo, � a densidade superficial de cargas na interface entre os dois meios, i.e.,

e a condi��o de contorno para o vetor

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            A densidade superficial de carga geralmente pode estar presente na interface entre um condutor e um isolante ou na interface entre meios condutores. No regime est�tico, � poss�vel especificar problemas em que a densidade superficial de carga � uma grandeza independente a partir da qual os campos de natureza el�trica podem ser obtidos. No caso din�mico no entanto,  devido � interdepend�ncia entre os campos el�trico e magn�tico, a solu��o das Eqs. de Maxwell pode ser obtida apenas com o emprego das condi��es de contorno para as componentes tangenciais do campo el�trico e do campo magn�tico. Nesse contexto, o segundo membro da Eq.(6.65) � determinado da componente normal do vetor

            Considere-se agora a obten��o das condi��es de contorno para os campos

em que

ou ainda,

em que

Com essas considera��es, a Eq.(6.67) se torna

ou equivalentemente

Essa � a forma geral da condi��o de contorno aplic�vel para as Eqs. (I�) e (IV�). Para o caso da Eq.(I�),

            Essa equa��o, como no caso est�tico, implica que a componente tangencial do campo el�trico � cont�nua em qualquer interface entre meios materiais distintos, independentemente da natureza dos meios.

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            Para o caso da Eq.(IV�),

que � a mesma condi��o de contorno obtida no caso est�tico.

            � importante observar  que a densidade de corrente superficial � uma aproxima��o �til em situa��es envolvendo a interface entre um isolante e um condutor de alta condutividade, j� que apenas nessas situa��es, os campos internos ao condutor se concentram em uma extens�o muito pr�xima � interface. No limite de o condutor ser perfeito toda a corrente se concentraria na superf�cie.  Assim, para meios de condutividade finita, rigorosamente a densidade de corrente se distribui em um volume e consequentemente o segundo membro da Eq.(6.71) � nulo. Essas situa��es ser�o discutidas oportunamente.

6.6 Teorema de Poynting

            Considere-se a grandeza

que tem dimens�es de Watt/m2 no sistema SI, e que em princ�pio representa um vetor do tipo densidade de fluxo, no caso presente, densidade de fluxo de pot�ncia, devido �s suas dimens�es f�sicas.  Com base nessa princ�pio, � interessante calcular o fluxo do vetor

.  Para isso, seja o c�lculo da grandeza

, que pode ser escrita na forma

Com base nas eqs. de Maxwell tem-se

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            Integrando-se a �ltima express�o em um volume V resulta em

Utilizando o teorema de Gauss no primeiro membro da express�o anterior tem-se

Essa �ltima express�o representa uma equa��o de balan�o de energia, em que:

�           

 =Fluxo de pot�ncia eletromagn�tica para o interior de

�           

esse termo representa fluxo de pot�ncia eletromagn�tica para o sistema de cargas livres.  Se negativo, esse termo representa fluxo de pot�ncia do sistema de cargas para o campo eletromagn�tico.

            O �ltimo termo do segundo membro da Eq.(6.74) � interpretado como a taxa de varia��o no tempo da energia eletromagn�tica

Para calcular a energia no tempo t, integra-se a Eq.(6.71) resultando em

ou equivalentemente

o que permite definir a densidade de energia

e o teorema de Poynting pode ser posto nas formas:

Diferencial:

Integral:

            Assim o teorema de Poynting, em sua forma integral, estabelece que a pot�ncia eletromagn�tica que flui para o interior de um volume � canalizada em parte para o sistema de cargas livres, com o restante produzindo uma taxa de varia��o no tempo da energia eletromagn�tica armazenada no volume.  Note-se que essa energia envolve, na presen�a de um meio material,  a intera��o do campo eletromagn�tico com os dipolos el�tricos e magn�ticos que comp�em esse meio.

            A densidade de energia eletromagn�tica definida na Eq.(6.77) pode ser posta  na forma

com os termos do segundo membro obtidos pela mudan�a de vari�veis na integra��o temporal, o que resulta em

            As Eqs.(6.81) e (6.82) representam as densidades de energia associadas aos campos el�trico e magn�tico, respectivamente.

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            Conforme discutido anteriormente, as Eqs.(6.81) e (6.82) s�o integrais de linha nos respectivos espa�os de estado das grandezas de campo. Se a integral de linha associada a um dado campo depender da trajet�ria no espa�o de estado, ou equivalentemente, da forma como a grandeza de campo � alterada entre os estados inicial e final, ent�o o sistema � n�o-revers�vel, ou n�o-conservativo. 

O sistema ser� conservativo se as condi��es

forem satisfeitas independentemente da trajet�ria no espa�o de estado.  Qualquer dessas condi��es implica que a energia n�o varia se o sistema sai de seu estado original e retorna a esse estado atrav�s de qualquer trajet�ria no espa�o de estado

            A seguir s�o consideradas tr�s situa��es t�picas de obten��o da energia eletromagn�tica.

Caso 1: Meio linear e isotr�pico

Consideremos inicialmente a situa��o simplificada em que o meio seja linear e isotr�pico e sem perdas, tal que as rela��es

sejam v�lidas independentemente da varia��o no tempo dos campos eletromagn�ticos.[2]  Ent�o

e da mesma forma, obt�m-se

o que fornece,

que � a express�o j� conhecida da energia eletromagn�tica armazenada no volume  V  para campos est�ticos, uma grandeza positiva definida. 

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Caso 2: Meio linear e anisotr�pico

            � importante observar que esses resultados s�o v�lidos tamb�m para meios anisotr�picos lineares sem perdas. Por exemplo, considere-se o caso el�trico em que as grandezas de campo sejam relacionadas por

em que, na nota��o do Cap�tulo 1,

1 e

 � uma matriz 3

3 representando o tensor permissividade el�trica. Seja inicialmente a grandeza

, que pode ser calculada de

Da mesma forma

            Dado que

ou equivalentemente

que � uma propriedade fundamental do tensor permissividade de um meio sem perdas.

            Considere-se agora o produto escalar

Por outro lado

donde

Essas rela��es permitem escrever

            Essa propriedade tamb�m seria satisfeita para o caso de uma rela��o matricial entre as grandezas magn�ticas.  Conseq�entemente, a energia armazenada, para o caso de meios lineares anisotr�picos � tamb�m dada pela Eq.(6.87).

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Caso 3: Caso geral

            No caso mais geral, utilizam-se as rela��es constitutivas dadas pelas Eqs.(v) e (vi) e reproduzidas abaixo

e a Eq.(6.80) � da forma

em que o estado final dos valores de campo � denotado pelo subscrito f.  Essa �ltima express�o pode ainda ser posta na forma

            A Eq.(6.94) � a forma mais geral para a densidade de energia associada a um meio de natureza arbitr�ria. 

            Uma aplica��o interessante da Eq.(6.94) � na determina��o de energia dissipada em materiais magn�ticos exibindo histerese.  Considerando apenas o termo magn�tico da Eq.(6.90),

pode-se avaliar a varia��o em densidade de energia em um meio material exibindo histerese,  ao se variar o estado de magnetiza��o em um ciclo completo, conforme ilustrado na figura seguinte. Sendo i e f  os estados inicial e final, indicados na Fig.6.17, e admitindo que os vetores campo magn�tico e magnetiza��o sejam colineares, ent�o, a varia��o de densidade de energia magn�tica em um ciclo � dada por

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            A integral do segundo membro pode ser colocada na forma

Da Fig.6.17 tem-se

em que

            A Eq.(6.98) mostra que a varia��o de energia � proporcional � �rea do ciclo de histerese indicada na figura.  Isso indica que o sistema � n�o-revers�vel e energia tem de ser suprida do campo para o material para realiza��o do ciclo.  A energia suprida � eventualmente dissipada em forma de calor.

Fig.6.17 � Ciclo de histerese de um material magnetiz�vel.

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Problemas

6.1 Existe no espa�o uma indu��o magn�tica definida pelo vetor

Uma espira quadrada de lado a move-se com velocidade

Fig.6.18 � Ilustra��o do problema 6.1.

a) Com base na Eq.(6.12) determine a fem induzida na espira, na orienta��o indicada na figura, i.e., para uma circula��o de acordo com a regra da m�o direita. Expresse sua resposta final em fun��o do tempo.

b) Parametrize o fluxo enla�ado pela espira em fun��o do tempo t, e calcule diretamente a fem induzida no circuito. Compare com o resultado obtido na letra a.

c) Determine o vetor campo el�trico nos segmentos 1, 2, 3 e 4 do circuito.

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6.2 Uma espira quadrada de lado a gira no espa�o com velocidade angular

a) a fem induzida no circuito, no sentido indicado na figura, com base na Eq.(6.12). Essa equa��o se aplica nesse caso?

b) a fem induzida com base no c�lculo direto da taxa de varia��o do fluxo enla�ado pelo circuito. Compare com o resultado obtido em a.

c) a magnitude do campo el�trico induzido no circuito, admitindo que seja constante ao longo do circuito

Fig.6.19 � Ilustra��o do problema 6.2.

6.3 Um solen�ide � constitu�do de um grande numero de espiras de raio a, densamente empilhadas, conforme ilustrado na Fig.6.20. Admita que o n�mero total de espiras no solen�ide seja N.  Se o solen�ide est� sujeito � aplica��o de um campo magn�tico, tal que o fluxo enla�ado por cada espira tenha o mesmo valor

Fig.6.20 � Ilustra��o do problema 6.3.

6.4 Considere uma barra condutora de comprimento L movendo-se com velocidade v em uma regi�o de campo uniforme B, conforme ilustrado na Fig. 6.21.  Determine o vetor campo el�trico induzido na barra.

Fig.6.21 � Ilustra��o do problema 6.4.

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6.5  Considere a exist�ncia de um campo magn�tico

a) Fa�a um gr�fico da depend�ncia em z da componente x do campo para

b)  Utilize a lei de Faraday e a rela��o constitutiva entre grandezas magn�ticas para determinar a circula��o do campo el�trico no caminho fechado mostrado na Fig.6.22.

c)  Utilize a rela��o constitutiva para as grandezas magn�ticas no v�cuo e a Eq.(6.15) para obter o vetor

d) Utilize o resultado obtido em c para calcular diretamente a circula��o do campo

Fig.6.22� Ilustra��o do problema 6.5

            Para um meio linear, a densidade de energia magn�tica � dada pelq Eq.(6.88). Como no caso el�trico, tudo se passa como se cada volume V do espa�o permeado pelo campo contivesse uma quantidade de energia dada simplesmente pelo integral no volume V da densidade de energia. Use esse conceito para resolver os problemas 6.6 e 6.7.

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6.6  Considere um plano infinitamente extenso com corrente distribu�da com densidade de corrente superficial constante

6.7  Considere uma camada de corrente localizada na regi�o

6.8  Considere um fio cil�ndrico, infinitamente longo, com se��o transversal de raio a e com corrente uniformemente distribu�da com densidade constante

6.9 Considere uma linha de transmiss�o de cabos condutores paralelos, infinitamente longa na dire��o z. Cada cabo de corrente condutor tem raio a e transporta corrente I, conforme indicado na Fig.6.23.

a) Determine o fluxo magn�tico enla�ado na �rea de comprimento h indicada na figura

b) Utilize a Eq.(6.29) para determinar a indut�ncia associada a esse comprimento h de linha de transmiss�o

6.10 Um solen�ide infinitamente longo tem uma densidade de n espiras por unidade de comprimento. O interior e o exterior do solen�ide tem a mesma permeabilidade do v�cuo.

a) Determine as grandezas magn�ticas no interior e no exterior do solen�ide.

b) Determine o fluxo total enla�ado por um comprimento L do solen�ide

c) Determine a indut�ncia nesse comprimento a partir do termo de auto-indut�ncia da Eq.(6.33)

d) Determine a indut�ncia nesse comprimento a partir da energia a� contida e com o emprego do termo de auto-indut�ncia da Eq.(6.34).

kFig.6.23 � Ilustra��o do problema 6.9

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6.11 Considere duas espiras de raio a separada de uma dist�ncia d >>a. Em ambas as espiras circula uma corrente I, conforme mostrado na Fig.6.24.  Utilize a express�o assint�tica do potencial vetor de uma das espiras, dada pela Eq.(5.30) em conjun��o com as Eqs.(6.35) e (6.33) para determinar a indut�ncia m�tua entre as espiras.

Fig.6.24 � Ilustra��o do problema 6.11.

6.12 Revise o exemplo 4.2 do cap�tulo 4 e determine:

a) A densidade de corrente de deslocamento no interior e no exterior da esfera

b)

6.13 Um circuito est� submetido a uma corrente

Fig.6.25 � Ilustra��o do problema 6.13.

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6.14  Considere a exist�ncia de um campo el�trico no v�cuo dado por

a)  Utilize a lei circuital de Amp�re dada pela Eq.(6.55) e a rela��o constitutiva entre grandezas el�tricas para determinar a circula��o do campo magn�tico no caminho fechado mostrado na Fig.6.25.

b)  Utilize a rela��o constitutiva entre as grandezas el�tricas no v�cuo e a Eq.(iv) para obter o vetor

c) Utilize o resultado obtido em b para calcular diretamente a circula��o do campo

Fig.6.26 � Ilustra��o do problema 6.14.

6.15) Revise as equa��es de Maxwell e a formula��o de passagem dessas equa��es da forma diferencial para a integral e vice-versa. Elas representam a s�ntese da Engenharia El�trica, sendo desej�vel que todo estudante de gradua��o em Engenharia El�trica adquira a habilidade de escrev�-las em qualquer situa��o. Em resumo, adquira o treinamento e a habilidade para sempre poder escrever:

�           As eqs. de Maxwell em forma diferencial e integral.

�           As rela��es constitutivas em meios materiais.

�           As condi��es de contorno que devem ser obedecidas em uma interface.

�           A denomina��o de cada grandeza de campo, incluindo as grandezas representativas de meios materiais, bem como cada fonte de campo.

6.16) Utilize as equa��es de Maxwell e defini��es das grandezas eletromagn�ticas para expressar cada unidade da Tabela 6.1 em unidades do sistema MKSC.

6.17) Demonstre que a  Eq.(6.58) assume a forma da Eq.(6.59) para o caso de uma carga puntiforme.

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6.18) Considere a interface entre dois meios localizada em z = 0. O semi-espa�o z > 0 � o v�cuo. O semi-espa�o z < 0 � um meio anisotr�pico isolante tendo fun��o permissividade dada por:

Admitindo que o campo el�trico na regi�o z > 0 tenha um valor na interface dado por

Determine os vetores

6.19) Para os campos obtidos no Problema 6.14, determine

a) O vetor de Poynting, da Eq. (6.72)

b) Calcule o fluxo de potencia para o interior do volume limitado pelas superf�cies

c) Calcule o primeiro termo do segundo membro da Eq.(6.74) para esse volume de integra��o

d) Calcule o segundo termo do segundo membro da Eq.(6.74)

e) Compare os resultados obtidos em b, c e d.

6.20) Um material magn�tico n�o-linear, homog�neo e isotr�pico tem magnetiza��o caracterizada por um la�o de histerese limitado pelas curvas

em que M0 e H0 s�o par�metros caracter�sticos do material e H � o campo aplicado.

a) Fa�a um gr�fico do la�o de histerese

b) Qual o significado dos par�metros M0 e H0?

c) Que magnitude de campo aplicado produz uma magnetiza��o cerca de 50% do valor de satura��o?

d) Admitindo que o campo aplicado se distribua uniformemente no material, e que seu volume seja V. Determine a energia que deve ser suprida pela fonte externa a partir do valor H0 segundo o ciclo:

H = H0

de satura��o do material

 aumento at� o valor inicial H = H0.

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[1]Neste texto, as grandezas do alfabeto romano variantes no tempo est�o representadas na fonte monotype corsiva regular. Grandezas variantes no tempo representadas por letras gregas ser�o representadas pelos s�mbolos correspondentes em it�lico. Grandezas invariantes no tempo s�o representadas na fonte �Times New Roman� it�lico para o caso do alfabeto romano e letras gregas regulares nos demais casos.

[2]� importante observar que se o meio tiver perdas, rigorosamente n�o se pode escrever uma rela��o linear entre grandezas, como nas Eqs.(6.81) ou (6.86), pois os campos se tornam defasados no tempo.

Que condições são necessárias para que um campo magnético produz força em um fio condutor?

Como um fio condutor pode gerar um campo magnético?

Quais a condições necessárias para que a força magnética apareça?

Qual condição é necessária para que uma carga elétrica tenha um campo magnético ao seu redor?