Quais são as três relações trigonométricas no triângulo retângulo?

A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo retângulo, por isso é importante estudar tanto as suas características, como os seus elementos e as suas relações.

O que é um triângulo retângulo?

É uma figura geométrica plana, composta por três lados e três ângulos internos. O que diferencia esse triângulo dos demais é que um dos seus ângulos inteiros é sempre igual a 90° (ângulo reto).

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos:
O lado que for oposto ao ângulo reto será chamado de hipotenusa e os outros dois lados serão chamados de cateto.

Elementos do triângulo retângulo

Dado o triângulo retângulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a

a e catetos iguais a b e c:

Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta (h) que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta será a altura do meu triângulo retângulo e irá dividir o lado

a em dois lados m e n.

Formamos mais dois triângulos retângulos: ABH e AHC.

Relações métricas do triângulo retângulo:
Observando o triângulo retângulo acima, podemos retirar algumas relações feitas com os seus elementos.
1º)

c2 = m . a e b2 = n . a

2º)

b . c = a . h

3º)

h2 = m . n

4º) a quarta relação é baseada na 1º e na 2º, pois se somarmos as duas chegaremos em uma outra relação.

c2 + b2 = m . a + n . a

→ colocando a em evidência.

c2 + b2 = a (m + n)

→ observando no triângulo retângulo percebemos que a medida de a = m + n.

c2 + b2 = a . a

c2 + b2 = a2 → conhecida como Teorema de Pitágoras.

5º) é uma relação dos ângulos internos do triângulo retângulo. A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo retângulo é igual a 180º, no caso do triângulo retângulo que um dos ângulos sempre terá medida igual a 90º os outros dois serão complementares, ou seja, a sua soma será 90º. Matematicamente dizemos que:

med ( ) + med ( ) = 90º.

As razões trigonométricas são encontradas entre os lados de um triângulo retângulo. O triângulo é considerado retângulo quando possui um ângulo reto, ou seja, com 90º.

Na trigonometria, percebeu-se que existe uma proporção entre triângulos retângulos, o que tornou possível encontrar valores desconhecidos dessa figura geométrica por meio de razões trigonométricas. São elas: o seno, o cosseno e a tangente.

Os ângulos notáveis (30º, 45º e 60º) são bastante utilizados no cálculo das razões trigonométricas, mas é possível aplicá-las para qualquer ângulo.

Leia também: 3 erros mais cometidos na trigonometria

Triângulo retângulo

Antes de conhecer as razões trigonométricas, é necessário conhecer bem o triângulo retângulo e os nomes dos seus lados. Um triângulo é classificado como retângulo quando possui um ângulo reto, ou seja, com 90º.

Em um triângulo retângulo, o maior lado é conhecido como hipotenusa, e ele fica sempre localizado do lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados são conhecidos como catetos. Outro elemento que deve ser levado em consideração são os outros dois ângulos do triângulo.

Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Conhecendo a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo, existem três razões trigonométricas, que nada mais são do que razões entre os lados do triângulo. Para calcular o valor de qualquer uma dessas razões, é fundamental definir o ângulo que utilizaremos como referência. As razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente. Para compreender cada uma delas, é necessário entender o que é um cateto oposto e o que é um cateto adjacente.

Na imagem, é possível perceber que o lado que possui medida c é o maior lado e ele está de frente ao ângulo reto, o que faz com que ele seja a hipotenusa. Já os demais catetos podem ser considerados como cateto oposto ou adjacente, dependendo do ângulo que estamos utilizando como referência.

Se o ângulo de referência é o ɑ, então o cateto oposto a ele é o que possui a medidarepresentada por a. O outro cateto, que junto com a hipotenusa forma o ângulo ɑ, é adjacente, logo o cateto representado por b é adjacente ao ângulo ɑ.

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Por outro lado, se o ângulo de referência for o ꞵ, a hipotenusa continua a mesma, mas há uma mudança em qual será o cateto adjacente e qual será o cateto oposto em comparação ao ângulo ɑ. O cateto oposto é aquele que está de frente ao ângulo ꞵ, que, na imagem, está sendo representado por b, e o cateto adjacente é o que forma o ângulo ꞵ junto com a hipotenusa, nesse caso, representado por a.

Sabendo identificar o que é um cateto oposto e o que é um cateto adjacente em um triângulo retângulo, podemos definir o que é o seno, o cosseno e a tangente:

sen ɑ → seno do ângulo ɑ

cos ɑ → cosseno do ângulo ɑ

tg ɑ → tangente do ângulo ɑ

Para resolver problemas envolvendo as razões trigonométricas, devemos identificar qual é o ângulo de referência e qual das razões trigonométricas queremos usar. Outra informação importante para resolver esse tipo de problema são os ângulos notáveis.

Veja também: O que são transformações trigonométricas?

Ângulos notáveis

Os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º, que são os mais comuns em questões de vestibulares e concursos. Para resolver exercícios envolvendo os ângulos notáveis, é necessário conhecer o valor do seno, do cosseno e da tangente para eles, o que pode ser conferido por meio de uma tabela trigonométrica.

• Tabela trigonométrica

Passo a passo de como resolver problemas envolvendo razões trigonométricas

Para encontrar lados desconhecidos de um triângulo retângulo, é necessário conhecer um ângulo e um de seus lados.

1º passo: identificar qual razão trigonométrica deve ser usada.

Para identificar qual razão utilizar, analisamos de qual lado conhecemos o valor e qual queremos descobrir em relação ao ângulo. Por exemplo, se a questão nos deu o valor da hipotenusa e quer que encontremos o valor do cateto adjacente, a razão que relaciona cateto adjacente e hipotenusa é o cosseno. Utilizamos esse mesmo raciocínio para identificar se é o seno ou a tangente.

2º passo: aplicar a fórmula da razão trigonométrica que identificamos no passo anterior com os valores dos lados do triângulo.

3º passo: consultar na tabela o valor da razão trigonométrica escolhida para o ângulo de referência

e substituir na fórmula.

4º passo: resolver a equação e encontrar o valor desejado.

Exemplo:

Encontre o valor de x no triângulo a seguir.

Resolução:

Primeiro vamos identificar quais foram os lados fornecidos em relação ao ângulo de 30º. Queremos descobrir o valor do cateto adjacente ao ângulo, e foi dada a hipotenusa do triângulo retângulo. A razão que relaciona hipotenusa e cateto adjacente é o cosseno.

Agora aplicaremos o cosseno:

Consultando na tabela trigonométrica, vamos substituir o valor de cosseno de 30º.

Acesse também: Transformações trigonométricas: fórmulas de adição

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Um avião iniciou voo sob um ângulo de 30º em relação à pista. Após percorrer 1 km de distância, no ar, com o mesmo ângulo, qual é a altura atingida pelo avião em relação à pista?

A) 0,5 km

B) 1 km

C) 1,5 km

D) 2 km

E) 2,5 km

Resolução

Alternativa A.

Ilustrando a situação, temos que:

Analisando a imagem, seja x a altura alcançada pelo avião, temos o cateto oposto e a hipotenusa do triângulo, logo utilizaremos o seno para encontrar a altura.

Questão 2 – (Enem Libras 2017) A famosa Torre de Pisa, localizada na Itália, assim como muitos outros prédios, por motivos adversos, sofrem inclinações durante ou após suas construções.

Um prédio, quando construído, dispunha-se verticalmente e tinha 60 metros de altura. Ele sofreu uma inclinação de um ângulo α, e a projeção ortogonal de sua fachada lateral sobre o solo tem largura medindo 1,80 metro, conforme mostra a figura.

O valor do ângulo de inclinação pode ser determinado fazendo-se o uso de uma tabela como a apresentada.

Uma estimativa para o ângulo de inclinação α, quando dado em grau, é tal que:

A) 0 ≤ ɑ < 1,0
B) 1,0 ≤ ɑ < 1,5
C) 1,5 ≤ ɑ < 1,8
D) 1,8 ≤ ɑ < 2,0
E) 2,0 ≤ ɑ < 3,0

Resolução

Alternativa C.

Aplicando seno no triângulo retângulo, temos que:

Analisando a tabela, 0,03 está entre 0,026 e 0,031, logo o ângulo está entre 1,5 e 1,8.

Quais são as três relações trigonométricas básicas do triângulo retângulo?

Quais são as relações do triângulo retângulo?

O que é relações trigonométricas no triângulo retângulo?

Quais as relações trigonométricas?