Qual a diferença entre o conjunto dos números naturais e inteiros?

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números que não são decimais. Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros é formado pelo conjunto dos números naturais e seus opostos aditivos. Por exemplo: o número 1 pertence ao conjunto dos números naturais e dos números inteiros. Já o número – 1 pertence apenas ao conjunto dos números inteiros, pois é o oposto aditivo do natural 1.

Elementos do conjunto dos números inteiros

Os elementos do conjunto dos números inteiros são os números naturais, seus opostos aditivos e o zero. Destacamos o zero, pois alguns autores não o consideram como número natural. Portanto, os elementos do conjunto dos números inteiros são:

Z = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

A letra Z é usada para representar os números inteiros porque essa representação vem do alemão Zahl, que significa “número”.

Os conjuntosnuméricos podem ser representados pelo diagrama de Venn. Usaremos essa representação também para mostrar que o conjunto dos números naturais está totalmente incluído no conjunto dos números inteiros, isto é, se um número é natural, então, ele também é inteiro:

Observe que todos os números inteiros estão dentro do diagrama e que os não negativos podem ser agrupados. Esse agrupamento é o conjunto dos números naturais.

Subconjuntos dos números inteiros

É possível encontrar, dentro do conjunto dos números inteiros, outros subconjuntos que são interessantes, como:

• Z*: formado por todos os números inteiros, exceto pelo zero;

• Z+: formado por todos os números inteiros não negativos, ou seja, pelo próprio conjunto dos números naturais. Assim, Z+ = N;

• Z+*: formado por todos os números inteiros positivos. Assim, o número zero não está nesse conjunto. Seus elementos são: 1, 2, 3, 4, …;

• Z–: formado por todos os números inteiros não positivos, ou seja, pelos opostos aditivos dos números naturais e pelo zero;

• Z–*: formado por todos os números inteiros negativos. Assim, o número zero não pertence a esse conjunto.

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Reta numérica dos números inteiros

Os números inteiros podem ser colocados sobre uma reta. Para isso, basta marcar o ponto onde será disposto o número zero, chamado origem, escolher uma unidade de medida e usá-la para marcar os números inteiros. A única regra para a construção dessa reta é que os números sejam colocados em sequência crescente, da direita para a esquerda. Por exemplo: suponha que a unidade de medida escolhida seja o centímetro, a reta numérica será parecida com a imagem abaixo:

Observe que, começando pelo zero, o próximo número, à direita, é 1 e, depois, 2, e assim por diante. Para a esquerda, o próximo número é – 1 e, depois, – 2, e assim por diante. A distância entre o número 1 e o número 2 é igual a 1 centímetro, pois a distância entre dois números consecutivos sempre será igual à unidade de medida usada. Já a distância entre – 2 e 2 é de 4 centímetros.

Note que um número que esteja à direita sempre será maior que um número à esquerda. Por causa disso, concluímos facilmente que – 2 < 1.

Módulo ou valor absoluto

O módulo, ou valor absoluto, de um número inteiro é a distância desse número até a origem da reta numérica. Em outras palavras, o módulo é a distância entre zero e o número observado na unidade de medida em que a reta foi construída. Como não existem distâncias negativas, o módulo sempre será um número positivo. Além disso, o módulo de um número é representado por esse número entre duas barras, como em: | – 2|.

Então, o módulo de – 2 é a distância desse número até zero, portanto, | – 2| = 2. Observe isso na reta numérica:

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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