Qual a probabilidade de aleatoriamente escolhermos um número par Dentre os elementos do conjunto 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 }?

O conjunto dos números primos é objeto de estudo na matemática desde a Grécia Antiga. Euclides, em seu grande trabalho “Os elementos”, já discutia sobre o assunto conseguindo demonstrar que esse conjunto é infinto. Como sabemos, os números primos são aqueles que possuem como divisor o número 1 e eles mesmos, assim, encontrar números primos muito grandes não é uma tarefa fácil, e o crivo de Eratóstenes facilita esse encontro.

Tópicos deste artigo

• 1 - Como saber quando um número é primo?
• 2 - Crivo de Eratóstenes
• 3 - Decomposição em fatores primos
• 4 - Exercícios resolvidos

Como saber quando um número é primo?

Sabemos que um número primo é aquele que possui como divisor o número 1 e ele mesmo, sendo assim, um número que, em sua lista de divisores, possuir números além do 1 e de si próprio não será primo, veja:

Ao listar os divisores de 11 e 30, temos:

D(11) = {1, 11}

D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}

Veja que o número 11 possui somente o número 1 e a si próprio como divisores, logo, o número 11 é um número primo. Agora, veja os divisores do número 30, ele possui, além do número 1 e de si mesmo, os números 2, 3, 5, 6 e 10 com divisores. Portanto, o número 30 não é primo.

→ Exemplo: Liste os primos menores que 15.

Para isso, listaremos os divisores de todos os números compreendidos entre 2 e 15.

D(2) = {1, 2}

D(3) = {1, 3}

D(4) = {1, 2, 4}

D(5) = {1, 5}

D(6) = {1, 2, 3, 6}

D(7) = {1, 7}

D(8) = {1, 2, 4, 8}

D(9) = {1, 3, 9}

D(10) = {1, 2, 5, 10}

D(11) = {1, 11}

D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

D(13) = {1, 13}

D(14) = {1, 2, 7, 14}

D(15) = {1, 3, 5, 15}

Desse modo, os primos menores que 15 são:

2, 3, 5, 7, 11 e 13

Convenhamos que essa tarefa não seria muito agradável, por exemplo, se fôssemos escrever todos os primos entre 2 e 100. Para evitá-la, aprenderemos a usar, no próximo tópico, o crivo de Eratóstenes.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Crivo de Eratóstenes

O crivo de Eratóstenes é uma ferramenta que tem por objetivo facilitar a determinação de números primos. O crivo consiste em quatro passos, e é necessário, para compreendê-los, ter em mente os critérios de divisibilidade. Antes de iniciarmos o passo a passo, devemos criar uma tabela do número 2 até o número desejado, já que o número 1 não é primo. Então:

→ Passo 1: Do critério de divisibilidade por 2, temos que os números pares são todos divisíveis por ele, ou seja, o número 2 aparecerá na lista de divisores, logo, esses números não serão primos e devemos excluí-los da tabela. São eles:

4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …

→ Passo 2: Do critério de divisibilidade por 3, sabemos que um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos também o é. Assim, devemos excluir esses números da tabela, já que eles não são primos pelo fato da existência de um número além do 1 e dele próprio na listagem de divisores. Assim, devemos excluir os números:

6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …

→ Passo 3: Do critério de divisibilidade por 5, sabemos que todos os números terminados em 0 ou 5 são divisíveis por 5, logo, devemos excluí-los da tabela.

10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…

→ Passo 4: De modo análogo, devemos excluir os números que são múltiplos de 7 da tabela.

14, 21, 28, …, 546, …

– Conhecendo o crivo de Eratóstenes, vamos determinar os primos entre 2 e 100.

→ Não são primos    
→ Números primos

Assim, os números primos entre 2 e 100 são:

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}

Leia também: Cálculo MMC e MDC: como fazer?

Decomposição em fatores primos

A decomposição em fatores primos é conhecida formalmente como teorema fundamental da aritmética. Esse teorema afirma que qualquer número inteiro diferente de 0 e maior que 1 pode ser representado pelo produto de números primos. Para determinar a forma fatorada de um número inteiro, devemos realizar sucessivas divisões até que cheguemos ao resultado igual a 1. Veja o exemplo:

→ Determine a forma fatorada dos números 8, 20 e 350.

Para fatorar o número 8, devemos dividi-lo pelo primeiro número primo possível, no caso, por 2. Em seguida, realizamos outra divisão também pelo primo que seja possível, esse processo é repetido até que cheguemos ao número 1 como resposta da divisão. Veja:

8: 2 = 4

4: 2 = 2

2: 2 = 1

Portanto, a forma fatorada do número 8 é 2 · 2 · 2 = 23. A fim de facilitar esse processo, adotaremos o seguinte método:

Portanto, o número 8 pode ser escrito como: 23.

→ Para fatorar o número 20, utilizaremos o mesmo método, ou seja: dividi-lo por números primos.

Assim, o número 20, em sua forma fatorada, é: 2 · 2 · 5 ou 22 · 5.

→ De maneira análoga, faremos com o número 350.

Portanto, o número 350, em sua forma fatorada, é: 2 · 5 · 5 · 7 ou 2 · 52 · 7.

Veja também: Notação científica: para que serve?

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Simplifique a expressão:

Solução

Primeiramente, vamos fatorar a expressão a fim de facilitar.

Desse modo, 1024 = 210, e, portanto, podemos substituir um pelo outro na expressão do exercício. Assim:

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

Qual a probabilidade de obtermos um número par voltado para cima?

Qual a probabilidade de obtermos um número menor ou igual a 3 no lançamento de um dado?