Transcrição de vídeoRKA - E aí pessoal, tudo bem? Nessa aula, nós vamos aprender "Probabilidade expressa por um número racional". E lembrando que um número racional é um número que pode ser escrito em uma fração. Mas antes de entender probabilidade, nós precisamos saber que existem dois tipos de experimento: o "experimento determinístico" é aquele que, realizado sob determinadas condições, é possível prever o resultado, como, por exemplo, o tempo que você gasta indo de avião do Rio de Janeiro até São Paulo. Você consegue prever o tempo de chegada. E outro tipo de experimento, que nós estamos interessados, são os "experimentos aleatórios", que é aquele que, sob as mesmas condições, não é possível prever o resultado, por exemplo, no lançamento de uma moeda, você não pode dizer se vai cair cara ou coroa, então, você não consegue prever o resultado antes de acontecer, mas o que nós podemos fazer é determinar a chance desse experimento aleatório acontecer. E é por isso que serve uma probabilidade. E, claro, cada experimento aleatório tem várias possibilidades. Por exemplo, se eu lançar um dado e observar a face que vai ficar para cima, pode cair 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, e o conjunto de todas as possibilidades, nós chamamos de "espaço amostral". E esse espaço amostral é o conjunto formado por todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. E nós podemos representar esse espaço amostral pela letra "S", ou então, pela letra grega ômega (Ω). Agora, se eu pedir para você observar somente os números pares no lançamento de um dado, você só ia olhar o 2, 4 e 6. Então, eu posso dizer que um "evento" é um subconjunto do espaço amostral. Ou seja, eu tenho o meu espaço amostral, que é o conjunto de todos os resultados possíveis, e o evento é algo que eu quero nesse espaço amostral. E, agora, eu quero te perguntar: qual é a probabilidade de sair face par no lançamento de um dado? Ou seja, qual é a chance de jogar um dado e observar a face par? Para calcular a probabilidade de um evento "P(E)" acontecer, você precisa dividir o número de elementos desse evento "n(E)" pelo número de elementos do espaço amostral "n(S)", que é a mesma coisa que dividir os "casos favoráveis" pelos "casos possíveis". E aí, se eu quiser calcular a probabilidade de sair face par no lançamento de um dado, eu sei que o meu evento é sair face par no lançamento de um dado. E eu sei que, se eu olhar aqui, eu tenho 1, 2 e 3 possibilidades de números pares. Então, o número de elementos do evento são 3 e o espaço amostral são todos os possíveis resultados, ou seja, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Então, o número do espaço amostral é 6. E aí, eu posso colocar aqui que P(E), que é o meu evento, vai ser igual a 3 em 6. Ou seja, eu representei uma probabilidade, a chance de alguma coisa acontecer através de um número racional, ou seja, uma fração. E eu ainda posso simplificar por 3 aqui, dividir por 3 tanto o numerador quanto o denominador, e 3 dividido para 3 dá 1, e 6 dividido para 3 dá 2. E se eu dividir 1 para 2, isso vai dar 0,5. E com isso nós descobrimos que também podemos representar uma probabilidade através de um número decimal. E você ainda pode colocar isso em porcentagem também. Se você pegar esse 0,5 e multiplicar por 100, isso vai ser a mesma coisa que 50%. Você sempre pode pegar o número decimal e multiplicar por 100, que você vai ter a probabilidade em forma de porcentagem, porque olha só, 0,5 é a mesma coisa que 50 sobre 100, e isso é 50 por 100, ou seja, 50%. Então, nós podemos representar uma probabilidade tanto em fração, ou seja, um número racional, ou em forma de número decimal, ou, então, em porcentagem. Mas eu espero que você tenha entendido isso. Até a próxima, pessoal! Show
Probabilidade é o estudo das possibilidades de algo ocorrer ou não. Experimento Chama-se experimento uma experiência realizada ao acaso (aleatória), Exemplos: Espaço Amostral (S) ou (Ω)O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Exemplos:
② Retirar uma carta de um baralho e
observar seu naipe, pode ocorrer: ③ Num lançamento de um dado, observar a face voltada para cima, pode ocorrer: S = Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Evento (E)Qualquer subconjunto do espaço amostral é dito evento. Exemplos: Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe. Evento certo Evento certo é aquele que possui todos os elementos do espaço amostral.
Exemplo: Evento impossível Evento impossível ou improvável é aquele que não possui elementos do espaço amostral. Exemplo: Probabilidade Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então: Onde n(E) é o número de elementos do evento E, e, Exemplo: O espaço amostral é: O evento é: n(E) = 3 (número de elementos do evento) Daí: P(E) = P(E) = Não é necessário saber quais são os elementos do espaço amostral, mas sim quantos são. PropriedadesSeja A um evento e S o espaço amostral, assim sempre se tem: ① A probabilidade do evento é um número entre "0" e "1": ② A probabilidade do evento impossível é "0" (zero): ③ A probabilidade do espaço amostral é "1" (um): ④ A probabilidade do complementar do evento é "1 menos a probabilidade
do evento": Exemplo da utilidade do evento complementar No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de: Pelo princípio fundamental da contagem se tem: É mais fácil contar os casos em que sai o número 5. Seja o evento E = {sair o número cinco em um dos dois dados} E = { (1, 5); (5, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 5); (5, 3); (4, 5); (5, 4); (5, 5); (6, 5); (5, 6) } P(E) = P(E) = Assim, o complementar do evento E é não sair o número 5. P(E) = 1 − P(E) Probabilidade da união de dois eventos Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral, O número de elementos da ocorrência de A "e" B é dado por: A probabilidade da ocorrência
de A união B é dada por: Exemplo: O espaço amostral é: Supondo o evento A = {sair um número primo} Supondo o evento B = {sair um número par} Os elementos comuns ao dois eventos é a intersecção: Daí: P(A ∪ B) = Eventos mutuamente excludentes Dois eventos A e B são ditos mutuamente excludentes ou
exclusivos se, Neste caso, A ∩ B = Ø, então: Exemplo: Logo, se o evento A ocorrer impede a ocorrência de B. Assim tem-se: n(Ω) = 6 n(A) = 3 n(B) = 1 P(A) = = e P(B) =P(A ∪ B) = + P(A ∪ B) = + P(A ∪ B) = P(A ∪ B) = Probabilidade condicional Há situações em que se quer encontrar: Assim, o espaço amostral para o segundo evento será reduzido ao evento que ocorreu. A probabilidade da ocorrência do evento
B sabendo que o evento A ocorreu é: Se um evento A ocorreu, a probabilidade de outro evento B ocorrer, P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) = Exemplo: A princípio o número de elementos do espaço amostral é n(S) = 36. Mas como se sabe que a soma é 6, fica reduzido ao n(A). Sendo: A = { (1, 5); (5, 1); (2, 4); (4, 2); (3, 3) } A ∩ B é o conjunto formado pelos pares de elementos onde, A ∩ B = { (2, 4); (4, 2) } Daí, a probabilidade de sair um 2 sabendo que a soma é 6 é: P(B|A) = Regra da multiplicaçãoSendo P(B|A) = Então: Sendo P(A|B) = Então: Exemplo: Considerando os eventos: Ω = {branca, branca, branca, branca, cinza, cinza} Sabendo que saiu uma branca sem ser recolocada então no saco fica: P(B|A) = A probabilidade da primeira ser branca e a segunda ser branca é dada por: Propriedades ① A probabilidade da ocorrência do evento B sabendo que: ② A probabilidade da ocorrência do espaço amostral Ω sabendo que: ③ Se a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio, Eventos independentes Dois eventos A e B são ditos independentes se: Sendo A e B eventos independentes, a probabilidade de: Exemplo: Considerando A = { sair dois no primeiro } e B = { sair três no segundo } O fato de sair 2 no 1º em nada influi em sair 3 no 2º, logo são independentes. P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) Generalizando De uma forma geral, se os eventos A1, A2, . . . , An são independentes, então: Teorema da probabilidade total Sejam os eventos E1, E2, E3, . . . , En, disjuntos dois a dois e que: Então, para qualquer evento B se tem: P(B) = ∑ P(Ei ∩ B) = ∑ P(Ei) ⋅ P(B|Ei) ( i = 1, 2, . . . , n) Exemplo: Teorema de Bayes Sejam E1, E2, E3, . . . , En eventos
mutuamente excludentes e, Exemplo: Ser da marca X é o evento A1 A probabilidade de ter escolhido o da marca X sabendo que ele comprou é P(A1|B) Mas o somatório: Logo: P(A1|B) = ( ⋅ ) :P(A1|B) = : P(A1|B) = ⋅ P(A1|B) = P(A1|B) ≅ 0,5714 ≅ 57,14% Exercícios ResolvidosR01 — No lançamento de dado qual a probabilidade de sair um número maior do que 4? Seja o evento A = {número maior do que 4} O espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } P(A) = P(A) = = R02 — Quatro moedas são lançadas simultaneamente. Não é necessário encontrar o espaço amostral, mas sim a quandidade de elementos dele. Há sempre duas possibilidades, cara (C) ou coroa (K), assim: n(Ω) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24 = 16 (princípio fundamental da contagem) Seja o evento B = {número de caras igual ao número de coroas} B = { (C, C, K, K); (C, K, C, K); (C,
K, K, C); (K, C, C, K); (K, C, K, C); (K, K, C, C) } P(B) = = R03 — Em uma urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bola. Seja os eventos logo, n(A) = 10 e n(B) = 6 O número de elementos de A e B é n(A ∩ B) = 3 P(B) = P(A ∩ B) = A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(A ∪ B) = + – = Neste
caso em particular, não há necessidade de se resolver desta maneira, P(A ∪ B) = P(A ∪ B) = R04 — Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Um baralho tem 13 cartas de cada um dos quatro naipes, portanto 52 cartas. Ω = {duas cartas retiradas de um baralho} n(Ω) é dado por: Evento A = {ambas serem de copas} n(A) é dado por: Evento B = {ambas serem de espadas} n(B) é dado por: A ∩ B = Ø A probabilidade de ocorrer A ou B é dada por: P(A ∪ B) = +P(A ∪ B) ≅ 0,0588 + 0,0588 P(A ∪ B) ≅ 0,1176 P(A ∪ B) ≅ 11,76% Observação: n(Ω) = AR52,2 = 522 (arranjo com repetição) R05 — Uma nota é retirada aleatoriamente de uma gaveta contendo: O
total de notas é o número de elementos do espaço amostral. Seja E = {a nota não é de dez reais} Então ou ela é de R$ 2,00 (tem 4) ou de R$ 5,00 (tem 6) ou de R$ 20,00 (tem 8) Sejam os eventos: P(A) = P(B) = P(C) = Os eventos são mutuamente excludentes, isto é, não há elementos nas intersecções. P(E) = P(A
∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) P(E) = = = 0,9 = 90% Este problema pode ser resolvido pelo complementar do evento: P(E) = = P(E) = 1 − P(E) P(E) = = 0,9 = 90% R06 — Três palestrantes serão sorteados dentre os cinco argentinos, O nº de maneiras
para se saber os sorteados é o nº de elementos do espaço amostral. Seja A = {pelo menos um sorteado ser brasileiro} Como há três brasileiros, então poderia se ter: Situação
1 Situação 2 Situação 3 Assim, as situações seriam: Situação 2 Situação 3 n(A) = C3,1 ⋅ C5,2 + C3,1 ⋅ C2,2 + C3,1
⋅ C5,1 ⋅ C2,1 + C3,2 ⋅ C5,1 + C3,2 ⋅ C2,1 + C3,3 P(A) = = ≅ 0,7083 Este é mais um problema em que usar o complementar do evento simplifica o cálculo. Há apenas
três casos: três argentinos: dois argentinos e um colombiano: um argentino de dois colombianos: n(A) = C5,3 +
C5,2 ⋅ C2,1 + C5,1 ⋅ C2,2 P(A) = P(A) = 1 – P(A) P(A) = = ≅ 0,7083 R07 — Em uma sacola
há fichas numeradas de 1 a 10, O número total de fichas é o número de elementos do espaço amostral. Sejam os eventos: A = {2, 4, 6, 8, 10} P(A) = =P(B) = São eventos independentes, pois a ocorrência de A não interfere
na ocorrência de B. R08 — Um dado foi fabricado de tal forma que ao ser lançado, O espaço amostral é: Sejam os eventos mutuamente exclusivos: Pelo enunciado tem-se que: Chamando a probabilidade de sair um número ímpar de x, dessa forma tem-se: A probabilidade do espaço amostral ocorrer é 1, assim: x + 2x + x + 2x + x + 2x = 1 Daí, a probabilidade de: P(B) = P(D) = P(F) = a) A probabilidade de sair um número par é: b) A probabilidade de sair o número dois ou o número três é: Fazendo-se de outra maneira Sejam os eventos: Como A ∩ B = Ø, então: Se sabe que a probabilidade de
ocorrer: a) P(A) = 2 ⋅ P(B) = 2 ⋅ =b) P(1 ∪ 3 ∪ 5 ) = P(1) + P(3) + P(5) = P(1) = P(3) = P(5) (probabilidade dos ímpares são iguais) Assim, em: P(3) + P(3) + P(3) = 3 ⋅ P(3) = P(3) = P(2) = P(4) = P(6) = P(2 ∪ 3) = P(2) + P(3) = + = = R09 — Uma
determinada peça é manufaturada por três máquinas: A, B e C. Considerando os seguintes eventos: Sabe-se que: P(B) = = 0,25 P(C) = = 0,25 Sabe-se também que: P(D|C) = 4% = = 0,04 Logo, tem-se: R10 — Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas. Sejam os eventos: P(M1) = 35% = 0,35 Deseja-se encontrar P(M2|D), logo: Pelo teorema de Bayes: P(D) = P(D|M1) ⋅ P(M1) + P(D|M2) ⋅ P(M2) P(M2|D) = [ P(D|M2) ⋅ P(M2) ] / P(D) P(M2|D) = [ 0,025 ⋅ 0,65 ] / 0,03375 Exercícios Propostos P01 — Um número natural é escolhida ao acaso entre 1 e 100. P02 — Calcule a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida, P03 — No lançamento dois dados. Calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7. P04 — Uma urna contém 10 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas e 9 bolas pretas. P05 — Escolhe ao acaso um número natural entre 11 e 951. P06 — Seja S = {a, b, c, d}. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P07 — No lançamento de 3 moedas. Qual a probabilidade de:
P08 — Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1 e 50. P09 — Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas e 2 pretas; P10 — As probabilidades de três jogadores marcarem um “penalty” são, respectivamente: P11 — Três parafusos e três porcas estão numa caixa. P12 — As chances de um time de futebol "A" ganhar o campeonato o é de "7 para 2". P13 — De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. P14 — Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. P15 — Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. P16 — Dois dados são lançados, sejam os eventos: P17 — Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente: P18 — Um grupo de 15 pessoas, dispostas da seguinte forma: P19 — O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. P20 — Em
uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes, P21 — Duas bolas são retiradas ( com reposição ) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas. Exercícios com resposta P22 — Tenho 79
vezes para sair um número de 0 a 9. Escolho o número (5) O espaço amostral é S = {0, 1, 2, 3, . . . , 9} A probabilidade de NÃO sair o número 5 é a mesma de qualquer outro, ou seja, P({não sair o 5}) = 1 – = a) A probabilidade do
5 não sair nas 79 vezes é calculada pela expressão: ⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅ = ()79 b) A probablidade do 5 sair uma única vez em 79 vezes é calculada pela expressão: ⋅ ⋅ ⋅ . . . ⋅ = ⋅ ()78 Se a posição não importar essa será a resposta, mas se ela tiver importância, Caso 2 Tenho 41 vezes para sair um número de 0 a 9. Agora escolho 02 números 8 e 9. A probabilidade de sair o 8, 9, ou 5, e, a mesma. a) A probabilidade do 8 não sair nas 41 vezes é calculada pela expressão: Que é a mesma para o 9, assim, somar duas parcelas iguais é DUAS vezes o mesmo resultado. 2 ⋅ ()41 b) Da mesma forma que a o item b anterior, só que somados: Mega-SenaNa mega-sena, escolhe-se 6 dezenas dentre 60. Assim, o número de elementos do espaço amostral é: Jogar um cartão simples de 6
dezenas, tem como número de elementos do evento: A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal. Se for jogar 7 dezenas, num mesmo cartão simples de 6 dezenas, Mas, como só é sorteado 6 dezenas, o espaço amostral é: Simplificando a fração por 7, tem-se: P(E) = Esta mesma situação
para 8 dezenas. A probabilidade é dada pelo nº de elementos do evento pelo nº do espaço amostal. Simplificando a fração por 28, tem-se: P(E) = Qual é a probabilidade de se jogar um dado é obter o número 3 ou um número ímpar?A probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar é 50%.
Qual a probabilidade de sair 3 no lançamento de um dado?a) sair o número 3: Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6.
Qual a probabilidade de se obter o resultado 5 no lançamento de um dado?Dois eventos, A e B, são chamados de independentes quando a ocorrência de um evento não tem qualquer efeito sobre o outro. Por exemplo, se lançarmos um dado duas vezes, a probabilidade de sair o número 4 no primeiro lance é 1/6. A probabilidade de sair o número 5 no segundo lance também é 1/6.
Qual a probabilidade de um lançamento de um dado a face voltada para cima ser um número maior do que 4?Exemplo 1. Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se lançar um dado honesto? ocorrer, a probabilidade de sair um número maior do que 4 é igual a 1 6 + 1 6 = 2 6 = 1 3 .
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