Exercícios Resolvidos de Conjuntos NuméricosVer Teoria Show
EnunciadoDiga se é verdadeira ou falsa cada proposição abaixo: a 5 ∈ N b 7 ∈ Q c π 2 ∈ Q d 2 ∈ Z e 0,1313 … ∈ Z f 0 ∈ Z * g 0 ∈ Q h 2 ∈ ( R - Q ) i π ∈ Z _ j 41 ∈ Z +Passo 1Como eu sempre digo, bora começar pelo começo! A primeira afirmativa é a seguinte: a 5 ∈ N E aí, pequeno gafanhoto? O que acha? V ou F? Cara, vamos relembrar qual a característica dos números naturais! N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , … } É o conjunto dos números inteiros não-negativos. Então o 5 realmente pertence a esse conjunto, já que ele é um número inteiro e não-negativo. Portanto, a afirmação é verdadeira. Passo 2Próxima é o seguinte: b 7 ∈ Q Bora relembrar qual a características dos números racionais! Todo número racional pode ser representado como: a b , a ∈ Z e b ∈ Z * Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero. Olha só o que temos: 7 = 7 1 Concorda comigo? Então sim, 7 pertence aos racionais! Portanto, a afirmação é verdadeira. Passo 3Dá uma olhada nessa: c π 2 ∈ Q Cara, tem uma leve pegadinha nessa aqui! Novamente, bora relembrar qual a características dos números racionais! Todo número racional pode ser representado como: a b , a ∈ Z e b ∈ Z * Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero. Olha só o que temos: π 2 Ué, então tá certo, não? NÃO! Fique atento! Primeiramente: π = 3,14159 … Ou seja, ele não é inteiro. PORÉM, a principal característica aqui é que ele é um número IRRACIONAL, ou seja, pertence ao conjunto ( R - Q ). Isso quer dizer que não conseguimos representa-lo como fração. E uma divisão de um número irracional por um número inteiro, continua sendo um número irracional. Portanto, a afirmação é falsa. Passo 4Bora pra próxima: d 2 ∈ Z Olha só o conjunto dos números inteiros: Z = { … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } Ou seja, os números pulam de um em um e NÃO temos números decimais (vulgo número com vírgula). Olha o que a gente tem: 2 = 1,4142 … Opa, temos uma vírgula ali com números naturais depois dela. Ou seja, esse número não é inteiro! Portanto, a afirmação é falsa. Passo 5Chegamos na metade, força! e 0,1313 … ∈ Z Cara, novamente temos a mesma situação. Olha só o conjunto dos números inteiros: Z = { … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } Ou seja, os números pulam de um em um e NÃO temos números decimais (vulgo número com vírgula). Olha o que a gente tem: 0,1313 … Opa, temos uma vírgula ali com números naturais depois dela. Ou seja, esse número não é inteiro! Portanto, a afirmação é falsa. Passo 6Olha essa aqui: f 0 ∈ Z * Aaaaaah, aqui nós temos uma notação! Saca só o que vou escrever: Z = … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … Z * = { … , - 3 , - 2 , - 1 , 1 , 2 , 3 , … } Sacou? Quando tem um asterisco no conjunto, você precisa tirar o zero desse conjunto e tchã-rã! Vida que segue. Então o que temos é que o 0 NÃO pertence ao conjunto Z * , concorda comigo? Portanto, a afirmação é falsa. Passo 7A próxima diz o seguinte: g 0 ∈ Q “Ah, essa aqui eu já respondo que é falsa!” Calma, amigx. Vamos dar uma olhada novamente na definição desse conjunto. Todo número racional pode ser representado como: a b , a ∈ Z e b ∈ Z * Ou seja, como uma fração de números inteiros, MAS o denominador tem que ser DIFERENTE de zero. Olha só o que temos: 0 = 0 1 Concorda? O zero pode ser representado como fração, basta colocar qualquer número inteiro diferente de dele mesmo no denominador, como por exemplo: 0 1 = 0 2 = 0 50 = … Então a afirmação é verdadeira. Passo 8Força que já está acabando! Dá uma olhada: h 2 ∈ ( R - Q ) Você lembra que conjunto é esse: ( R - Q )??? Cara, o conjunto dos números reais é construído através da união dos conjuntos racionais e irracionais. Se aquela expressão diz que estou tirando os números racionais dos números reais, quer dizer que restaram apenas os números irracionais! Logo, é o conjunto dos números irracionais. E nesse conjunto, tem-se que os números NÃO podem ser escritos como fração de números inteiros. O que temos é: 2 = 1,4142 … Ou seja, é uma dízima não periódica, então não conseguimos representa-la como fração. Então ele realmente pertence ao conjunto dos números irracionais. Portanto, a afirmação é verdadeira. Passo 9A próxima diz o seguinte: i π ∈ Z _ Aaaaaah, aqui nós temos uma notação! Saca só o que vou escrever: Z = … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … Z - = { … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 } Sacou? Quando tem um menos no conjunto, você precisa tirar todos os números positivos desse conjunto e tchã-rã! Lembrando que zero é neutro, então ele permanece! Vida que segue. Temos o seguinte: π = 3,14159 … Ora, o π nem é inteiro nem é não-positivo! Portanto, a afirmação é falsa. Passo 10É a últimaaaaaa!!! Tá quase acabando! j 41 ∈ Z + Aaaaaah, aqui nós temos uma notação! Saca só o que vou escrever: Z = … , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … Z - = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } Sacou? Quando tem um menos no conjunto, você precisa tirar todos os números negativos desse conjunto e tchã-rã! Lembrando que zero é neutro, então ele permanece! Vida que segue. Ora, 41 é um número inteiro e é não-negativo. Portanto, a afirmação é verdadeira. Respostaa V b V c F d F e F f F g V h V i F j V Ver Também Ver tudo sobre CálculoVer tudo sobre Matemática BásicaLista de exercícios de Conjuntos NuméricosÉ verdade que todo número inteiro é um número racional?Existem vários subconjuntos possíveis, como o conjunto dos números inteiros ou dos naturais, pois todo número inteiro é racional, assim como todo número natural é racional. Os conjuntos dos números inteiros e naturais estão contidos no conjunto dos números racionais.
O que é um número racional e inteiro?Chamamos número racional todo número obtido da divisão (razão) entre dois inteiros, com o divisor não nulo. Todo número racional pode ser escrito na forma de número inteiro, decimal exato ou dízima periódica. A forma para se representar um número racional é denominada fração.
É um número inteiro e não racional?Qualquer número que não seja racional é irracional. É portanto um número que não pode ser escrito na forma de fração, com numerador e denominador inteiro. Dito de outra forma, o conjunto dos números irracionais é composto por todos as dízimas infinitas não periódicas.
Por que nem todo número racional e inteiro?Todo o número inteiro é racional, pois pode ser representado por uma divisão por 1, porém, um número racional não é necessariamente inteiro, pois uma fração é a representação de um número racional, mas não é inteiro. Portanto, nem todo o número racional é inteiro, apenas as frações nas quais o denominador é igual a 1.
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