1 – Definição Show Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos: 2 - Fórmula do termo geral Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro
termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever: Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG. Exemplos: a) Dada a PG (2,4,8,... ),
pede-se calcular o décimo termo. b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: 3 - Propriedades principais P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos
termos imediatamente anterior e posterior. P2 - o produto dos termos equidistantes dos extremos de uma PG é constante. 4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue: Multiplicando ambos os membros pela razão q vem: Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como: Observe que a2 + a3 + ... + an
é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem: Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:
Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Observe que neste caso a1 = 1. 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:
Exemplo:
Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50 6 – Exercícios resolvidos e propostos 6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 . Solução: Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q Multiplicando ambos os membros por q, fica: Dividindo por 3 e
ordenando, fica: Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor O problema pede a soma dos quadrados, logo: 6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: Solução: Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, Logo, poderemos escrever: Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos: Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n) Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica: 6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente Solução: O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e
6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede: Agora resolva este: Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24. Qual a razão na PG 3 9 27?PG: (3, 9, 27, 81, ...), onde q = 3. 4. Constante: a razão é sempre igual a 1 e os termos possuem o mesmo valor.
Qual é a razão da progressão geométrica 3 9 27 81?Resposta. A razão (q) da Progressão Geométrica sempre sera o segundo termo dividido pelo primeiro, ou o terceiro termo dividido pelo segundo ( por ai em diante). Encontrando a razão da P.G (3,9,27,81): Q= a2/a1 = 9/3= 3, ou também Q= a3/a2 = 27/9=3 e Q=a4/a3=81/27=3.
Qual a razão da PG 3?- PG de razão 3 em que o primeiro termo é 2. Os termos da sequência são representados por (a1, a2, a3, a4, a5 …). a5 = 54.3 = 162. A PG do exemplo é, portanto, (2,6,18,54,162...).
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