Quando um capital em regime de juros simples?

O regime de juros simples, é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.

Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos.

Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:

J = P . i . n = Pin

J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual a i.

No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M). Logo, teríamos:
M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
Portanto, M = P(1+in).

Exemplo:

A quantia de $3000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o montante ao final dos cinco anos.

Solução:

Temos: P = 3000, i = 5% = 5/100 = 0,05 e n = 5 anos = 5.12 = 60 meses.
Portanto, M = 3000(1 + 0,05x60) = 3000(1+3) = $12000,00.

A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros simples, senão vejamos:

Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva.
(Observe que P . i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o termo semi-reta ao invés de reta?).
Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o número de períodos n, são grandezas diretamente proporcionais. Daí, infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.

Exercício proposto:

Calcule o montante ao final de dez anos de um capital $10000,00 aplicado à taxa de juros simples de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: $46000,00

Como já sabemos, se o capital P for aplicado por n períodos, a uma taxa de juros simples i, ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante (capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).

O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm de ser referidos à mesma unidade de tempo.

Para chegarmos à fórmula de juros simples, vamos partir de um exemplo concreto. Suponha que você tenha aplicado o capital inicial 600 (vamos ignorar a unidade monetária para simplificar), à taxa de juros 5% a.m., durante o prazo de 1 ano. Quanto receberá de juro no resgate de aplicação?

É fácil: se a taxa de juros é de 5% a.m. e o regime de capitalização é de juros simples, significa que por mês você receberá 5% do capital inicial a título de juros (lembre-se: o que caracteriza o regime de juros simples é fato de o juro ser sempre calculado sobre o capital inicial). Logo, em cada mês você receberá 5% de 600, que é igual a 5/100 vezes 600, que é igual a 3.000/100, que, por sua vez, é igual a 30.

Se em um mês você ganha 30 de juro, quanto ganhará em um ano?

Como um ano tem doze meses, você ganhará doze vezes mais, ou seja: 12 x 30 = 360. No restante da aplicação, você ficará com um montante de 960 (600 de capital inicial mais 360 de juro).

Vamos fazer uma retrospectiva dos cálculos realizados.

Como é que você fez para calcular os juros?

Inicialmente você pegou a taxa de juros (i) e multiplicou pelo capital (C); em seguida, multiplicou esse resultado pelo número de períodos mensais contidos no prazo anual (n). Ora: essa é a formula de juros simples – para calcular juros simples basta multiplicar a taxa de juros i pelo capital C e pelo número de períodos n contidos no prazo de aplicação. Em linguagem algébrica, escrevemos que:

J = C . i . n

Esta fórmula é importantíssima. Trate de memórizá-la.

Vejamos agora como é que calculamos o montante: pegamos o capital inicial e somamos com o juro, isto é:

M = C + J

Uma vez que J = C.i.n, podemos escrever que

M = C + C.i.n

Observe que no lado direito do sinal de igual há um fator comum, a variável C, que pode ser colocada em evidência, ficando a fórmula com o seguinte aspecto:

M = C ( 1 + in)

Eis outra fórmula importante que você terá que memorizar: ela ensina a calcular diretamente o montante no regime de juros simples.

O fator (1 + in) é chamado de FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL para juros simples (também guarde isto).

Para calcular o montante a juros simples, basta multiplicar o capital C pelo fator de acumulação de capital (1 + in).

A título de curiosidade, podemos adiantar que também existe o fator de acumulação de capital para juros compostos, com uma estrutura parecida com a do fator dos juros simples: (1 + i)n. A diferença, no caso, é que o n é um expoente. Mas para calcular o montante a juros compostos procedemos da mesma maneira: multiplicamos o capital pelo respectivo fator de acumulação. Assim, no caso de juros compostos, a fórmula do montante é M = C (1 + i)n.

É comum colocarmos um índice “n” nos juros e no montante para indicarmos que aqueles juros e aquele montante estão sendo calculados até o enésimo período. Assim, podemos indicar as fórmulas anteriormente apresentadas com a seguinte notação:

Jn = C.i.n

Mn = C ( 1 + in)

Gostaríamos de chamar sua atenção para outro ponto importante: você percebeu que na hora em que calcularmos o juro total que a aplicação rendeu precisamos converter o prazo de 1 ano em doze meses?

Fizemos isto porque a periodicidade da taxa era mensal e o prazo era anual. Sempre que o prazo de aplicação for fornecido numa unidade de medida de tempo diferente da periodicidade da taxa de juros, você terá que convertê-lo para a mesma unidade , pois a letra n, nas fórmulas acima, representa o prazo de aplicação quando medido com a mesma unidade de medida de tempo da taxa de juros. Em outras palavras, n é o numero de períodos da taxa de juros contidos no prazo de aplicação.

Mais uma observação importante: no regime de capitalização a juros simples, os juros são incorporados ao capital somente no final do prazo de aplicação e não no final de cada período.

Exercícios resolvidos

1. Calcular o montante produzido por um capital de R$ 6.000,00 aplicado a uma taxa de juros de 8% a.a, pelo prazo de 2 anos.

Resolução:

Temos que:

M = ?

C = 6.000

i = 8% a.a. = 0,08 a.a.

t (prazo) = 2 anos

No exemplo apresentado, a unidade de tempo adotada para medir a periocidade da taxa de juros já é igual à do prazo t. Então podemos escrever diretamente que n = 2.

J = C i n

J = 6.000 . 0,08 . 2

J = 960

M = C + J

M = 6.000 + 960

M = 6.960

Poderíamos calcular o montante diretamente utilizando a fórmula: M = C (1 + in). O resultado é o mesmo:

M = 6.000 (1 + 0,08 . 2)

M = 6.000 . 1,16

M = 6.960

2. Calcular o montante produzido por um capital igual a 10.000 durante 3 anos, considerando o regime de juros simples a uma taxa de 5% a.t.

Resolução:

Verifique que o prazo é anual e a taxa é trimestral. Para que possamos calcular os juros é necessário que adotemos a mesma unidade de tempo para a taxa de juros e para o prazo. Iremos converter o prazo, portanto, em trimestres.

M = ?

C = 10.000

t = 3 anos = 12 trimestres (pois cada ano tem 4 trimestres) = n = 12

i = 5% a.t. = 0,05 a.t.

M = C (1 + in)

M = 10.000 (1 + 0,05 . 12) = 10.000 (1 + 0,6)

M = 16.000

Existe um outra possibilidade: poderíamos, também, converter a taxa trimestral em anual, e manteríamos o prazo em anos. Neste caso, n ficaria sendo igual a 3 e a taxa seria dada por: i = 5% a.t. = 20% a.a. (se em um trimestre a aplicação rende 5%, em um ano, que são quatro trimestres, renderá 4 vezes mais, ou seja: 20%). Poderíamos, então, escrever:

M = C (1 + in) = 10.000 (1 + 0,20 . 3) = 10.000 (1,6)

M = 16.000

Ao transformarmos, na resolução do exercício 2, a taxa de 5% a.t. para 20% a.a., utilizamos o conceito de TAXAS DE JUROS PROPORCIONAIS. Naquele contexto (regime de juros simples), raciocinamos que 5% em um trimestre era a mesma coisa que 20% em quatro. Observe que:

20%/4 trimestres = 5%/1 trimestre

Assim, duas taxas i1 e i2, com os respectivos períodos n1 e n2 medidos na mesma unidade de tempo, são ditas proporcionais quando obedecerem à seguinte relação:

i1/n1 = i2/n2

Outros exemplos:

2% a.a. é proporcional a 1% a.m., pois 12%/12m = 1%/1m

10% a.s. é proporcional a 20% a.a., pois 10%/1s = 20%/2s

6% a.t. é proporcional a 2% a.m.,pois 6%/3m = 2%/1m

36% a.a. é proporcional a 9% a.t., pois 36%/4t = 9%/1t

Duas TAXAS são ditas EQUIVALENTES quando aplicadas sobre o mesmo prazo, produzem os mesmos juros.

Quando duas taxas são equivalentes, portanto o efeito delas sobre o capital é o mesmo. No caso de juros simples as taxas equivalentes são sempre proporcionais.

Por exemplo: vimos anteriormente que 1% a.m. é proporcional a 12% a.a. Essas mesmas taxas

também são equivalentes, pois se aplicarmos um capital de 1.000 durante 1 ano, os juros produzidos pelas duas serão iguais:

Para a taxa de 1% a.m.:

J = C.i.n

J = 1.000 x 0,01 x 12 = 120

Para a taxa de 12% a.a.:

J = C.i.n

J = 1.000 x 0,12 x 1 = 120

Imagine uma dívida, no valor de 1.000, vencida em 10/01/96, e que só tenha sido paga em 11/07/96, tendo sido cobrados juros simples, a uma taxa de 36% a.a., sobre o valor. Qual o total dos juros pagos:

Temos que:

J = ?

i = 36% a.a.

t = número de dias entre 10/01/96 e 11/07/96

C = 1.000

Vamos adotar períodos diários. Assim, temos de tomar duas providências inicialmente:

• Transformar a taxa anual em diária;

• Contar o número de dias entre as datas dadas.

Para o cálculo dos juros existem três convenções utilizadas na matemática financeira. O examinador deverá dizer qual delas devemos utilizar. As convenções são: juro exato, juro comercial (ou ordinário) e juro bancário.

Juro Exato

Característica: a contagem do número de dias (n) se faz pelo calendário ano civil, mas o juro diário é calculado utilizando o ano comercial.

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