CAPÍTULO III. Show § 35. SINAIS DE PARALELIDADE DE DUAS LINHAS DIRETAS. O teorema de que duas perpendiculares a uma reta são paralelas (§ 33) dá um sinal de que duas retas são paralelas. É possível derivar sinais mais gerais de paralelismo de duas linhas. 1. O primeiro sinal de paralelismo. Se, na intersecção de duas linhas com uma terceira, os ângulos internos são iguais, então essas linhas são paralelas. Deixe as linhas AB e CD interceptarem a linha EF e / 1 = / 2. Pegue o ponto O - o meio do segmento KL da secante EF (Fig. 189). Soltemos a perpendicular OM do ponto O até a linha AB e continuemos até que ela intercepte a linha CD, AB_|_MN. Vamos provar que CD_|_MN. Observação. A interseção das linhas MO e CD pode ser estabelecida girando o triângulo MOL em torno do ponto O em 180°. 2. O segundo sinal de paralelismo. Vejamos se as retas AB e CD são paralelas se, na interseção de sua terceira reta EF, os ângulos correspondentes forem iguais. Deixe alguns ângulos correspondentes serem iguais, por exemplo / 3 = / 2 (dev. 190); Se na interseção de duas linhas da terceira os ângulos correspondentes são iguais, essas duas linhas são paralelas.  A construção de linhas paralelas com a ajuda de uma régua e um triângulo de desenho é baseada nessa propriedade. Isto se faz do seguinte modo. Vamos prender o triângulo à régua como mostrado no desenho 191. Vamos mover o triângulo de modo que um de seus lados deslize ao longo da régua e desenhar várias linhas retas ao longo de qualquer outro lado do triângulo. Essas linhas serão paralelas. 3. O terceiro sinal de paralelismo. Deixe-nos saber que na interseção de duas linhas AB e CD pela terceira linha, a soma de quaisquer ângulos internos de um lado é igual a 2 d(ou 180°). As linhas AB e CD serão paralelas neste caso (Fig. 192). Deixe ser / 1 e / 2 ângulos laterais internos e somar 2 d. Daqui / 1 = / 3, e esses cantos estão internamente cruzados. Portanto, AB || CD. Se na intersecção de duas linhas por uma terceira, a soma dos ângulos laterais internos é igual a2 d, então as duas retas são paralelas. Um exercício. Prove que as retas são paralelas: Dois ângulos são chamados verticais se os lados de um ângulo são uma extensão dos lados do outro. A figura mostra os cantos 1 e 3 , assim como os ângulos 2 e 4 - verticais. Injeção 2 é adjacente a ambos os ângulos 1 , e com o ângulo 3. Pela propriedade dos ângulos adjacentes 1 +2 =180 0 e 3 +2 =1800. A partir daqui obtemos: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Assim, as medidas em graus dos ângulos 1 e 3 são iguais. Segue-se que os próprios ângulos são iguais. Portanto, os ângulos verticais são iguais. 2. Sinais de igualdade de triângulos. Se dois lados e o ângulo entre eles de um triângulo são respectivamente iguais a dois lados e o ângulo entre eles de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes. Se um lado e dois ângulos adjacentes de um triângulo são respectivamente iguais a um lado e dois ângulos adjacentes de outro triângulo, então tais triângulos são congruentes. 3. Se três lados de um triângulo são respectivamente iguais a três lados de outro triângulo, então esses triângulos são iguais. 1 sinal de igualdade de triângulos: Considere os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1, nos quais AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, os ângulos A e A 1 são iguais. Vamos provar que ABC=A 1 B 1 C 1 . 3. O teorema da bissetriz de um triângulo isósceles. Em um triângulo isósceles, a bissetriz traçada para a base é a mediana e a altura.
Passemos à figura, na qual ABC é um triângulo isósceles com base BC, AD é sua bissetriz. Da igualdade dos triângulos ABD e ACD (de acordo com o 2º critério para a igualdade dos triângulos: AD é comum; os ângulos 1 e 2 são iguais porque a bissetriz AD; AB=AC, porque o triângulo é isósceles) segue que BD = DC e 3 = 4. A igualdade BD = DC significa que o ponto D é o ponto médio do lado BC e, portanto, AD é a mediana do triângulo ABC. Como os ângulos 3 e 4 são adjacentes e iguais entre si, eles são ângulos retos. Portanto, o segmento AO é também a altura do triângulo ABC. CHTD. 4. Se as linhas são paralelas -> ângulo…. (opcional) 5. Se o ângulo ... ..-> linhas são paralelas (opcional) Se na intersecção de duas linhas de uma secante os ângulos correspondentes são iguais, então as linhas são paralelas. Sejam iguais na intersecção das linhas aeb da secante com os ângulos correspondentes, por exemplo 1=2. Como os ângulos 2 e 3 são verticais, então 2 = 3. Destas duas igualdades segue-se que 1=3. Mas os ângulos 1 e 3 são transversais, então as linhas a e b são paralelas. CHTD. 6. Teorema da soma dos ângulos de um triângulo. A soma dos ângulos de um triângulo é 180 0. Este capítulo é dedicado ao estudo de retas paralelas. Este é o nome dado a duas linhas retas em um plano que não se cruzam. Vemos segmentos de linhas paralelas no ambiente - são duas bordas de uma mesa retangular, duas bordas de uma capa de livro, duas barras de trólebus, etc. As linhas paralelas desempenham um papel muito importante na geometria. Neste capítulo, você aprenderá sobre o que são os axiomas da geometria e em que consiste o axioma das linhas paralelas - um dos mais famosos axiomas da geometria. Na Seção 1, notamos que duas retas ou têm um ponto comum, ou seja, se cruzam, ou não têm um único ponto comum, ou seja, não se cruzam. Definição O paralelismo das linhas aeb é denotado da seguinte forma: a || b. A Figura 98 mostra as linhas aeb perpendiculares à linha c. Na Seção 12 estabelecemos que tais retas aeb não se cruzam, ou seja, são paralelas. Arroz. 98 Juntamente com as linhas paralelas, os segmentos paralelos são frequentemente considerados. Os dois segmentos são chamados paralelo se estiverem em linhas paralelas. Na figura 99, e os segmentos AB e CD são paralelos (AB || CD), e os segmentos MN e CD não são paralelos. Da mesma forma, determina-se o paralelismo de um segmento e uma reta (Fig. 99, b), uma semirreta e uma reta, um segmento e uma semirreta, duas semirretas (Fig. 99, c). Arroz. 99 Sinais de paralelismo de duas linhas Direto com é chamado secante em relação às linhas aeb, se as intercepta em dois pontos (Fig. 100). Na interseção das linhas a e b, a secante c forma oito ângulos, que são indicados por números na Figura 100. Alguns pares desses ângulos têm nomes especiais: cantos cruzados: 3 e 5, 4 e 6; Arroz. 100 Considere três sinais de paralelismo de duas linhas associadas a esses pares de ângulos. Teorema Prova Suponha que na interseção das linhas aeb por uma secante AB, os ângulos de inclinação são iguais: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a). Vamos provar que a || b. Se os ângulos 1 e 2 são retos (Fig. 101, b), então as linhas aeb são perpendiculares à linha AB e, portanto, paralelas. Arroz. 101 Considere o caso em que os ângulos 1 e 2 não são retos. A partir do meio O do segmento AB, desenhe uma perpendicular OH à linha reta a (Fig. 101, c). Na linha b do ponto B, separamos o segmento VH 1, igual ao segmento AH, conforme mostrado na Figura 101, c, e desenhamos o segmento OH 1. Os triângulos ONA e OH 1 V são iguais em dois lados e o ângulo entre eles (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), portanto ∠3 = ∠4 e ∠5 = ∠6. Da igualdade ∠3 = ∠4 segue que o ponto H 1 está na continuação do raio OH, ou seja, os pontos H, O e H 1 estão na mesma reta, e da igualdade ∠5 = ∠6 segue que o ângulo 6 é uma linha reta (já que o ângulo 5 é um ângulo reto). Então as linhas a e b são perpendiculares à linha HH 1, então elas são paralelas. O teorema foi provado. Teorema Prova Seja na intersecção das retas aeb a secante com os ângulos correspondentes iguais, por exemplo ∠1 = ∠2 (Fig. 102). Arroz. 102 Como os ângulos 2 e 3 são verticais, então ∠2 = ∠3. Estas duas igualdades implicam que ∠1 = ∠3. Mas os ângulos 1 e 3 são transversais, então as linhas a e b são paralelas. O teorema foi provado. Teorema Prova Seja, na intersecção das linhas aeb, a secante com a soma dos ângulos laterais seja 180°, por exemplo ∠1 + ∠4 = 180° (veja a Fig. 102). Como os ângulos 3 e 4 são adjacentes, então ∠3 + ∠4 = 180°. Destas duas igualdades segue-se que os ângulos transversais 1 e 3 são iguais, de modo que as linhas a e b são paralelas. O teorema foi provado. Maneiras práticas de desenhar linhas paralelasOs sinais de linhas paralelas fundamentam as formas de construção de linhas paralelas com a ajuda de várias ferramentas utilizadas na prática. Considere, por exemplo, um método para construir linhas paralelas usando um quadrado de desenho e uma régua. Para construir uma reta passando pelo ponto M e paralela à reta dada a, aplicamos um quadrado de desenho à reta a e uma régua a ela como mostrado na Figura 103. Então, movendo o quadrado ao longo da régua, nós garantirá que o ponto M esteja do lado do quadrado e desenhe uma linha b. As retas aeb são paralelas, pois os ângulos correspondentes, indicados na Figura 103 pelas letras α e β, são iguais. Arroz. 103 A Figura 104 mostra um método para construir linhas paralelas usando um T-quadrado. Este método é usado na prática de desenho. Arroz. 104 Um método semelhante é usado ao realizar trabalhos de carpintaria, onde um chanfro é usado para marcar linhas paralelas (duas tábuas de madeira presas com uma dobradiça, Fig. 105). Arroz. 105 Tarefas186. Na Figura 106, as linhas aeb são interceptadas pela linha c. Prove que a || b se: a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°; Arroz. 106 187. De acordo com a figura 107 prove que AB || D.E. Arroz. 107 188. Os segmentos AB e CD se cruzam em seu meio comum. Prove que as retas AC e BD são paralelas. 189. Usando os dados da Figura 108, prove que BC || DE ANÚNCIOS. Arroz. 108 190. Na Figura 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Prove que DE || COMO. Arroz. 109 191. O segmento VK é a bissetriz do triângulo ABC. Uma linha reta é traçada através do ponto K, cruzando o lado BC no ponto M de modo que BM = MK. Prove que as retas KM e AB são paralelas. 192. No triângulo ABC, o ângulo A é 40°, e o ângulo ALL adjacente ao ângulo ACB é 80°. Prove que a bissetriz do ângulo ALL é paralela à reta AB. 193. No triângulo ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. A linha BD é traçada através do vértice B de modo que a raia BC é a bissetriz do ângulo ABD. Prove que as retas AC e BD são paralelas. 194. Desenhe um triângulo. Através de cada vértice deste triângulo, usando um quadrado de desenho e uma régua, desenhe uma linha reta paralela ao lado oposto. 195. Desenhe o triângulo ABC e marque o ponto D no lado AC. Através do ponto D, usando um quadrado de desenho e uma régua, desenhe linhas retas paralelas aos outros dois lados do triângulo. Na seção sobre a questão Geometria. Nomeie 3 sinais de linhas paralelas dados pelo autor batizar a melhor resposta é Se na interseção de 2 linhas retas por um terço, a soma dos ângulos laterais internos for 180 graus, essas linhas são paralelas.
Resposta de Pazitea[guru] O que são ângulos formados por duas retas paralelas é uma transversal?Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos alternos internos, colaterais internos, alternos externos e colaterais externos. Retas paralelas são aquelas que não se interceptam em nenhum ponto. Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas um ponto em comum.
É possível formar ângulos entre duas retas paralelas cortadas por uma transversal?Quando há duas retas paralelas cortadas por uma transversal, é possível traçar oito ângulos. Esses ângulos se relacionam, sendo possível encontrar a medida de cada um deles utilizando a correspondência entre eles. Ângulos correspondentes são congruentes. Ângulos colaterais são suplementares.
O que são retas paralelas perpendiculares é transversais?Retas paralelas são retas em um plano que estão sempre à mesma distância uma da outra. As retas paralelas nunca se cruzam, enquanto as retas perpendiculares são aquelas que se cruzam em um ângulo reto (90 graus).
Quais são as retas transversais?Retas transversais são retas que cruzam um par ou um feixe de retas paralelas.
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Que propriedades entre os ângulos são estabelecidas por retas paralelas é transversais?
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