Como calcular potência com bases diferentes e expoentes diferentes?

Dividem-se as bases e repete-se o expoente.

$\dfrac{a^{m}}{b^{m}}= \left( \dfrac{a}{b} \right)^{m} \quad$ $(b \neq 0 )$

$\dfrac{8^{3}}{2^{3}}= \left( \dfrac{8}{2} \right)^{3} = 4^{3} = 64$


$\dfrac{3^{2}}{9^{2}}= \left( \dfrac{3}{9} \right)^{2} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2} = \dfrac{1}{9}$

Na matemática, a potenciação é a operação que representa a multiplicação de termos iguais. Assim, a potenciação, ou exponenciação, é utilizada para representar que um número está sendo multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Exemplos:

Base da potenciação

Na operação matemática em questão, chamamos de base o número que está sendo elevado a determinado expoente. Ou seja, a base é o número o qual é multiplicado por ele mesmo quantas vezes o expoente indicar.

Exemplo:

A base da operação proposta é o número  que carrega consigo o expoente .

Expoente da potenciação

O expoente é o valor numérico que indica a quantidade de vezes que a base se repete em multiplicação. O expoente se localiza na lateral superior direita da base.

Exemplo:

O expoente da operação proposta é o número 99.

Potência

Chama-se potência o resultado da operação que envolve a base e o expoente, ou seja, o resultado da multiplicação da base por ela mesma n vezes, sendo n a quantidade de vezes que tal multiplicação deve ser efetuada, indicada pelo expoente.

Exemplos:

A potência é o número 32.

A potência é o número 970299.

A potência é o número .

Relação entre o expoente e a base

O expoente da potenciação indica a quantidade de bases presentes no produto entre elas.  Assim, a operação 35, por exemplo, indica que teremos 5 bases valendo 3 em operação de multiplicação (3.3.3.3.3 = 35).

Essa relação indica que qualquer número, sozinho, na verdade está elevado a 1. Por exemplo, o número 3, ele sozinho aparece 1 vez, o que indica que há, implícito, um expoente valendo 1 (3 = 31).

Expoente 1

Na potenciação, qualquer valor numérico elevado ao expoente  resultará no próprio valor numérico.

Exemplos:

Expoente zero

Por definição, indica-se que todo número real a diferente de zero, elevado ao expoente 0, resulta em 1, de modo que

.  Lê-se “a elevado a zero é igual a 1 para todo a real diferente de zero”.

Exemplos:

Base 1

A potenciação de base 1 sempre resultará em 1, uma vez que a operação indica quantas vezes a base deve ser multiplicada por ela mesma, e que 1 multiplicado por 1 resulta no próprio 1.

Exemplos:

Bases iguais e expoentes diferentes

Em operações matemáticas que envolvem potenciação, quando as bases das operações forem iguais, tanto a divisão, quanto a multiplicação, podem ser resolvidas com certa facilidade.

Para a multiplicação de potências de bases iguais, pode-se sempre manter as bases e somar os expoentes, de modo que a base se conserve e somente o expoente se altere.

Exemplos:

Já para a divisão, a operação que envolva bases iguais pode ser dada pela conservação da base e a subtração dos expoentes.

Exemplos:

Bases diferentes e expoentes iguais

Para multiplicar potências com bases diferentes, mas expoentes iguais, podemos juntar as bases e elevar uma vez só o expoente.

Exemplos:

De forma análoga, para a operação de divisão entre duas potências de bases diferentes, mas expoentes iguais, a operação pode ser escrita como a divisão das bases, elevada ao mesmo expoente.

Exemplos:

Potência da potência

Para o caso em que a operação a ser efetuada for uma potência da potência, pode-se escrever a operação como a base elevada à multiplicação dos expoentes.

Exemplos:

Expoente negativo

No caso em que a potenciação conter um expoente negativo, a operação pode ser escrita como a inversa da base elevada ao expoente com sinal positivo.

Exemplo.

Frações com o expoente negativo

Para este caso, mantém-se a propriedade do expoente negativo, como no exemplo abaixo:

Assim, para uma base em forma de fração elevada a um expoente negativo, basta inverter os termos da base (numerador e denominador), elevando a nova base ao expoente com sinal positivo.

Exemplos:

Como somar potências de bases diferentes e expoentes iguais?

Para multiplicar potências com bases diferentes, mas expoentes iguais, podemos juntar as bases e elevar uma vez só o expoente. De forma análoga, para a operação de divisão entre duas potências de bases diferentes, mas expoentes iguais, a operação pode ser escrita como a divisão das bases, elevada ao mesmo expoente.

Quando as bases e os expoentes são diferentes?

Para multiplicar números de bases diferentes e expoentes diferentes temos que desenvolver a potência. ... Se as bases são iguais e os expoentes são diferentes, então basta repetir a base e somar os expoentes.

Quais são as divisões de potências com base?

• 1 Multiplicação de potências com a mesma base. 2 Divisão de potências com a mesma base. 3 Multiplicações e divisões com poderes com a mesma base. 4 Multiplicações e divisões de potência com diferentes bases. 5 Operações com potência de números com base diferente.

Quais as propriedades para a subtração de potências?

• Não existem propriedades específicas para adição e subtração de potências de mesma base, como ocorre com a multiplicação e divisão. No entanto, em alguns casos você pode utilizar artifícios algébricos para facilitar a operação. No caso do exemplo proposto, seria mais simples expandir as potências e calcular a subtração com aritmética simples:

Como calcular a expansão de potências?

• No caso do exemplo proposto, seria mais simples expandir as potências e calcular a subtração com aritmética simples: Para potências de expoente mais elevado, caso a expansão seja inviável ou muito trabalhosa, podemos utilizar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base.

Como fazer uma fracção com mais de uma potência?

• Por outras palavras, teríamos uma fracção com mais de uma potência. Neste caso, devemos aplicar a propriedade de multiplicação, separadamente, no numerador e no denominador, depois aplicar a propriedade de divisão e, finalmente, passar o expoente a positivo, se este permanecer negativo. Vamos ver um exemplo mais devagar:

Como calcular potências com bases diferentes e expoentes diferentes?

Como resolver uma potência com bases diferentes?

Como somar potências com expoentes diferentes?