Relações métricas em um quadrado inscrito são aquelas encontradas entre as medidas de seus lados, ângulos e outros elementos. Dizemos que um polígono está inscrito quando existe uma circunferência que contém todos os seus vértices. A imagem a seguir mostra um quadrado ABCD de lado l inscrito em uma circunferência de raio r. Show Nesse caso, o centro da circunferência e seu raio são chamados, respectivamente, de centro do polígono e raio do polígono. Assim, as relações métricas do quadrado inscrito podem depender da circunferência que contém seus lados. 1ª Relação: Os vértices consecutivos do quadrado inscrito determinam ângulos centrais retos. Existe uma propriedade que garante que as diagonais de um quadrado são congruentes e encontram-se em seus pontos médios. Sendo assim, a distância entre o ponto de encontro das diagonais O e a circunferência é a mesma. Logo, podemos presumir que o centro do quadrado também é o centro da circunferência, como mostra a figura a seguir: Além disso, existe outra propriedade que garante que as diagonais do quadrado são perpendiculares. Assim, o ângulo entre elas é reto. Logo, ângulos centrais no quadrado inscrito são retos. 2ª Relação: É possível calcular o lado do quadrado inscrito usando a fórmula: l = r√2 Para mostrar isso, usaremos o triângulo APO, cujos lados são o apótema OP relativo ao lado AD, o raio OA e o lado PA, formado a partir da construção do apótema. A imagem a seguir destaca esse triângulo a fim de facilitar a compreensão do problema. Observe que o triângulo AOP é retângulo em P e que a medida de PA é metade do lado do quadrado. Isso acontece porque o apótema é altura do triângulo AOD, que, por sua vez, é isósceles. A altura de um triângulo isósceles também é mediana de sua base. Além disso, note também que o apótema OP e o segmento PA têm o mesmo comprimento. Isso faz com que o triângulo AOP também seja isósceles, fazendo com que os ângulos de sua base sejam iguais. Como o ângulo P é reto, os outros dois ângulos medem 45° cada. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Com isso, temos todas as medidas necessárias para calcular o lado do quadrado. Para facilitar a compreensão, a figura a seguir destaca o triângulo AOP com todas as medidas descritas acima. Para encontrar a medida l do lado do quadrado, podemos usar o cosseno: cos45° =
l/2 Substituindo o valor do cosseno e realizando a divisão de frações do segundo membro, temos: √2 = l · 1 √2 = l l = r√2 Então, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2. 3ª Relação: É possível encontrar a medida do apótema do quadrado inscrito usando a fórmula: x = r√2 Para mostrar isso, podemos usar quase todo o desenvolvimento da relação anterior. Apenas modificando cosseno de 45° para o seno de 45°. Toda a construção do triângulo AOP (na imagem abaixo) será exatamente igual à construção do triângulo AOP na relação métrica anterior. Sabendo disso, calcule: sen45° = x √2 = x r√2 = x x = r√2 Exemplo: Calcule o apótema e o lado de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio 10 cm. Solução: Para calcular o lado, basta usar a primeira fórmula, substituindo r por 10: l = r√2 l = 10√2 l = 10·1,41 O lado do quadrado mede aproximadamente 14,1 cm. Já o apótema é obtido por meio da expressão a seguir, na qual é suficiente substituir a medida do raio: x = r√2 x = 10√2 x = 5√2 x = 7,05 aproximadamente Como calcular o raio de um quadrado inscrito na circunferência?Então, o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r é obtido multiplicando r pela raiz de 2.
Qual o valor do lado de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 5 cm?A resposta é o item d, pois o 5 cm do raio é a metade do comprimento do lado do quadrado(o lado do quadrado é 10), portanto a área do quadrado vai ser 10•10(lado vezes lado) = 100cm²(área do quadrado).
Qual a área de um quadrado inscrito em uma circunferência?A área de um quadrado inscrito na circunferência da equação x² - 2y + y² = 0 é 2. A diagonal de um quadrado inscrito em uma circunferência coincide com o diâmetro da circunferência.
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